VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING ÚSTAV MECHANIKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY INSTITUTE OF SOLID MECHANICS, MECHATRONICS AND BIOMECHANICS DEFORMAČNĚ-NAPĚŤOVÁ ANALÝZA KONTISLITKU PŘI KONTINUÁLNÍM ODLÉVÁNÍ OCELI STRESS-STRAIN ANALYSIS OF THE PROCESS OF CONTINUOUS STEEL CASTING DIPLOMOVÁ PRÁCE MASTER'S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR Bc. Gabriel Cabaj VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR doc. Ing. Tomáš Návrat, Ph.D. BRNO 2023   Zadání diplomové práce               Ředitel ústavu Vám v souladu se zákonem č.111/1998 o vysokých školách a se Studijním a zkušebním řádem VUT v Brně určuje následující téma diplomové práce: Deformačně–napěťová analýza kontislitku při kontinuálním odlévání oceli Stručná charakteristika problematiky úkolu: Při procesu plynulého odlévání se často vyskytují technologické problémy. Optimalizovat výrobu s cílem dosáhnout maximálních úspor při maximální kvalitě produktů je již dnes nemyslitelné bez dokonalé znalosti průběhu tuhnutí a chladnutí předlitku. Výrazný pokrok nastal v případě možnosti modelovat teplotní pole v kontislitku s následným určením teplotní napjatosti pro posouzení možnosti predikce vzniku trhlin. Práce bude zaměřena na vytvoření výpočtového modelu pro určení napětí a deformací při procesu kontinuálního lití v systému ANSYS. Pro řešení bude využito výpočtového clusteru a budou vyšetřovány různé vlivy na vypočtenou napjatost. Cíle diplomové práce: 1) Rešeršní analýza výpočtového modelování procesu kontinuálního lití 2) Vytvoření rovinného výpočtového modelu a odladění nastavení modelu 3) Vytvoření prostorového výpočtového modelu 4) Analýza získaných výsledků a formulace závěrů Seznam doporučené literatury: Thomas, B.G. Modeling of the continuous casting of steel—past, present, and future. Metall Mater Trans B 33, 795–812 (2002). Li, G., Ji, C. & Zhu, M. Prediction of Internal Crack Initiation in Continuously Cast Blooms. Metall Mater Trans B 52, 1164–1178 (2021). Li, Yj., Li, H., Lan, P. et al. Thermo-elasto-visco-plastic finite element analysis on formation and propagation of off-corner subsurface cracks in bloom continuous casting. J. Iron Steel Res. Int. 24, 1159–1168 (2017). Ústav: Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky Student: Bc. Gabriel Cabaj Studijní program: Inženýrská mechanika a biomechanika Studijní obor: Inženýrská mechanika Vedoucí práce: doc. Ing. Tomáš Návrat, Ph.D. Akademický rok: 2022/23 Fakulta strojního inženýrství, Vysoké učení technické v Brně / Technická 2896/2 / 616 69 / Brno     Termín odevzdání diplomové práce je stanoven časovým plánem akademického roku 2022/23       V Brně, dne       L. S.         prof. Ing. Jindřich Petruška, CSc. ředitel ústavu doc. Ing. Jiří Hlinka, Ph.D. děkan fakulty Fakulta strojního inženýrství, Vysoké učení technické v Brně / Technická 2896/2 / 616 69 / Brno ABSTRAKT Diplomová práca je zameraná na vytvorenie výpočtového modelu pre určenie napätosti a deformácie kruhového sochoru počas procesu plynulého odlievania oceli. Vstupnými veličinami do analýzy napätosti a deformácie sú dodané materiálové charakteristiky, geometria zariadenia pre plynulé odlievanie a teplotné pole v sochore. Výpočtový model na základe metódy konečných prvkov je vytvorený v komerčnom softvéri ANSYS. Prácu je možné rozdeliť na tri časti. Prvá časť obsahuje základné informácie týkajúce sa ply- nulého odlievania oceli a rešeršnú analýzu výpočtového modelovania tohto procesu. V druhej časti je podrobne popísaná tvorba rovinného a priestorového výpočtového mo- delu. Nakoniec sú získané výsledky