Algorithms for Conics in Geometric Algebras
Loading...
Date
Authors
Loučka, Pavel
ORCID
Advisor
Referee
Mark
P
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství
Abstract
Představujeme několik algoritmů na fitování kuželoseček a konstrukci kuželoseček založených na Geometrické algebře pro kuželosečky (zkr. GAC). Nejdříve je představeno fitování kuželoseček s dodatečnými geometrickými podmínkami, tj. fitování kuželoseček, které mají apriori předepsané vybrané geometrické vlastnosti. Jmenovitě se do fitovacích algoritmů podařilo začlenit tyto geometrické podmínky: osy jsou rovnoběžné s osami souřadné soustavy, střed leží v počátku a nakonec obě předešlé podmínky současně. Dále byly popsány iterativní verze dvou fitovacích algoritmů založených na GAC, které si kladou za cíl vypořádat se s neinvariancí vůči posunutí dat u nemodifikovaných algoritmů. Mimoto jsou představeny dva algoritmy, které kromě fitování kuželosečky mezi body dokáží nalézt kuželosečku tak, aby zároveň přesně procházela až čtyřmi předepsanými body. Druhá skupina algoritmů využívá vnější součin definovaný v GAC, zvaný wedge, ke konstrukci kuželoseček, a to včetně konstrukce kuželosečky procházející pěti body. Také navrhujeme použití wedge ke konstrukci speciálních kuželoseček ze svazků kuželoseček, konkrétně dvojic přímek a zobecněných parabol. Díky projektivnímu rozšíření GAC, které je zde představeno, jsou navíc v práci používány jak vlastní body euklidovské roviny, tak nevlastní body, tj. body v nekonečnu. Implementace fitovacích algoritmů v softwaru MATLAB a skripty určené ke konstrukci kuželoseček v softwaru Maple jsou součástí elektronické přílohy práce.
We present several algorithms for conic fitting and conic construction based on Geometric Algebra for Conics (GAC). First, conic fitting with additional geometric constraints is presented, i.e. fitting a conic among the dataset while also prescribing some geometric properties of the conic in advance. In particular, constraints successfully incorporated into the offered algorithms are: principal axes parallel to the coordinate axes, position of the centre at the origin of the coordinate system, and, finally, combining both constraints at the same time. Next, the iterative versions of two GAC-based algorithms were described, aiming to overcome non-invariance w.r.t. translations of the original GAC fitting methods. Additionally, two algorithms fitting a conic among the data points in such a way that it also passes through up to four prescribed points, called waypoints, are presented as well. The second group of algorithms uses GAC outer product, wedge product, for the construction of conics, including the construction of conics from five points. Also, we propose the way of using wedge product for the construction of special conics of the pencils of conics, namely, the line-pairs and the generalised parabolas. Moreover, thanks to the projective extension of GAC presented here, both ordinary (proper) points of the Euclidean plane and the points at infinity (improper points) are used. MATLAB implementation of the conic fitting algorithms and Maple scripts for the wedge constructions presented in the thesis are a part of the electronic appendix of the work.
We present several algorithms for conic fitting and conic construction based on Geometric Algebra for Conics (GAC). First, conic fitting with additional geometric constraints is presented, i.e. fitting a conic among the dataset while also prescribing some geometric properties of the conic in advance. In particular, constraints successfully incorporated into the offered algorithms are: principal axes parallel to the coordinate axes, position of the centre at the origin of the coordinate system, and, finally, combining both constraints at the same time. Next, the iterative versions of two GAC-based algorithms were described, aiming to overcome non-invariance w.r.t. translations of the original GAC fitting methods. Additionally, two algorithms fitting a conic among the data points in such a way that it also passes through up to four prescribed points, called waypoints, are presented as well. The second group of algorithms uses GAC outer product, wedge product, for the construction of conics, including the construction of conics from five points. Also, we propose the way of using wedge product for the construction of special conics of the pencils of conics, namely, the line-pairs and the generalised parabolas. Moreover, thanks to the projective extension of GAC presented here, both ordinary (proper) points of the Euclidean plane and the points at infinity (improper points) are used. MATLAB implementation of the conic fitting algorithms and Maple scripts for the wedge constructions presented in the thesis are a part of the electronic appendix of the work.
Description
Keywords
kuželosečka, fitování kuželoseček, algoritmus, geometrie, geometrická algebra, Cliffordova algebra, projektivizace, osové zarovnání, střed, průchozí bod, wedge, vlastní bod, nevlastní bod, bod v nekonečnu, singulární kuželosečka, dvojice přímek, parabola, conic section, conic fitting, algorithm, geometry, geometric algebra, Clifford algebra, projectivisation, axial alignment, centre, waypoint, wedge, proper point, improper point, ideal point, point at infinity, degenerate conic, line-pair, parabola
Citation
LOUČKA, P. Algorithms for Conics in Geometric Algebras [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. 2024.
Document type
Document version
Date of access to the full text
Language of document
en
Study field
Aplikovaná matematika
Comittee
prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc. (předseda)
Associate professor Vincent Nozick, Ph.D. (člen)
prof. Eckhard Hitzer (člen)
prof. RNDr. Josef Janyška, DSc. (člen)
doc. Mgr. et Mgr. Aleš Návrat, Ph.D. (člen)
doc. Mgr. Vojtěch Žádník, Ph.D. (člen)
Date of acceptance
2024-12-03
Defence
Komise se shodla na výtečném hodnocení disertační práce. Její přínost spočívá v originální formulaci algoritmů pro konstrukci kuželosešek v geometrické algebře.
Result of defence
práce byla úspěšně obhájena
Document licence
Standardní licenční smlouva - přístup k plnému textu bez omezení