Metody numerické energetické optimalizace v mechanice kontinua

Energetické principy a související variační metody představují základní koncepty ve fyzice, které jsou podpořeny rozsáhlým matematickým aparátem a nacházejí široké uplatnění v aplikovaných vědách. Tato práce se zaměřuje na využití minimalizace potenciální energie v elastostatice. Po úvodním přehledu jsou prezentovány výsledky pro obecná tělesa a následně jsou aplikovány na analýzu silového a deformačního stavu rovinných prutových nosníků. Různé metody řešení jsou systematicky představeny, začínající od analytické metody vedoucí k derivaci diferenciální rovnice pro ohýbaný prut, přes Ritzovu metodu s funkcemi respektujícími okrajové podmínky, po transformaci problému na kvadratickou optimalizaci s omezeními, realizovanou pomocí Lagrangeových multiplikátorů. Dále jsou zkoumány méně tradiční „soft-computing“ metody, které nepoužívají gradienty a zahrnují opakované vyhodnocení minimalizované funkce. Vyvinuté algoritmy byly implementovány v programovém prostředí MATLAB.
Energy principles and associated variational methods represent fundamental concepts in physics, supported by extensive mathematical apparatus, and find wide application in applied sciences. This work focuses on the use of potential energy minimization in elastostatics. After an introductory overview, results for general bodies are presented, followed by applications to the analysis of the force and deformation state of planar beam structures. Various solution methods are systematically introduced, starting from an analytical method leading to the derivation of the differential equation for a bending beam, through the Ritz method with functions satisfying boundary conditions, further to the transformation of the problem into quadratic optimization with constraints, implemented using Lagrange multipliers. Further explored are less traditional “soft-computing” methods that do not rely on gradients and involve repeated evaluations of the minimized function. The developed algorithms were implemented in the MATLAB programming environment.

Keywords

Funkcionál potenciální energie, Euler-Bernoulliho nosník, Lagrangeův multiplikátor, omezená optimalizace, aproximace algebraickými polynomy, Metropolis Monte Carlo algoritmus, ortogonální funkce, vyhledávání vzorů., Potential energy functional, Euler-Bernoulli beam, Lagrange multiplier, constrained optimization, approximation by algebraic polynomials, Metropolis Monte Carlo algorithm, orthogonal functions, pattern search.

Citation

DUMPÍK, P. Metody numerické energetické optimalizace v mechanice kontinua [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta stavební. 2025.

Language of document

cs

Study field

Konstrukce a dopravní stavby

Comittee

prof. Ing. Zdeněk Kala, Ph.D. (předseda) doc. Ing. Lukáš Novák, Ph.D. (člen) prof. Ing. Jan Eliáš, Ph.D. (místopředseda) doc. Ing. Hana Šimonová, Ph.D. (člen) doc. Ing. Stanislav Seitl, Ph.D. (člen) prof. Ing. David Lehký, Ph.D. (člen)

Date of acceptance

2025-06-17

Defence

Práce pro zjednodušení uvažuje rovnoměrné spojité zatížení a konstantní průřez po celé délce úseku. Co by bylo složitější zapracovat do řešení: lineární spojité zatížení nebo lineární změna průřezu? Lineární zatížení není problém a student popisuje postup a uvádí vztahy. Lineární změna průřezu by byla náročnější kvůli přepisu kódu, kde je v současné době uvažováno s konstantním průřezem. V části 4.3.4 je řešen symetrický spojitý nosník s vnitřním kloubem. Dalo by se při řešení využít této symetrie, případně jak? Student popisuje, jak zavést symetrii pomocí okrajových podmínek. Na straně 78 je Bolzmannův faktor /, což je /(). Pro jednoznačnější zápis bych asi použil \frac{}{}. V ukázkovém kódu na str. 82 je „beta = 1/k*T„ a poté „e = exp(-beta*(Pi – Pi_old))“. Jak to tedy je? Student uvádí vše na správnou míru. V kódu je vzorec správně, chyba nastal při přepisu do LATEX. Prof. Kala: Dokázal byste začleněny osamělé momenty? Osamělé momenty jsou začleněny skokem ve druhé derivaci. Student doprovází prezentací. Prof. Eliáš: Výpočet je přes kinematické energie. Zkoušel jste jinak? Student odpovídá, že zkoumal variační principy, sepsal je do práce, ale pro výpočet nebyly použity. Dále s profesorem Eliášem diskutují o složitosti problému. Doc. Novák: Řešil jste problém metodou nejmenších čtverců? Systém byl řešen metodou podobné metodě nejmenších čtverců. Student diskutuje s profesorem Lehkým o optimalizaci.

Result of defence

práce byla úspěšně obhájena

Document licence

Standardní licenční smlouva - přístup k plnému textu bez omezení