napätosti a deformácie analyzované a sú uvedené odporúčania pre pokračovanie v ďalšej práci. KĽÚČOVÉ SLOVÁ plynulé odlievanie oceli, deformačne-napäťová analýza, rovinný model, priestorový model, zvyškové napätie, metóda konečných prvkov, MKP, vady sochorov ABSTRACT The thesis is focused on the development of a computational model for determination of stress and strain of a round billet in the process of continuous steel casting. The supplied material characteristics, the geometry of the continuous casting machine and the temperature distribution in the billet are applied as input data for stress and strain analysis. The computational model based on the finite element method is developed in the commercial software ANSYS. The thesis can be divided into three parts. The first part includes background information related to the continuous casting of steel and a research analysis of the computational modeling of this process. The second part describes the development of the planar and three-dimensional computational model in detail. Finally, the obtained stress and strain results are analyzed and general conclusions, and recommendations for further development are proposed. KEYWORDS continuous steel casting, stress-strain analysis, planar model, three-dimensional model, residual stress, finite element method, FEM, billet defects Vysadené pomocou balíčku thesis verzie 4.07; http://latex.feec.vutbr.cz http://latex.feec.vutbr.cz CABAJ, Gabriel. Deformačně-napěťová analýza kontislitku při kontinuálním odlévání oceli. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, Ústav mecha- niky těles, mechatroniky a biomechaniky, 2023, 118 s. Diplomová práca. Vedúci práce: doc. Ing. Tomáš Návrat, Ph.D. Vyhlásenie autora o pôvodnosti diela Meno a priezvisko autora: Bc. Gabriel Cabaj VUT ID autora: 208454 Typ práce: Diplomová práca Akademický rok: 2022/2023 Téma závěrečnej práce: Deformačně-napěťová analýza kontislitku při kontinuálním odlévání oceli Vyhlasujem, že svoju záverečnú prácu som vypracoval samostatne pod vedením vedú- cej/cého záverečnej práce, s využitím odbornej literatúry a ďalších informačných zdrojov, ktoré sú všetky citované v práci a uvedené v zozname literatúry na konci práce. Ako autor uvedenej záverečnej práce ďalej vyhlasujem, že v súvislosti s vytvorením tejto záverečnej práce som neporušil autorské práva tretích osôb, najmä som nezasiahol nedo- voleným spôsobom do cudzích autorských práv osobnostných a/alebo majetkových a som si plne vedomý následkov porušenia ustanovenia S 11 a nasledujúcich autorského zákona Českej republiky č. 121/2000 Sb., o práve autorskom, o právach súvisiacich s právom au- torským a o zmene niektorých zákonov (autorský zákon), v znení neskorších predpisov, vrátane možných trestnoprávnych dôsledkov vyplývajúcich z ustanovenia časti druhej, hlavy VI. diel 4 Trestného zákonníka Českej republiky č. 40/2009 Sb. Brno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . podpis autora∗ ∗Autor podpisuje iba v tlačenej verzii. POĎAKOVANIE Úprimne sa chcem poďakovať pánovi doc. Ing. Tomášovi Návratovi, Ph.D. za jeho trpezlivosť a ústretovosť. Takisto mu ďakujem za odborné vedenie a poskytnutie výpočtovej techniky, bez ktorej by táto práca bola len ťažko dokončená. Za poskytnutie podkladov k pôvodnému modelu a nespočetný čas pri konzultovaní ďakujem Ing. Jaroslavovi Kovářovi. Ďakujem takisto Ing. Tomášovi Březinovi za dodanie výsledkov teplotného poľa a objasnenie niektorých skutočností ohľadom plynulého odlievania. Poďakovanie patrí aj všetkým kamarátkam a kamarátom za to, že ma podporo- vali a akceptovali moju duchom neprítomnosť