Důkaz Velké Fermatovy věty pro exponent 3

Abstract

V článku je prezentován nový netradiční důkaz Fermatova tvrzení, že neexistují přirozená čísla, jež by vyhovovala diofantické rovnici x3 + y3 = z3. Důkaz je založen na tom, že tuto rovnici lze převést do ekvivalentního součinového tvaru (3k)3 = (z + y — z)3 =3(z + y)(z — x)(x — z), kde x + y, z — x, z — y jsou po dvou nesoudělná čísla. Pokud 3 | z, tak z — y = z — 8k = X3, z — z = y — 3k = V3 a z + y = z + 3k = 9Z3, Odtud lze odvodit podmínku V*(Y? + 3ZX)" = (z — 2)(z2 + zz 4 22) a (V? 4+3ZX)3 = 22 + 22 + z2. Použitím substituce V? 4+—3ZX = a2 4— ab +— b2 = (a — b)2 +— 3ab, z = až + a2b—1%, z = 13 + 8ab — a? pak obdržíme identitu. Porovnáním podmínek pro z a z dostaneme X3 + 3XYZ = a3 + 3a2b—b3 a 3Z(3Z2 — XY ) = b3 + 3ab2 — a3, odkud plyne, že 3 | (b3 — a3) a 3 | X . To je ale ve sporu s výchozím předpokladem 3 | z a s nesoudělností čísel z a z. K obdobnému sporu dojdeme i v případě 3 | z nebo 3 | y. To, že ani další možné substituce nevedou k řešení, je dokázáno pomocí rozkladu z2 + xz + z2 v oboru Eisensteinových čísel. Článek je doplněn některými důsledky, jako jsou např. různé typy iracionálních identit nebo řada neřešitelných diofantických rovnic, jejichž neřešitelnost plyne z Velké Fermatovy věty pro p = 3.