Funkcionální analýza na časových škálách a její aplikace v teorii dynamických rovnic

Abstract

Cílem práce bylo shrnout základní výsledky kalkulu na časových škálách, zpracovat nástroje z funkcionální analýzy v kontextu časových škál a využít je při studiu kvalitativních vlastností řešení konkrétních nelineárních dynamických rovnic. Práce obsahuje detailně zpracovanou problematiku derivace a integrace na časových škálách s důrazem na integrál Lebesgueova typu. Detailně jsou rozebrány alternativy k řetězovému pravidlu zklasického kalkulu. Podrobně jsou studovány prostory funkcí na časových škálách, zejména pak prostor rd-spojitých funkcí na kompaktním intervalu a prostor ohraničených spojitých funkcí na nekompaktním intervalu. Zvláštní pozornost je kladena na klíčové vlastnosti prostorů jako jsou úplnost a relativní kompaktnost, které jsou doplněny detailními důkazy. Zavedené matematické prostředky jsou později využity při studiu kvalitativních vlastností konkrétních nelineárních dynamických rovnic.The aim of the thesis was to summarize the basic results of calculus on time scales and elaborate in detail on the tools from functional analysis in the context of the time scales and to use them in the study of the qualitative properties of the solution of specific nonlinear dynamic equations. The thesis focuses in detail on the problem of derivation and integration on time scales with an emphasis on the Lebesgue-type integral. Alternatives to the chain rule from classical calculus are discussed in detail. Spaces of functions on time scales are analyzed in depth, especially the space of rd-continuous functions on a compact interval and the space of bounded continuous functions on a noncompact interval. Emphasis is placed on key properties of spaces such as completeness and relative compactness, which are complemented by detailed proofs. Introduced mathematical instruments are later used for a study of qualitative properties of concrete nonlinear dynamic equations.