Explicit general solution of planar linear discrete systems with constant coefficients and weak delays
Loading...
Date
2013-03-06
Authors
ORCID
Advisor
Referee
Mark
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Springer Nature
Altmetrics
Abstract
In this paper, planar linear discrete systems with constant coefficients and two delays $$ x(k+1)=Ax(k)+Bx(k-m)+Cx(k-n) $$ are considered where $k\in\bZ_0^{\infty}:=\{0,1,\dots,\infty\}$, $x\colon \bZ_0^{\infty}\to\mathbb{R}^2$, $m>n>0$ are fixed integers and $A=(a_{ij})$, $B=(b_{ij})$ and $C=(c_{ij})$ are constant $2\times 2$ matrices. It is assumed that the system considered system is one with weak delays. The characteristic equations of such systems are identical with those for the same systems but without delayed terms. In this case, after several steps, the space of solutions with a given starting dimension $2(m+1)$ is pasted into a space with a dimension less than the starting one. In a sense, this situation is analogous to one known in the theory of linear differential systems with constant coefficients and weak delays when the initially infinite dimensional space of solutions on the initial interval turns (after several steps) into a finite dimensional set of solutions. For every possible case, explicit general solutions are constructed and, finally, results on the dimensionality of the space of solutions are obtained.
V práci je studován lineární rovinný systém s konstantními koeficienty a se dvěma zpožděními $$ x(k+1)=Ax(k)+Bx(k-m)+Cx(k-n) $$, kde $k\in\bZ_0^{\infty}:=\{0,1,\dots,\infty\}$, $x\colon \bZ_0^{\infty}\to\mathbb{R}^2$, $m>n>0$ jsou kladná čísla a $A=(a_{ij})$, $B=(b_{ij})$ a $C=(c_{ij})$ jsou konstantní $2\times 2$ matice. Předpokládá se, že systém je systémem se slabými zpožděními. Charakteristická rovnice těchto systémů je identická s charakteristickou rovnicí systému, který neobsahuje zpožděné členy. V takovém případě se počáteční dimenze prostoru řešení $2(m+1)$ mění po několika krocích na menší. V jistém smyslu je tato situace analogická podobnému jevu známému v teorii lineárních diferenciálních systémů s konstantními koeficienty a se slabými zpožděními. V práci je konstruováno obecné řešení daného systému pro všechny kombinace kořenů charakteristické rovnice a jsou formulovány výsledky o dimenzi prostoru řešení.
V práci je studován lineární rovinný systém s konstantními koeficienty a se dvěma zpožděními $$ x(k+1)=Ax(k)+Bx(k-m)+Cx(k-n) $$, kde $k\in\bZ_0^{\infty}:=\{0,1,\dots,\infty\}$, $x\colon \bZ_0^{\infty}\to\mathbb{R}^2$, $m>n>0$ jsou kladná čísla a $A=(a_{ij})$, $B=(b_{ij})$ a $C=(c_{ij})$ jsou konstantní $2\times 2$ matice. Předpokládá se, že systém je systémem se slabými zpožděními. Charakteristická rovnice těchto systémů je identická s charakteristickou rovnicí systému, který neobsahuje zpožděné členy. V takovém případě se počáteční dimenze prostoru řešení $2(m+1)$ mění po několika krocích na menší. V jistém smyslu je tato situace analogická podobnému jevu známému v teorii lineárních diferenciálních systémů s konstantními koeficienty a se slabými zpožděními. V práci je konstruováno obecné řešení daného systému pro všechny kombinace kořenů charakteristické rovnice a jsou formulovány výsledky o dimenzi prostoru řešení.
Description
Citation
Advances in Difference Equations. 2013, vol. 2013, issue 1, p. 1-29.
https://advancesindifferenceequations.springeropen.com/articles/10.1186/1687-1847-2013-50
https://advancesindifferenceequations.springeropen.com/articles/10.1186/1687-1847-2013-50
Document type
Peer-reviewed
Document version
Published version
Date of access to the full text
Language of document
en