Stability and stabilization of autonomous difference systems

Abstract

Tato dizertační práce se zabývá kvalitativní analýzou autonomních diferenčních systémů se dvěma komutujícími maticemi a dvěma zpožděními. Konkrétně se věnuje třem hlavním otázkám: hledání různých oblastí stability v prostoru parametrů, existenci řešení s danou asymptotikou a existenci periodických řešení. Výsledky této dizertační práce poskytují explicitní odpovědi na výše uvedené kvalitativní problémy a přinášejí nové pohledy na tuto problematiku (včetně několika zajímavých geometrických interpretací jistých podmínek). Získané výsledky jsou dále aplikovány do teorie řízení a na stabilizaci nestabilního diferenčního systému. Pro zodpovězení výše uvedených otázek je klíčová distribuce kořenů příslušného charakteristického polynomu (daného studovaného diferenčního systému), a to v komplexní rovině vzhledem ke kruhu s daným poloměrem. Díky komutativitě matic systému je možné provést tento výzkum i pro diferenční systém s obecnými vstupními parametry. Ten pak směřuje na analýzu kořenů konečného počtu příslušných trinomů. S ohledem na tuto skutečnost je proto v této dizertační práci proveden také zevrubný výzkum obecných komplexních trinomů a jejich kořenů. Kromě nutných a postačujících podmínek pro existenci kořene trinomu s předepsaným modulem poskytuje tato práce také vzorec pro výpočet argumentů takových kořenů. Tímto jsou kořeny trinomu kompletně charakterizovány.This Ph.D. thesis presents a qualitative analysis of autonomous difference systems with two commuting matrices and two delays. In particular, it thoroughly examines three main questions: search for various stability areas in the parameter space, the existence of solutions with given asymptotics, and the existence of periodic solutions. The conclusions of this Ph.D. thesis offer explicit answers to the aforementioned qualitative tasks and present new insights into these problems, including a few interesting geometrical interpretations of certain conditions. Additionally, the derived conclusions are applied to control theory and the stabilization of unstable difference system. To answer the questions posed above, the root distribution of characteristic polynomial (associated with the studied difference system) in the complex plane with respect to a circle with a given radius is crucial. Due to the commutativity property of the system's matrices, the qualitative investigation is enabled for system with general entry parameters, and focuses on the root analysis of a finite number of appropriate trinomials. On this account, a comprehensive research is performed for a general complex trinomial and its roots in this Ph.D. thesis. Besides the explicit necessary and sufficient conditions guaranteeing the existence of a root of trinomial with a prescribed modulus, this thesis provides a formula for calculating the arguments of such roots. Therefore, a complete characterization of the roots of trinomial is presented.