pri sledovaní konvergencie výpočtov. V neposlednom rade ďakujem najmä svojim rodičom, ktorí mi umožnili štúdium na vysokej škole a bez ich podpory by som len ťažko doštudoval. Obsah 1 Úvod 16 1.1 Problémové situácia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2 Formulácia problému a ciele práce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Prínos diplomovej práce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Plynulé odlievanie oceli 18 2.1 Úvod a historický vývoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Podstatné prvky ZPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1 Panva a medzi-panva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2 Pohyb oceli a rovnanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.3 Kryštalizátor - primárne chladenie . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.4 Elektromagnetické miešanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.5 Sekundárna a terciárna zóna chladenia . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Parametre plynulého odlievania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.1 Rýchlosť liatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.2 Formát liatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.3 Teplota odlievania a prehriatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.4 Metalurgická dĺžka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Vady odlievaných polotovarov a príčiny ich vzniku . . . . . . . . . . . 28 2.4.1 Vady na povrchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.2 Vady vo vnútri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.3 Vady súvisiace s tvarom profilu . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Rešeršná analýza 30 3.1 Publikácie českých autorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 Zahraničné publikácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Zhrnutie rešerše . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4 Výpočtový model teplotného poľa 36 4.1 Empirický prístup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2 Modely s využitím numerických metód . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2.1 Základná diferenciálna rovnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2.2 Počiatočné a okrajové podmienky . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3 Metódy riešenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5 Výpočtový model pre určenie deformácie a napätosti 43 5.1 Aspekty deformácie a napätosti odlievaného sochoru . . . . . . . . . . 43 5.2 Komplexná analýza problému . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.2.1 Vymedzenie hraníc riešenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.2.2 Systém podstatných veličín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.3 Použitý softvér a hardvér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3.1 Softvér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3.2 Hardvér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.4 Postup a filozofia tvorby výpočtového modelu . . . . . . . . . . . . . 46 5.5 Vstupné parametre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.6 Model materiálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.6.1 Modul pružnosti a Poissonov pomer . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.6.2 Súčiniteľ teplotnej rozťažnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.6.3 Plastické deformácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.6.4 Creep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.7 Model geometrie a sieť konečných prvkov . