HORNÍČEK, J. Optimální korekce nepřesné střelby [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. 2012.

Posudek vedoucího

Popela, Pavel

Autor se ve své práci zabývá problematikou modelování a řešení optimalizační úlohy s náhodnými parametry. Autor pracoval soustavně a zcela samostatně. Většinu problémů řešil iniciativně sám, jen s minimálními konzultacemi. Jeho přístup je imponující, protože kombinuje barvitý styl s úpornou snahou o rigoróznost a úspornost podání při zachování srozumitelnosti práce. Samostatnost autora se někdy promítá do méně konvenčního, ale nikoliv rušivého značení. Celou práci považují za originální výsledek autora s minimem převzatých (v tom případě zřetelně vyznačených – viz citace literatury) poznatků. Autor více než splnil požadavky zadání práce. Práci uvádí bezprostřední motivační úvod, ve kterém autor čtivě uvádí své první kroky k řešení původního problému, které předcházely pozdějšímu formálnímu zadání tématu práce po dohodě se školitelem. Do tématu je čtenář uveden v kapitole 2, kde formulace základních prvků optimalizační úlohy je ilustrována obrázky. Zejména vizualizace hodnotící funkce je působivá a její vytvoření tak, aby byla názorná pro čtenáře, muselo být pracné. V kapitole 3 nazvané Monte Carlo, autor nejprve vytváří fyzikální model hodu a trajektorie, využívá tří souřadných systémů pro potřebnou prezentaci dílčích výsledků a uvádí potřebné reálné parametry získané z různých zdrojů. Zásadní a původní odlišností od prací jiných autorů je využití modelu k určení výstupního rozdělení pravděpodobnosti nepřesného zásahu na základě vstupních chyb hodu. Na výsledky simulace vymezující empirické rozdělení výstupních chyb navazuje testování předpokladu symetrické normality pomocí Pearsonova testu a dále ověření homogenity rozptylů zjednodušeným testem, na Bartlettův test autor odkazuje v poznámce. Formální prezentace úlohy o posunutí funkce v kapitole 4 je doplněna další pečlivou a názornou vizualizací. Dále jsou rigorózně řešeny problémy numerické aproximace při diskretizaci a numerické integraci. Autor dokazuje konvergenci k optimálnímu řešení. Kapitolu uzavírá první „naivní“, a proto časově náročnější algoritmus, autor tak získává přirozenou motivaci pro jeho další zdokonalení v klíčové kapitole 5. Klíčové výsledky autora jsou obsaženy v kapitole 5. Ta se zaměřuje na vývoj a teoretické zdůvodnění algoritmu Pernštejn (motivace názvu je uvedena v úvodu práce) a jeho modifikace, která umožňuje, díky využití dovedností autora osvojených jím při studiu jeho oblíbené funkcionální analýzy, výrazně urychlit výpočty. Zpracování výsledků je prezentováno podrobně a reprodukovatelně, autor zmiňuje své původní programové nástroje, které jsou přehledně okomentovány v dodatku práce. V závěru jsou diskutovány dosažené výsledky a jsou srovnány s dalšími prameny. Zásadní je pro mne ucelený původní přístup autora zahrnující vstupně-výstupní model, ověření předpokladů pomocí simulace a statistických testů, efektivní zjednodušení výpočtu hodnot pro účelovou funkci. Závěrem považuji za důležité zdůraznit, že autorova práce byla mezi oceněnými pracemi SVOČ 2012 (5. místo mezi 12ti pracemi v sekci S9), a to v konkurenci českých a slovenských mladých matematiků, jak z technických VŠ, tak z matematicko-fyzikálních fakult, jak bakalářského, tak magisterského stupně studia. Bakalářskou práci doporučuji k obhajobě.

Posudek oponenta

Novotný, Jan

Bakalářská práce se zabývá úlohou získání maximálního skóre při opakovaném házení šipky na terč, za předpokladu že házení je zatíženo náhodnými nepřesnostmi. V úvodu práce je představen standardní šipkový terč a jeho ohodnocení, které je dáno po částech konstantní nezápornou funkcí s konečným nosičem (tzv. terčová funkce). Následně je formulována soustava diferenciálních rovnic představující fyzikální balistický model pohybu šipky na terč v odporovém prostředí, na základě něhož lze vypočítat místo dopadu ze znalosti počátku a počáteční rychlosti letu. Autor uvažuje vektor počáteční rychlosti zatížený náhodnou chybou (trojrozměrné normální rozdělení), a metodou Monte Carlo najde jeho transformaci na náhodný vektor dopadového bodu. Dále testuje hypotézu, že dopadový bod má symetrické dvojrozměrné normální rozdělení, kterou nezamítá. Autor hledá střed dopadového rozdělení tak, aby střední hodnota terčové funkce při tomto rozdělení byla maximální, a toto provádí pro vybrané hodnoty rozptylu. Jedná se o problém spojité nelineární optimalizace, kde účelová funkce je dána integrálem v prostoru L2. Řešení je provedeno formou diskretizace, integrál je počítán numericky. Autor věnuje velkou pozornost odhadu chyb diskretizace i numerické integrace, a dokazuje, že dostatečně jemnou diskretizací lze získat libovolně malou chybu. Výpočetní složitost numerické integrace vzhledem k jemnosti diskretizační sítě nutí autora hledat zlepšující řešení, které nachází převodem problému do polárních souřadnic. Výpočetní složitost se tím snižuje o řád. Získané výsledky autor interpretuje číselně i graficky, ověřuje jejich korektnost porovnáním s dostupnými zdroji v literatuře, přikládá zdrojové kódy i funkční aplikaci s výpočty. Postup řešení je originální. Autor kladl velký důraz na prokázání korektnosti všech detailů svého postupu a vykázal bezpečnou orientaci v matematických disciplínách funkcionální analýzy, teorie pravděpodobnosti a numerických metod. Bližší okomentování by si zasloužila použitá aproximace integrálu tenkého mezikruží. Složitost původního 'naivního' algoritmu výpočtu integrálu, ve formě jak je v práci uveden, by bylo možno výrazně snížit přeskupením implementace s využitím preprocessingu. I tak by ovšem jeho náročnost byla o řád vyšší než náročnost nalezeného originálního algoritmu v polárních souřadnicích. Práce by ještě získala tím, kdyby tento fakt byl explicitně zmíněn. Pojednání je psáno srozumitelně, je graficky i jazykově na úrovni, práce s literaturou je korektní. Autor naprosto splnil zadání a předložil vynikající práci, kterou tímto doporučuji k obhajobě.

eVSKP id 49566