ŠRAMKOVÁ, K. Soustavy polynomiálních rovnic v ekonomii [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta podnikatelská. 2016.

Posudek vedoucího

Kureš, Miroslav

Bakalářská práce Kristíny Šramkové Soustavy polynomiálních rovnic v ekonomii je zaměřena na řešení soustav nelineárních rovnic vycházejících z ekonomických modelů. Studentka bez problémů zvládla algebraické základy tématiky, především pak teorii okruhů, Gröbnerových bází a algoritmů směřující k jejich nalezení a následnému vyřešení polynomiálních soustav. S nemalou invencí pak ukázala využití v několika ekonomických modelech; bez problémů uchopila i partie související s teorií her. Práce je doplněna samostatně naprogramovanými funkčními balíky v prostředí Wolfram Mathematica. Práce, kterou autorka napsala prakticky zcela samostatně, je napsaná kultivovaně a čtivě, nesporně i s didaktickou přidanou hodnotou. Považuji ji za dílo převyšující standard bakalářských prací. Příklady jsou zcela originální a našly by své místo i v učebnicích. Formální chyby se prakticky nevyskytují. Navrhuji komisi práci hodnotit výborně a případně ji zvážit i na zvláštní ocenění.

Posudek oponenta

Tomáš, Jiří

"První kapitola dává přehled základních algebraických pojmů a poznatků týkajících se řešení polynomiálních rovnic a jejich soustav. Kromě přehledu analytických metod pro obecné řešení rovnic 3. a 4. stupně uvádí zásadní pojem Grobnerovy báze využitelný pro zjednodušování řešení polynomiálních rovnic a Buchbergův algoritmus pro jejich hledání. Druhá kapitola je věnována formulaci a řešení ekonomických problémů s podstatným využitím algebraických metod z 1. kapitoly. V klasickém ekonomickém problému nazvaném ""Závody ve zbrojení"" pro dva hráče formuluje podmínky pro existenci Bayesovy – Nashovy rovnováhy a pro obecnou konkávní distribučmí funkci F modelující chování hráčů presentuje systém nelineárních rovnic vedoucí k nalezení řešení. Pro polynomiální distribuční funkci F pak uvádí řešení vzniklého systému polynomiálních rovnic pomocí Grobnerových bazí s využitím softwaru Wolfram Mathematica. V další části druhé kapitoly se zabývá Arrow-Debreuovou rovnováhou pro Walrasův problém hledání cenového vektoru odpovídajícího maximalizaci užitku n hráčů obchodujících s n komoditami. Pro dva hráče a dvě komodity autorka odvozuje pomocí metody Lagrangeových multiplikátorů systém polynomiálních rovnic, který řeší s využitím Grobnerových bazí a softwaru Wolfram Mathematica. Analogicky postupuje v podkapitole 2.2.2 nazvané „Strategická tržní hra“. V kapitole 3 autorka presentuje jí vytvořený algoritmus v softwaru Wolfram Mathematica vedoucí k řešení výše uvedených ekonomických problémů a provádí podrobný rozbor algoritmů. Práci celkově hodnotím jako vynikající, a to z následujících důvodů: a) Autorka prokázala pochopení a zvládnutí poměrně obtížných a teoreticky náročných matematických partií, i když matematika není její hlavní studijní obor b) kromě toho, že prokázala značný rozsah znalostí a orientace v ekonomických problémech dokázala pro jejich řešení i výborně aplikovat získané matematické znalosti. Užití Grobnerových bazí je zajímavá a originální metoda c) autorka vypracovala původní algoritmus v softwaru Mathematica vedoucí k řešení problémů z kapitoly 2. Autorce bych vytkl jen drobnosti, např. poněkud ledabylou formulaci definice Grobnerovy báze (Def. 1.18). Další drobnost se objevuje v příkladu 1.27, kde místo jednoho ze zadaných polynomů pracuje s polynomem vzatým z příkladu 1.25. Uvítal bych i více komentářů k pojmu Grobnerovy báze, který je zásadním pojmem. Komentář bych doporučil i u Lemmatu 2.31, které vede k sestavení systému rovnic pro řešení problému závodu ve zbrojení. Závěrem konstatuji, že práce dle mého názoru nejen vysoce překračuje standard bakalářské práce, ale obstála by i jako velmi kvalitní diplomová práce. Navrhuji klasifikaci A 99 bodů."

eVSKP id 90922