ZLÁMAL, O. Chaos a diferenciální rovnice se zpožděním [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. 2021.

Posudek vedoucího

Opluštil, Zdeněk

Téma předložené bakalářské práce je chaos a diferenciální rovnice se zpožděním. Text je rozčleněn do pěti kapitol, v nichž autor nejprve zavádí matematický aparát týkající se dané problematiky a poté zkoumá chaotické chování uvažovaných systémů. Stěžejní části jsou obsaženy ve čtvrté a páté kapitole. Student splnil požadavky a cíle bakalářské práce v plném rozsahu. Text je velmi dobře čitelný, logicky uspořádaný a přehledný. Vyskytuje se v něm několik překlepů, ty ale nepřesahují míru obvyklou pro práci takového rozsahu. Autor nastudoval problematiku (zejména v anglicky psané literatuře), která je relativně nová a dalece přesahuje látku základních kurzů, kterými prošel v rámci matematického inženýrství. Projevil velkou schopnost samostatné práce a byl velmi aktivní při řešení uvažovaných problémů. V bakalářské práci bych zejména ocenil, že autor propojil dvě různá témata spojená se studiem diferenciálních rovnic a to chaos a tzv. zpoždění. Na předvedených modelech ukázal, že zpoždění obsažené v diferenciálních rovnicích může významně změnit jejich kvalitativní chování z hlediska chaosu, tj. může způsobit chaotické chování i v systémech, které se bez zpoždění chaoticky nechovají. Dále bych vyzdvihl, že práce obsahuje velké množství ilustrativních obrázků, které jednak přispívají k porozumění dané problematiky a také potvrzují teoretické úvahy. V neposlední řadě bych také ocenil netriviální práci s matematickým softwarem Matlab. Student musel používat ne úplně standardní numerické řešiče (vhodné pro obyčejné diferenciální rovnice), které znal ze svého studia, ale potřeboval se zde naučit pracovat i s numerickými řešiči zpožděných diferenciálních rovnic. V Matlabu si navíc sám naprogramoval algoritmy pro určení Ljapunovova exponentu, jehož hodnoty (pokud jsou kladné) slouží jako jeden z ukazatelů chaotického chování uvažovaných systémů.

Posudek oponenta

Řehák, Pavel

Bakalant ve své práci analyzuje roli zpoždění při generování chaosu v diferenciálních systémech. Konkrétně je uvažován jednak známý Lorenzův systém, ale také jistý 2D systém. Pomocí numerických výpočtů v kombinaci s teorií Ljapunovových exponentů se v kapitolách 4 a 5 ukazuje, že chaos může být vyvolán zpožděním i v případech, kdy odpovídající systém bez zpoždění chaotické chování nevykazuje. V kapitolách 1,2,3 jsou podány základní údaje o dynamických systémech a rovnicích se zpožděním. Práce je doplněna množstvím užitečných obrázků. Numerické výpočty jsou prováděny pomocí systému MATLAB. Text je logicky uspořádaný. Student prokázal schopnost práce s odborným textem a osvojil si některé postupy z teorie dynamických systému. Je nutno poznamenat, že ani teorie deterministického chaosu, ani teorie rovnic s odkloněným argumentem nejsou jednoduché, natožpak jejich kombinace. V práci se se vyskytují překlepy, (drobné) chyby, či nepřesnosti, avšak v akceptovatelném množství. Namátkou: Je použito zvýrazňování pomocí množství různých fontů, které mi ne vždy dávalo dobrý smysl (přičemž však např. některé pojmy zaváděné v definicích nejsou odlišným fontem zvýrazněny vůbec); nejsou specifikovány některé objekty (např. koeficienty v některých rovnicích, předpoklady apod.); lze nalézt řadu kostrbatých a sporných formulací, které nebyly vhodně přeloženy z anglického zdroje; v rovnici na str. 17 má být "+" atd. Jako trochu problém vidím nesoulad ve způsobu a/nebo hloubce popisu základních pojmů. Některé jsou zavedeny precizně a korektně, některé jiné zase příliš vágně, některé dokonce vůbec (je ovšem třeba připustit, že přístupný a "selský" popis problematiky je zejména u tohoto tématu vždy ku prospěchu). Jako další výtku zmíním výběr popisovaných témat teoretického základu: Čtenář by se patrně obešel např. bez celkem podrobného popisu dynamiky 1D systémů, na druhé straně by třeba přivítal podrobnější informace o Ljapunovových exponentech (které jsou jedněmi z hlavních použitých nástrojů), či o dalších důležitých pojmech souvisejících s hlavními výsledky. Z pozitiv práce bych zdůraznil zejména tuto: Líbí se mi zpracování hlavních sledování v kapitolách 4 a 5 (které tvoří jádro práce). Formulace jsou jasné a čtivé. Obdržené výsledky jsou zajímavé a užitečné. Navíc otevírají otázky pro další studium. Cíle práce byly naplněny. Zmíněné nedokonalosti nemají závažný charakter. Autor nastudoval (z různých zdrojů) a zpracoval téma, které přesahuje učivo základních kurzů. Vytvořil srozumitelný text (a to i s originálními sledováními), ze kterého je zřejmé, jakým způsobem se dosáhlo požadovaných cílů a jak si stojí studovaná problematika v širším kontextu. Bakalářskou práci doporučuji k obhajobě a hodnotím stupněm C.

eVSKP id 132770