Asymptotické vlastnosti řešení diskrétní Emden-Fowlerovy rovnice druhého řádu
Loading...
Files
Date
Authors
ORCID
Advisor
Referee
Mark
P
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Vysoké učení technické v Brně. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií
Abstract
V literatuře je často studována Emden--Fowlerova nelineární diferenciální rovnice druhého řádu $$ y'' \pm x^\alpha y^m = 0, $$ kde $\alpha$ a $m$ jsou konstanty. V disertační práci je analyzována diskrétní analogie Emden-Fowlerovy diferenciální rovnice $$ \Delta^2 u(k) \pm k^\alpha u^m(k) = 0, $$ kde $k\in \mathbb{N}(k_0):= \{k_0, k_0+1, ....\}$ je nezávislá proměnná, $k_0$ je celé číslo a $u \colon \mathbb{N}(k_0) \to \mathbb{R}$ je řešení. V této rovnici je $\Delta^2u(k)=\Delta(\Delta u(k))$, kde $\Delta u(k)$ je diference vpřed prvního řádu funkce $u(k)$, tj. $\Delta u(k) = u(k+1)-u(k)$ a $\Delta^2 (k)$ je její diference vpřed druhého řádu, tj. $\Delta^2u(k) = u(k+2)-2u(k+1)+u(k)$, a $\alpha$, $m$ jsou reálná čísla. Je diskutováno asymptotické chování řešení této rovnice a jsou stanoveny podmínky, garantující existence řešení s asymptotikou mocninného typu: $u(k) \sim {1}/{k^s}$, kde $s$ je vhodná konstanta. Je také zkoumána diskrétní analogie tzv. ``blow-up'' řešení (neohraničených řešení) známých v klasické teorii diferenciálních rovnic, tj. řešení pro která v některém bodě $x^*$ platí $\lim_{x \to x^*} y(x)= \infty$, kde $y(x)$ je řešení Emden-Fowlerovy diferenciální rovnice $$ y''(x) = y^s(x), $$ kde $s \ne 1$ je reálné číslo. Výsledky jsou ilustrovány příklady a porovnávány s výsledky doposud známými.
In the literature a differential second--order nonlinear Emden--Fowler equation $$ y'' \pm x^\alpha y^m = 0, $$ where $\alpha$ and $m$ are constants, is often investigated. This thesis deals with a discrete equivalent of the second--order Emden-Fowler differential equation $$ \Delta^2 u(k) \pm k^\alpha u^m(k) = 0, $$ where $k\in \mathbb{N}(k_0):= \{k_0, k_0+1, ....\}$ is an independent variable, $k_0$ is an integer and $u \colon \mathbb{N}(k_0) \to \mathbb{R}$ is an unknown solution. In this equation, $\Delta^2u(k)=\Delta(\Delta u(k))$, $\Delta u(k)$ is the the first-order forward difference of $u(k)$, i.e., $\Delta u(k) = u(k+1)-u(k)$, and $\Delta^2 (k)$ is its second--order forward difference, i.e., $\Delta^2u(k) = u(k+2)-2u(k+1)+u(k)$, $\alpha$, $m$ are real numbers. The asymptotic behaviour of the solutions to this equation is discussed and the conditions are found such that there exists a power-type asymptotic: $u(k) \sim {1}/{k^s}$, where $s$ is some constant. We also discuss a discrete analogy of so-called ``blow-up'' solutions in the classical theory of differential equations, i.e., the solutions for which there exists a point $x^*$ such that $\lim_{x \to x^*} y(x) = \infty$, where $y(x)$ is a solution of the Emden-Fowler differential equation $$ y''(x) = y^s(x), $$ with $s \ne 1$ being a real number. The results obtained are compared to those already known and illustrated with examples.
In the literature a differential second--order nonlinear Emden--Fowler equation $$ y'' \pm x^\alpha y^m = 0, $$ where $\alpha$ and $m$ are constants, is often investigated. This thesis deals with a discrete equivalent of the second--order Emden-Fowler differential equation $$ \Delta^2 u(k) \pm k^\alpha u^m(k) = 0, $$ where $k\in \mathbb{N}(k_0):= \{k_0, k_0+1, ....\}$ is an independent variable, $k_0$ is an integer and $u \colon \mathbb{N}(k_0) \to \mathbb{R}$ is an unknown solution. In this equation, $\Delta^2u(k)=\Delta(\Delta u(k))$, $\Delta u(k)$ is the the first-order forward difference of $u(k)$, i.e., $\Delta u(k) = u(k+1)-u(k)$, and $\Delta^2 (k)$ is its second--order forward difference, i.e., $\Delta^2u(k) = u(k+2)-2u(k+1)+u(k)$, $\alpha$, $m$ are real numbers. The asymptotic behaviour of the solutions to this equation is discussed and the conditions are found such that there exists a power-type asymptotic: $u(k) \sim {1}/{k^s}$, where $s$ is some constant. We also discuss a discrete analogy of so-called ``blow-up'' solutions in the classical theory of differential equations, i.e., the solutions for which there exists a point $x^*$ such that $\lim_{x \to x^*} y(x) = \infty$, where $y(x)$ is a solution of the Emden-Fowler differential equation $$ y''(x) = y^s(x), $$ with $s \ne 1$ being a real number. The results obtained are compared to those already known and illustrated with examples.
Description
Citation
KOROBKO, E. Asymptotické vlastnosti řešení diskrétní Emden-Fowlerovy rovnice druhého řádu [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií. 2023.
Document type
Document version
Date of access to the full text
Language of document
en
Study field
bez specializace
Comittee
prof. RNDr. Jan Chvalina, DrSc. (předseda)
Assoc. Prof. Marek Galewski, Ph.D. - reviewer (člen)
prof. RNDr. Miroslava Růžičková, CSc. - reviewer (člen)
doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. (člen)
doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D. (člen)
doc. RNDr. Michal Novák, Ph.D. (člen)
doc. RNDr. Zdeněk Šmarda, CSc. (člen)
Date of acceptance
2023-09-05
Defence
Prezentace obsahovala přehled výsledků uchazečky, které jsou uvedeny v dizertační práci a proběhla na vynikající úrovni. Komise konstatovala, že problematika dizertace je aktuální a odpovídá oboru, ve kterém je předložena. Hlavní přínos práce je v odvození podmínek pro existenci řešení s asymptotikou mocninného typu pro diskrétní rovnici Emdena-Fowlera druhého řádu a studium „blow-up“ jevu. Uchazečka v úplnosti zodpověděla dotazy oponentů, které byly uvedeny v posudcích a zodpověděla všechny zadané dotazy v diskuzi. Doktorské práce je přehledná a precizně zpracovaná a přináší nové originální výsledky. Výsledky práce byly publikovány na dostatečné úrovni (mj. v časopise Discrete & Continuous Dynamical Systems - Series S). V srpnu byla do tisku v kvalitním časopise Advances in Nonlinear Analysis přijata práce s výsledky další části disertace.
Result of defence
práce byla úspěšně obhájena
Document licence
Standardní licenční smlouva - přístup k plnému textu bez omezení