Geometrický pohled na pohyb tuhého tělesa
Loading...
Date
Authors
ORCID
Advisor
Referee
Mark
A
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství
Abstract
Cílem této práce je odvodit rovnice levo-invariantních Hamiltonovských systémů na Lieových grupách. Naše motivace je následující. Pohyb tuhého tělesa v 3D prostoru lze formulovat jako úlohu optimálního řízení na $\R^3$. Pro takto formulovanou úlohu lze využít Pontryaginův princip maxima (PMP). Nicméně pohyb tuhého tělesa lze také chápat jako úlohu na Lieově grupě SE(3). Tato úloha patří do skupiny tzv. levo-invariantních úloh. Jako další zjednodušení volíme také levo-invariantní Hamiltoniány. Běžný postup při studiu takových úloh je, že formulujeme Lagrangián této úlohy, odvodíme Hamiltonián a následně formulujeme Hamiltonovy rovnice. Náš postup je opačný. Odvodíme Hamiltonovy rovnice pro obecnou Lieovu grupu a obecný levo-invariantní Hamiltonián a následně zkoumáme, jaké typy úloh můžeme popsat volbou konkrétní Lieovy grupy a konkrétního Hamiltoniánu. Teoretické výsledky poté využijeme k vytvoření simulačního skriptu pohybu tuhého a pružného tělesa, který využije konformní geometrickou algebru (CGA) jako své výpočetní jádro. CGA je totiž nesmírně silný nástroj pro popis této problematiky, jelikož využitím CGA lze vyvinout kód, který je nezávislý na dimenzi uvažovaného prostoru bez větší námahy.
The main objective of this thesis is to derive the Hamiltonian equations for left-invariant problems on Lie groups. Our motivation is as follows. The motion of a 3D rigid body can be formulated as an optimal control problem in $\R^3$. The Pontryagin's Maximum Principle (PMP) can be applied to solve such a problem. However, the motion of a rigid body can also be viewed as a problem on the Lie group SE(3). This problem belongs to the class of left-invariant problems. To further simplify the problem, we assume a left-invariant Hamiltonian function. The usual approach in studying such problems involves first defining the Lagrangian function, then obtaining the Hamiltonian function, and finally formulating the Hamiltonian equations. However, we take a different approach. We derive the Hamiltonian equations for a general Lie group and a general left-invariant Hamiltonian, and then explore the types of problems that can be described by choosing specific Lie groups and Hamiltonian functions. The theoretical results obtained are then applied in the development of simulation scripts for both rigid body motion and soft body motion which utilizes CGA as its computational core. We have opted for CGA due to its remarkable computational capabilities in this context. By utilizing CGA, we naturally obtain dimension independence without any additional effort.
The main objective of this thesis is to derive the Hamiltonian equations for left-invariant problems on Lie groups. Our motivation is as follows. The motion of a 3D rigid body can be formulated as an optimal control problem in $\R^3$. The Pontryagin's Maximum Principle (PMP) can be applied to solve such a problem. However, the motion of a rigid body can also be viewed as a problem on the Lie group SE(3). This problem belongs to the class of left-invariant problems. To further simplify the problem, we assume a left-invariant Hamiltonian function. The usual approach in studying such problems involves first defining the Lagrangian function, then obtaining the Hamiltonian function, and finally formulating the Hamiltonian equations. However, we take a different approach. We derive the Hamiltonian equations for a general Lie group and a general left-invariant Hamiltonian, and then explore the types of problems that can be described by choosing specific Lie groups and Hamiltonian functions. The theoretical results obtained are then applied in the development of simulation scripts for both rigid body motion and soft body motion which utilizes CGA as its computational core. We have opted for CGA due to its remarkable computational capabilities in this context. By utilizing CGA, we naturally obtain dimension independence without any additional effort.
Description
Keywords
Lieova grupa, Lieova algebra, levo-invariantní systémy, levo-invariantní Hamiltonián, teorie řízení na Lieových grupách, pohyb tuhého tělesa, pohyb pružného tělesa, konformní geometrická algebra, CGA, Lie group, Lie algebra, left-invariant systems, left-invariant Hamiltonian, control theory on Lie groups, rigid body motion, soft body motion, conformal geometric algebra, CGA
Citation
KARAS, J. Geometrický pohled na pohyb tuhého tělesa [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. 2023.
Document type
Document version
Date of access to the full text
Language of document
en
Study field
bez specializace
Comittee
prof. RNDr. Jiří Bouchala, Ph.D. (předseda)
prof. Aleksandre Lomtatidze, DrSc. (místopředseda)
doc. Ing. Pavel Štarha, Ph.D. (člen)
doc. Mgr. Petr Vašík, Ph.D. (člen)
doc. RNDr. Libor Žák, Ph.D. (člen)
Date of acceptance
2023-06-15
Defence
Diplomant seznámil komisi s diplomovou prací a odpověděl na připomínky a dotazy vedoucího a oponenta diplomové práce. Oponent - doc. Hrdina - byl přítomen u obhajoby.
Proběhla diskuse k diplomové práci.
Doc. Vašík položil dotaz na použité knihovny.
Result of defence
práce byla úspěšně obhájena
Document licence
Standardní licenční smlouva - přístup k plnému textu bez omezení