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.7.1 Model geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.7.2 Sieť konečných prvkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.8 Model interakcií . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.9 Pohyb sochoru a aplikované zaťaženie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.9.1 Pohyb sochoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.9.2 Teplotné zaťaženie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.9.3 Hydrostatický tlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.10 Všeobecné nastavenie analýzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.10.1 Nastavenia riešiča . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.10.2 Ukladanie výsledkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.10.3 Časová náročnosť výpočtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.11 Krátke zhrnutie tvorby výpočtového modelu . . . . . . . . . . . . . . 73 6 Analýza získaných výsledkov napätosti a deformácie 75 6.1 Rovinný model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.2 Priestorový model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2.1 Variant 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2.2 Variant 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.2.3 Variant 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.2.4 Variant 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6.2.5 Porovnanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7 Možnosti predikcie poškodenia 95 7.1 Úvod do problematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.2 Prípadová štúdia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 8 Zovšeobecňujúce závery a odporúčania pre ďalšiu prácu 98 9 Záver 99 Literatúra 100 Zoznam obrázkov 105 Zoznam symbolov a skratiek 109 A Ostatné výsledky - rovinný model 113 B Ostatné výsledky - priestorový model 116 1 Úvod 1.1 Problémové situácia Pri procese plynulého odlievania sa často vyskytujú technologické problémy. Opti- malizovať výrobu, s cieľom dosiahnuť maximálnych úspor pri maximálnej kvalite produktu, je už dnes nemysliteľné bez dokonalej znalosti priebehu tuhnutia a ochla- dzovania kontizliatku. Výrazný pokrok nastal v prípade možnosti modelovať teplotné pole v kontizliatku, s možnosťou určenia teplotnej napätosti pre posúdenie možnosti vzniku trhlín. Všeobecne je snaha o vytvorenie združených, tepelne-mechanických [1] výpočto- vých modelov a ich začlenenie do online riadenia prevádzky zariadení pre plynulé odlievanie oceli. Na Ústave mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky sa vý- skumná skupina zaoberala práve modelovaním deformácie a napätosti sochorov, z čoho vznikol námet na túto diplomovú prácu. 1.2 Formulácia problému a ciele práce Na základe uvedenej problémovej situácie, je problém formulovaný nasledovne: „Vytvorenie výpočtového modelu v prostredí ANSYS pre určenie deformácie a napätosti sochoru pri kontinuálnom odlievaní oceli.“ Práca si kladie uvedené dielčie ciele: 1. Rešeršná analýza výpočtového modelovania procesu kontinuálneho liatia. 2. Vytvorenie rovinného výpočtového modelu a odladenie nastavení modelu. 3. Vytvorenie priestorového výpočtového modelu. 4. Analýza získaných výsledkov a formulácia záverov. 