Dynamický částicový systém jako účinný nástroj pro statistické vzorkování

Abstract

Předložená dizertační práce se zabývá vývojem nového výkonného nástroje pro optimalizaci rovnoměrnosti bodových vzorků. Sekvence rovnoměrně rozmístěných bodů nacházejí uplatnění například jako sady integračních bodů při analýze počítačových modelů pomocí integrace metodami typu Monte Carlo. Pokud je zkoumaná funkce považována za neznámou, jedinou cestou, jak snížit horní mez chyby odhadu integrálu, je optimalizace rovnoměrnosti použitých integračních bodů. Mezi cíle dizertační práce se předně řadí studium současně používaných kritérií pro ohodnocení nebo optimalizaci rovnoměrnosti bodových vzorků. Je předloženo kritické zhodnocení vybraných kritérií rovnoměrnosti. Pro nápravu vybraných nežádoucích vlastností bodových vzorků byla provedena úprava obecně formulovaného optimalizačního kritéria phi. Po zavedení periodického návrhového prostoru a odvození formulace kritéria, která nezávisí na měřítku úlohy, bylo docíleno soběpodobných bodových vzorků, které jsou statisticky i prostorově rovnoměrné. Vyvinutý optimalizační algoritmus se opírá o představu o fyzikální podobnosti mezi sadou optimalizovaných bodů a dynamického systému vzájemně se odpuzujících částic. Simulace takového hyper-dimenzionálního částicového systému je ovšem značně výpočetně náročným úkolem. Proto bylo přikročeno k implementaci efektivního řešení pomocí masivně paralelní platformy Nvidia CUDA. Důležitou částí práce bylo proto též intenzivní studium této komplexní architektury, které bylo nezbytné k plnému využití jejího potenciálu.The presented doctoral thesis aims at development a new efficient tool for optimization of uniformity of point samples. One of use-cases of these point sets is the usage as optimized sets of integration points in statistical analyses of computer models using Monte Carlo type integration. It is well known that the pursuit of uniformly distributed sets of integration points is the only possible way of decreasing the error of estimation of an integral over an unknown function. The tasks of the work concern a survey of currently used criteria for evaluation and/or optimization of uniformity of point sets. A critical evaluation of their properties is presented, leading to suggestions towards improvements in spatial and statistical uniformity of resulting samples. A refined variant of the general formulation of the phi optimization criterion has been derived by incorporating the periodically repeated design domain along with a scale-independent behavior of the criterion. Based on a notion of a physical analogy between a set of sampling points and a dynamical system of mutually repelling particles, a hyper-dimensional N-body system has been selected to be the driver of the developed optimization tool. Because the simulation of such a dynamical system is known to be a computationally intensive task, an efficient solution using the massively parallel GPGPU platform Nvidia CUDA has been developed. An intensive study of properties of this complex architecture turned out as necessary to fully exploit the possible solution speedup.