Paralelní numerické řešení diferenciálních rovnic
Loading...
Date
Authors
ORCID
Advisor
Referee
Mark
P
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Vysoké učení technické v Brně. Fakulta informačních technologií
Abstract
Diferenciální rovnice se studují již vice než 300 let. Poprvé parciální diferenciální rovnice použil švýcarský matematik a právník Nicolaus Bernoulli v 18. století. Parciální diferenciální rovnice druhého řádu se používají k modelování široké škály jevů ve vědě, technice a matematice, například šíření světelných a zvukových vln, pohybu tekutin a šíření tepla. Práce se zabývá paralelním numerickým řešením parciálních diferenciálních rovnic. Parciální diferenciální rovnice druhého řádu jsou pomocí metody přímek převedeny na rozsáhlé soustavy obyčejných diferenciálních rovnic. Prostorové derivace v parciální diferenciální rovnici jsou nahrazeny různými typy konečných diferencí. Výsledné soustavy obyčejných diferenciálních rovnic (problémy počátečních hodnot) jsou řešeny paralelně pomocí Runge-Kutta metod a nově navržené metody vyššího řádu založené na Taylorově řadě. Numerické experimenty vybraných problémů jsou realizovány na superpočítači s různým počtem výpočetních uzlů. Výsledky ukazují, že metoda založená na Taylorově řadě výrazně překonává standardní Runge-Kutta metody.
Differential equations have been studied for over 300 years. Partial differential equations were first used by the Swiss mathematician and lawyer Nicolaus Bernoulli in the 18th century. Second-order partial differential equations are used to model a wide range of phenomena in science, engineering, and mathematics, such as the propagation of light and sound waves, the motion of fluids, and the diffusion of heat. The thesis deals with the parallel numerical solution of partial differential equations. Second-order partial differential equations are transformed into large systems of ordinary differential equations using the method of lines. The spatial derivatives in the partial differential equation are replaced by various types of finite differences. The resulting large systems of ordinary differential equations (initial value problem) are solved in parallel using Runge-Kutta methods and the newly proposed higher-order method based on Taylor series. The numerical experiments of the selected problems are calculated using a supercomputer with different numbers of compute nodes. The results show that the Taylor-series-based numerical method significantly over-performs state-of-the-art Runge-Kutta methods.
Differential equations have been studied for over 300 years. Partial differential equations were first used by the Swiss mathematician and lawyer Nicolaus Bernoulli in the 18th century. Second-order partial differential equations are used to model a wide range of phenomena in science, engineering, and mathematics, such as the propagation of light and sound waves, the motion of fluids, and the diffusion of heat. The thesis deals with the parallel numerical solution of partial differential equations. Second-order partial differential equations are transformed into large systems of ordinary differential equations using the method of lines. The spatial derivatives in the partial differential equation are replaced by various types of finite differences. The resulting large systems of ordinary differential equations (initial value problem) are solved in parallel using Runge-Kutta methods and the newly proposed higher-order method based on Taylor series. The numerical experiments of the selected problems are calculated using a supercomputer with different numbers of compute nodes. The results show that the Taylor-series-based numerical method significantly over-performs state-of-the-art Runge-Kutta methods.
Description
Keywords
parcilální diferenciální rovnice, obyčejné diferenciální rovnice, problémy počátečních hodnot, Taylorova řada, Runge-Kutta, metoda přímek, konečné diference, paralelní výpočty, superpočítače, partial differential equations, ordinary differential equations, initial value problems, Taylor series, Runge-Kutta, method of lines, finite differences, parallel computations, supercomputers
Citation
NEČASOVÁ, G. Paralelní numerické řešení diferenciálních rovnic [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta informačních technologií. 2024.
Document type
Document version
Date of access to the full text
Language of document
en
Study field
Výpočetní technika a informatika
Comittee
prof. Ing. Lukáš Sekanina, Ph.D. (předseda)
doc. Ing. Martin Čermák, Ph.D. (člen)
Prof. Dr. Martin Kozek (člen)
prof. Ing. Róbert Lórencz, CSc. (člen)
prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc. (člen)
Date of acceptance
2024-04-22
Defence
Studentka přednesla cíle a výsledky, kterých v rámci řešení disertační práce dosáhla.
V rozpravě studentka odpověděla na otázky komise a oponentů. Diskuze je zaznamenána na diskuzních lístcích, které jsou přílohou protokolu. Počet diskuzních lístků: 3. Komise se v závěru většinou členů usnesla, že studentka splnila podmínky pro udělení akademického titulu doktor.
The student presented the goals and results that she achieved within the solution of the dissertation. The student has competently answered the questions of the committee members, reviewers. The discussion is recorded on the discussion sheets, which are attached to the protocol. Number of discussion sheets: 3. The committee has agreed by a majority that the student has fulfilled the requirements for being awarded the academic title Ph.D.
Result of defence
práce byla úspěšně obhájena
Document licence
Standardní licenční smlouva - přístup k plnému textu bez omezení