1.3 Prínos diplomovej práce Snahou autora je popísať možnosti modelovania procesu plynulého odlievania oceli, pričom výstupom diplomovej práce má byť odladený výpočtový model založený na metóde konečných prvkov (ďalej len MKP) v prostredí ANSYS, pre určenie napä- tosti a deformácie sochoru. Výsledky z tejto analýzy môžu byť potom použité ako vstupné veličiny modelu pre kvantifikáciu rizika porušenia celistvosti materiálu pri procese plynulého odlievania oceli. Vytvorený výpočtový model potom bude môcť 16 byť jednoducho modifikovaný a aplikovateľný takmer na každé zariadenie pre ply- nulé odlievanie (ďalej len ZPO) oceli. Práca začína stručným úvodom do procesu plynulého odlievania. Na túto časť ply- nulo naväzuje rešeršná analýza týkajúca sa výpočtového modelovania tohto procesu. Následne je uvedený stručný prehľad výpočtu teplotného poľa, ktoré je jedným zo vstupov do výpočtového modelu. Ďalej sa výrazná časť práce venuje podrobnému popisu tvorby a ladenia nastavení výpočtových modelov. Nakoniec sú analyzované získané výsledky, formulované všeobecné závery a sú uvedené odporúčania pre ďalšiu prácu. 17 2 Plynulé odlievanie oceli Na úvod diplomovej práce týkajúcej sa výpočtového modelovania procesu plynulého odlievania oceli je vhodné si stručne pripomenúť, čo sa skrýva pod týmto pojmom. V dnešnej dobe je dostupné nespočetné množstvo literatúry, kde je tento progresívny technologický postup popísaný od svojich raných štádií až po súčasnosť. Zo zahra- ničných publikácií je možné spomenúť [2], táto kniha spracúva plynulé odlievanie oceli veľmi podrobne. Z tuzemských zdrojov, kde je prehľadne spracovaný základný princíp plynulého odlievania to sú [3], [4], [5], [6], [7]. Nasledujúca časť obsahuje súhrn informácií pre dostatočný prehľad o technológií plynulého odlievania oceli. 2.1 Úvod a historický vývoj Oceľ možno definovať ako zliatinu železa, uhlíka a ďalších prvkov, ktoré sa do oceli zámerne pridávajú, alebo sa do nej dostávajú neúmyselne pri výrobnom procese. Chemické zloženie, tepelné spracovanie, prípadne spôsob tvárnenia oceli určujú jej výsledné fyzikálne a chemické vlastnosti. Práve z tohto dôvodu má široké využi- tie v rôznych odvetviach priemyslu, strojársky priemysel nevynímajúc. Výroba oceli historicky spočíva v liatí roztaveného kovu z pece do pripravených foriem. Tento tradičný proces výroby je však zdĺhavý a pomerne pracný. Práve z tohto dôvodu na- stupuje efektívnejší spôsob - kontinuálne odlievanie oceli. Tento postup odlievania umožňuje výrobu oceli v jednom, nepretržitom procese. Okrem úspory času prináša tento spôsob výroby aj iné výhody, napríklad v podobe kvalitnejších produktov - polotovarov ocelí [2, 3, 4, 7]. Historicky plynulé odlievanie siaha do polovice 19. storočia. Za prvý pokus je možné považovať experiment pána Henryho Bessemera okolo roku 1846 [8]. Postupne sa vy- vinuli prvé zariadenia znázornené na obrázku 2.1. Jednalo sa o jednoduchú zostavu, ktorá pozostávala z dvoch protiľahlých valcov, medzi ktoré sa postupne pridával roztavený kov a výsledným produktom boli tenké plechy. 18 (a) Pôvodné zariadenie pa- tentované v roku 1857. (b) Vylepšené zariadenie patento- vané v roku 1865. Obr. 2.1: Historicky prvé zariadenia pre plynulé odlievanie oceli vyvinuté Henrym Bessermenom. Prevzaté z [8]. Postupom času s rastúcim dopytom po oceli sa oceliarsky priemysel neustále rozvíjal a nastúpili prvé väčšie ZPO. Tieto boli väčšinou vertikálneho typu, pretože boli praktické z hľadiska dodávky oceli. Čím sa však začali stavať stále väčšie zariadenia, začínali byť limitované výškou. Tento aspekt nakoniec prinútil výrobcov oceli k postupnému prechádzaniu na radiálne typy ZPO (viď obrázok 2.2), ktoré sú dnes najrozšírenejšími. Na obrázku 2.3 sú schematicky znázornené aj iné typy používaných ZPO (vertikálne, horizontálne) [4, 7]. Zariadenie pre osciláciu kryštalizátoru Panva Otočná veža Medzi-panva Kryštalizátor Elektromagnetické miešače Valce ZPO Chladiace trysky Poškodený polotovar Deliace zariadenie Obr. 2.2: Radiálne zariadenie pre plynulé odlievanie oceli, konkrétne pre odlievanie brám. Prevzaté z [9], upravené. 