NAVRÁTILOVÁ, B. Kvadratické polynomy nad binárními poli [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. 2011.
V bakalářské práci Kvadratické polynomy nad binárními poli studentky Barbory Navrátilové jsou studovány polynomy nad konečnými poli charakteristiky 2, které indukují bijekci, někdy též nazývané permutační polynomy. Autorka se po algebraickém úvodu (kap. 2 a 3) věnuje popisu experimentů v systému Mathematica: ty spočívají v ověření, zda dvojice kvadratických polynomů nad binárním polem indukuje bijekci (permutaci) nad čtvercem tohoto pole či nikoliv. (Výsledek pro jeden polynom je snadný, naopak trojici polynomů autorka zkoumala jen okrajově.) Z pozorování vlastností polynomů pak byly odvozovány věty, základní byly dokázány, od Věty 4.9 po Větu 4.14 ale důkazy chybí – zřejmě proto, že tyto věty nepopisují zřetelné vlastnosti zkoumaných polynomů, ale jenom shrnují pozorování, pokud jde o jejich koeficienty: čtenáři pak tyto věty mohou být těžko srozumitelné a především jsou pro něj sotva ověřitelné. Práci lze tedy chápat jen jako východisko k dalšímu výzkumu. Ukázalo se také, že připravený program nebude pro vyšší dimenze použitelný pro vysokou časovou náročnost. Jeden z hlavních výsledků celé práce je uveden na straně 36 v tabulce počtu dvojic polynomů indukujících bijekci, protože ale jde o výsledek opírající se o výstupy programu, hlouběji nezanalyzovaný, bude nutno ještě tyto počty nezávisle ověřit. Na práci je třeba ocenit samostatnost studentky a nemalé úsilí, které jejímu zpracování věnovala. Práce obsahuje některé formální chyby (např. v Def. 3.4. nemá být inkluze, apod.) způsobené dokončováním pod časovým tlakem, věřím, že pří pečlivém čtení by chyby byly odstraněny. Bakalářskou práci slečny Barbory Navrátilové doporučuji k obhajobě.
| Kritérium | Známka | Body | Slovní hodnocení |
|---|---|---|---|
| Splnění požadavků a cílů zadání | B | ||
| Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod | B | ||
| Vlastní přínos a originalita | C | ||
| Schopnost interpretovat dosažené vysledky a vyvozovat z nich závěry | B | ||
| Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii | B | ||
| Logické uspořádání práce a formální náležitosti | A | ||
| Grafická, stylistická úprava a pravopis | B | ||
| Práce s literaturou včetně citací | A | ||
| Samostatnost studenta při zpracování tématu | A |
Autorka se zabývala hledáním kvadratických polynomů jedné neurčité, dvojic polynomů dvou neurčitých a částečně trojic polynomů třech neurčitých, které indukují bijekce ve smyslu polynomiálních zobrazení. Teoretickým základem byly vybrané pojmy z Van der Essenovy monografie „Polynomial Automorphisms and the Jacobian Conjecture“, zejména pojem polynomiálního zobrazení a pojem krotkého automorfismu. Tyto polynomy hledala pomocí programu Mathematica. Poté pracovala na důkazech svých tvrzení. Vypozorovala několik charakteristických vlastností, které formulovala formou vět. Dále provedla grafické znázornění dvojic nalezených polynomů na toru. Navrhuji klasifikaci stupněm A zejména z následujících důvodů a) značná náročnost tématu – bylo nutné zvládnout do hloubky náročný algebraický aparát. Zvládnutí tohoto úkolu prokázala kromě formulace vlastních výsledků i v závěrečné kapitole, kdy diskutovala jejich souvislost s Maubachovou hypotézou. b) dosažení vlastních dílčích výsledků i přesto že jsou spíše technického charakteru c) úspěšné zvládnutí softwaru Mathematica d) aktuálnost zvoleného tématu, zejména vzhledem k aplikacím v kryptografii Kromě několika málo typografických chyb bych snad vytknul autorce jedině to, že při uvedení některých základních pojmů, např. polynomiálního zobrazení mohla uvést srozumitelnější presentaci definice (i když ve zmíněné monografii je dle mého názoru tato záležitost zejména z hlediska značení též trochu problematická) a uvést příklady. Pro větší srozumitelnost práce mohla uvést detailně i popis konečných polí s příkladem. Tyto drobnosti však nic nemění na úrovni a kvalitě práce, která je zejména z hlediska bakalářského stupně výrazně nadstandardní.
| Kritérium | Známka | Body | Slovní hodnocení |
|---|---|---|---|
| Splnění požadavků a cílů zadání | A | ||
| Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod | A | ||
| Vlastní přínos a originalita | A | ||
| Schopnost interpretovat dosaž. vysledky a vyvozovat z nich závěry | A | ||
| Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii | A | ||
| Logické uspořádání práce a formální náležitosti | A | ||
| Grafická, stylistická úprava a pravopis | A | ||
| Práce s literaturou včetně citací | A |
eVSKP id 36902