Geometrická algebra pro kvadriky

Abstract

Tato diplomová práce se zabývá geometrickou algebru pro kvadriky. Jejím těžištěm je popis odvození prvků představujících Euklidovské transformace, zejména translací a rotací. Jazyk této práce je navržen tak, aby čtenáři přinesl co nejvíce souvislostí a ucelujících poznámek. Pro názornost je zahrnuto několik příkladů. Čtenář je postupně seznámen s definicí Cliffordovy algebry pomocí tenzorového součinu, základními vlastnostmi, úvodem do topologie, vybranými pojmy z oblasti Lieových grup a algeber, geometrickou algebrou pro kuželosečky a kvadriky, implementací a srovnáním. Důraz je kladen především na vztah mezi Lieovou grupou a její algebrou a na exponenciální zobrazení, což jsou zásadní pojmy pro určení transformačních prvků. Klíčová část práce představí čtenáři geometrickou algebru pro kvadriky, kde je detailně popsán proces hledání generátorů euklidovských transformací a odvození transformačních prvků. K nalezení je zde seznam jak generátorů, tak i příslušných versorů. V práci nechybí implementace v jazyce C++ a srovnání s jinými vysoko-dimenzionálními geometrickými algebrami.

This thesis deals with geometric algebra for quadrics. Its main focus is on describing the derivation of elements that represent Euclidean transformations, particularly translations and rotations. The language of this work is designed to provide the reader with as many connections and comprehensive remarks as possible. Several examples are included for clarity. The reader is gradually introduced to the definition of Clifford algebra through the tensor product, its basic properties, an introduction to topology, selected concepts from the theory of Lie groups and algebras, geometric algebra for conic sections and quadrics, as well as implementation and comparison. The emphasis is particularly placed on the relationship between the Lie group and its algebra and on the exponential map, which are key concepts for determining transformation elements. The key section of the thesis will present geometric algebra for quadrics, detailing the process of finding the generators of Euclidean transformations and deriving transformation elements. The thesis provides a list of both the generators and the corresponding versors. The thesis also includes an implementation in C++ and a comparison with other high-dimensional geometric algebras.