19 V druhej polovici 20. storočia prichádzali ďalšie vylepšenia, ktoré spočívali v rých- lejšej dodávke oceli do ZPO. Takisto zavedenie elektromagnetických miešačov, mo- nitorovanie teplôt v kontizliatku počas samotného odlievania a v neposlednom rade riadenie celého procesu pomocou počítačovej techniky. Plynulé odlievanie oceli preto možno dnes zaradiť medzi progresívne technológie. Pre svoju efektivitu sa prirodzene stalo najrozšírenejšou technológiou výroby oceli vôbec. Produktom je polotovar ur- čený k ďalšiemu spracovaniu [3, 5, 7]. Miesto rezania Stuhnuté vnútro Tekuté vnútro V ýš ka Z P O [m ] Obr. 2.3: Schéma rôznych usporiadaní ZPO. Prevzaté z [4], upravené. ZPO sa skladá z niekoľkých podstatných častí. Úplne na začiatku je panva, ktorá zaisťuje plynulú dodávku oceli do systému. Medzi-panva slúži k rovnomernému do- dávaniu roztavenej oceli do kryštalizátoru. Kryštalizátor je spravidla medená doska chladená vodou, ktorá určuje konečný tvar odlievaného kontizliatku a slúži predov- šetkým na vytvorenie prvotnej škrupiny v tavenine (primárne chladenie) [3, 7]. Po opustení kryštalizátoru prechádza kontizliatok zónou sekundárneho chladenia. Tým sa myslí sústava valcov a trysiek, ktoré chladia kontizliatok vzduchom, vodou alebo ich kombináciou. Veľkosť sekundárnej zóny chladenia závisí na type a veľkosti odlie- vaného profilu. Na konci dráhy je zariadenie, ktoré kontizliatok delí na menšie časti [2, 7]. Podrobnému popisu funkcií jednotlivých prvkov ZPO je venovaný samostatný text. 20 2.2 Podstatné prvky ZPO Na obrázku 2.4 je znázornené schéma radiálneho ZPO pre plynulé odlievanie. Na tomto obrázku je možné vidieť podstatné prvky ZPO, ktoré sú podrobnejšie popísané nižšie. Metalurgická d́lžka R Z H Medzi-panva Panva Meniskus Hladina oceli Sekundárne chladenie Terciárne chladenie Kryštalizátor Vodné chladenie Vodo-vzdušné chladenie Obr. 2.4: Schéma ZPO. Prevzaté z [17], upravené. 2.2.1 Panva a medzi-panva Jedná sa o primárny prísun oceli z vysokých pecí do ZPO. Táto časť má veľký vplyv na výslednú kvalitu polotovaru. Kapacita panvy sa odvíja od výrobnej prevádzky. Veľkosť medzi-panvy je zvyčajne 10% z veľkosti panvy. Medzi-panva je vybavená regulačným zariadením, aby bol zaistený plynulý prísun taveniny do kryštalizátoru. Kladie sa veľký dôraz na to, aby sa do kryštalizátoru nedostala struska [7, 3]. 2.2.2 Pohyb oceli a rovnanie Pohyb oceli Tekutá oceľ je najskôr liata z panvy do medzi-panvy. Odtiaľto je zaistený plynulý prísun do kryštalizátoru. Úplne na začiatku procesu je spodok kryštalizátoru utes- nený zátkou. Postupne je táto zátka hydraulickým pohonom vedená cez ZPO, kým 21 nie je proces úplne zabehnutý1. Rýchlosť odlievania je závislá na tvare a veľkosti profilu, a na iných technologických aspektoch. Štandardná rýchlosť liatia sa pohy- buje približne od 0,3 do 8 m/min. Celý proces odlievania sa potom v závislosti na veľkosti ZPO pohybuje od 0,5 do 1,5 h [7]. Ťažná stolica Ťažnou stolicou sa rozumie sústava valcov, väčšinou v sekundárnej zóne chladenia, ktoré sú poháňané elektromotorom a zabezpečujú tak plynulý pohyb materiálu [7]. Rovnanie Nachádza sa v oblasti prechodu oblúkovej časti ZPO do priamej, kde dochádza k narovnaniu tuhnúceho kontizliatku. Z pohľadu výslednej kvality ma proces rovnania takisto výrazný vplyv na polotovar. Dôraz sa kladie najmä na to, aby bola povrchová teplota kontizliatku v rozmedzí teplôt, pri ktorých má materiál také vlastnosti, že riziko vzniku povrchových vád pri rovnaní bude čo najmenšie. Samotné zariadenie sa skladá zo sústavy