Transfer eliptických křivek na torus

Abstract

Eliptické křivky jsou nedílnou součástí novodobé matematiky a nacházejí uplatnění zejména v kryptografii. Práce se věnuje vizualizaci eliptických křivek a grupové operace nad nimi v reálné rovině a následně na toru. V úvodní části se proto zaměříme na analýzu eliptických křivek nad polem reálných čísel a především nad poli prvočíselnými. Důraz je kladen na grafické znázornění probírané problematiky, stejně také na experimentální výsledky v oblasti diskrétních eliptických křivek. Předmětem zájmu v další části práce je topologie, průzkum zobrazení mezi topologickými prostory a následné zavedení pojmu hladké variety. Odvodíme vhodná zobrazení, která umožňují přenos geometrických objektů z reálné roviny na torus. Na základě zmíněných zobrazení pracuje software vyvinutý speciálně pro účely vizualizace eliptických křivek na toru.Elliptic curves are an essential part of modern mathematics and play an important role especially in cryptography. The bachelor work focuses on the visualization elliptic curves and group operation in real plane and torus. In the first chapter we will introduce elliptic curves over field of real numbers and above all over prime fields. In order to describe the problematics rigorously the graphical outputs and also the experimental results in the field of discrete elliptic curves will be mentioned. In the next section we will pay a particular attention to topology, functions between topological spaces and to the introduction of the concept of smooth manifold. We will search the suitable functions which can transfer geometrical objects from the real plane onto torus. A software specifically developed for transfering the elliptic curves onto the torus works on the basis of aforementioned functions.