HAVIGER, V. Bellmanův Lost in a Forest Problem a jeho analýza [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. 2023.

Posudek vedoucího

Čermák, Jan

Předložená práce představuje rešerši odborných článků hledajících dílčí odpovědi na jeden z nejznámějších minimalizačních problémů v geometrii, který předložil v roce 1955 Richard Bellman, a který je ve své obecné formulaci dosud nezodpovězen. Student přistoupil ke zpracování tématu odpovědně a samostatně. Dohledal si potřebnou literaturu, kterou nastudoval, a pokusil se přiblížit často netriviální postupy řešení i čtenářům se základními znalostmi vysokoškolské matematiky.  Rozhodl se přitom jít cestou uvedení co nejširšího přehledu dosud známých výsledků k tomuto problému, což mu poněkud omezilo prostor na detailnější popis některých dílčích případů.  Práce se nevyvarovala určitých nepřesností, které do nemalé míry souvisely s věcným rozsahem práce. Domnívám se, že tyto nepřesnosti nebudou mít  podstatný vliv na to, aby čtenář po přečtení práce ocenil nejen hloubku Bellmanova problému, ale i úsilí autora práce se s tímto nelehkým  tématem vyrovnat. Na základě výše uvedeného doporučuji tuto bakalářskou práci k obhajobě.

Posudek oponenta

Hoderová, Jana

Tato bakalářská práce je rozsáhlou rešerší řešení Bellmanova problému nalezení nejkratší cesty z lesa známého tvaru. V úvodu je pěkně udělaná časová osa vývoje řešení Bellmanovy úlohy od roku 1956 do roku 2008, na níž je vidět, že problematika je stále živá a ne všechny problémy jsou již vyřešeny. Kapitola 2 zavádí pojmy jako cesta, les atd., na kterých celá práce stojí. Vytknula bych jistou matematickou nekorektnost, viz Definice 2.10, kdy suprémum by mělo být z množiny vzdáleností, v Definici 2.11 by cesta y měla být podmnožinou a ne prvkem lesa F. Překvapivě zde není uvedený žádný zdroj, ze kterého autor pojmy převzal. Kapitola 3 není úplně dobře členěná. V rámci úvodních informací je důsledně vyřešena nejkratší úniková cesta pro čtvercový les, ale už les kruhového tvaru je zařazen jako samostatná sekce 3.1, která je rozčleněna do částí A) a B). V dalších sekcích 3.2, 3.3 atd. je pozornost věnována kruhové výseči, nekonečnému pásu atd. až po sekci 3.8, kde je věnována pozornost kruhu se známou vzdáleností od hranice. Citování je z mého pohledu nejslabší stránkou celé práce. Autor neuvádí zdroje ani u náznaků důkazů lemmat v kapitole 3, která je hlavní částí bakalářské práce. Obecné uvedení hlavní zdroje v úvodním slovu ke kapitole, resp. sekci se mi nezdá jako ideální, protože není jasné, do jaké míry autor zpracoval důkazy uváděných tvrzení sám. Vytkla bych autorovi v důkazech časté chyby, často jde sice jen o překlepy v zápisu, ale překlepy v geometrických důkazech bývají fatální (podrobněji popsáno v komentáři). Tyto chyby způsobují, že se na popsané myšlenky důkazů nedá bezvýhradně spolehnout a díky problematické citaci se velmi špatně dohledává původ či důkaz vedený detailně.  Například v sekci 3.2, části B) je naznačen důkaz lemmatu 3.2.1. Hodně by pomohl náčrtek situace, který by usnadnil pochopení popisu principu důkazu. Píšete: „Pro uzavřené křivky je toto tvrzení zřejmé, polokruh se středem ležícím na libovolné opěrné přímce křivky, což je tečna křivky, která tuto křivku v žádném bodě neprotíná, bude obsahovat danou křivku.“ Když si představím uzavřenou křivku (myslíte tím cestu?) ve tvaru čtverce s obvodem L, tak těžko budu dělat tečnu, která tuto křivku v žádném bodě neprotíná. Jedna z otázek se tedy týká zavedení pojmu "opěrná přímka". V naznačení důkazu lemmatu vycházíte z toho, že: „těžnice trojúhelníku je kratší než průměr délek dvou sousedních stran“. Správně by tam měla být připuštěna i rovnost, tedy „…kratší nebo rovna průměru…“ V náznaku důkazu popisovaná spojnice CK dle mého názoru nemusí být vždy těžnicí a myšlenka důkazu je tedy nedotažená a směřuje na ni moje další otázka. Věta 3.2.3 je jedna z mála, která má uvedeno, že důkaz je k nalezení v [10]. Bohužel jsem tam uvedenou větu ani důkaz nenašla. Chvályhodný je autorův nadhled, získaný důkladným prostudováním a pochopením celé problematiky. Formou průvodního slova velmi pěkně diskutuje vlastnosti jednotlivých množin, tedy lesů, například v souvislosti s požadovanou konvexností lesa a úvahami o tučné množině.  V každém případě jde o práci nadstandardního rozsahu. Autor se do tématu položil a systematicky shrnul poznatky o nejkratších únikových cestách, což rozhodně nebyl snadný. Z mého pohledu by bylo lepší zredukovat práci na několik vybraných Bellmanových problémů a jim se věnovat opravdu detailně. Práci hodnotím B/velmi dobře.

eVSKP id 149309