valcov, ktorých správne nastavenie je rovnako dôležité pre výslednú kvalitu polotovarov [7, 10]. Soft reduction Účelom „soft reduction“2 je zámerná deformácia kontizliatku v kolmom smere na osu pomocou prítlačných valcov, približne vo vzdialenosti metalurgickej dĺžky (viď obrázok 2.5). Práve v týchto miestach dochádza k stuhnutiu posledných zvyškov ta- veniny - „mushy“ zóna3. V tejto oblasti sa vyskytujú segregácie a vďaka stlačeniu sa vznik týchto segregácií potlačí. Tým vzniká kvalitnejší výsledný polotovar s menším rizikom výskytu vád [7]. Vplyv „soft reduction“ je obsahom samostatného výskumu [11]. 1Tieto dve vety vlastne popisujú naštartovanie výrobného procesu v prevádzke. Prvá stuhnutá časť, ktorá je za zátkou, sa vyhodí ako odpad. Zátka poslúži na to aby sa materiál pretiahol cez celú dráhu ZPO, kým nebude zaistený kontinuálny proces [5]. 2Podľa veľkosti presadenia valcov sa používa aj pojem „heavy reduction“ [11]. Poznámka: Nie- ktoré cudzojazyčné termíny alebo názvy v tejto práci nie sú preložené. Hlavným dôvodom je, že buď neexistuje doslovný preklad a voľný preklad by mohol spôsobiť nedorozumenie alebo je to za- behnutý termín v riešenej problematike. Z kontextu je vždy zrejmý význam a tieto slová sú uvedené „kurzívou a v úvodzovkách“. 3Je to oblasť taveniny, ktorá existuje medzi pevnou a kvapalnou fázou. Vyznačuje sa nízkou pevnosťou a nízkou ťažnosťou. Počas tuhnutia je práve táto oblasť najviac náchylná na tvorbu vnútorných vád v materiáli [2, 3, 4, 7, 10, 12]. 22 Metalurgická d́lžka Redukcia Oblast’ redukcie Obr. 2.5: Schéma zariadenia pre „soft reduction“. Prevzaté z [13], upravené. 2.2.3 Kryštalizátor - primárne chladenie Inými slovami aj primárna zóna chladenia, ktorej úlohou je vytvorenie škrupiny kon- tizliatku v počiatočných fázach tuhnutia. Škrupina musí byť dostatočne pevná tak, aby udržala tekuté jadro a nedošlo tak k prevaleniu. V primárnej oblasti chladenia má stuhnutá škrupina hrúbku len približne 10-20 mm. Z tohto dôvodu je kryštalizá- tor vybavený termočlánkami napojenými na systém zabezpečenia proti prevaleniu. Kryštalizátor je teda ďalším prvkom ZPO, ktorý má významný vplyv na výslednú kvalitu polotovaru [3, 7]. Schéma kryštalizátoru a prísunu taveniny je znázornená na obrázku 2.6. 23 Tekutá ocel’ Regulačné zariadenie Dýza pre dodávku oceli Panva Meniskus Kryštalizátor Stuhnutá škrupina Nepretržitý tok materiálu Tekutá ocel’ Obr. 2.6: Schéma prísunu taveniny do kryštalizátoru. Prevzaté z [14], upravené. 2.2.4 Elektromagnetické miešanie V súčastnosti je zariadenie na elektromagnetické miešanie nainštalované na väčšine ZPO. Je to technológia, ktorá umožňuje premiešavať jadro kontizliatku, ktoré je stále v tekutom stave. Princíp spočíva v indukcií elektromagnetických síl v tekutom jadre elektromagnetickou indukciou. Významom tohto zariadenia je homogenizácia tekutého jadra, ktorá súvisí s lepšou výslednou kvalitou kontizliatkov. Konštrukčne môže byť zariadenie na elektromagnetické miešanie umiestnené priamo v kryštali- zátore, alebo v sekundárnej zóne chladenia [4, 7]. Napríklad na ZPO z obrázku 2.2 je toto zariadenie umiestnené pred oblasťou rovnania. 24 2.2.5 Sekundárna a terciárna zóna chladenia Sekundárna zóna chladenia sa nachádza pod kryštalizátorom. Je tvorená vodiacimi valcami a sústavou chladiacich trysiek. Teplo je odvádzané chladením pomocou try- siek, kontaktom s valcami, prirodzenou konvekciou a radiáciou (viď obrázok 2.7). Teplo odvedené tryskami v sekundárnej zóne predstavuje približne 50-60% celkového odvedeného tepla [7]. Usporiadanie vodiacich valcov plynie z usporiadania ZPO. V prípade radiálnych ZPO je dôležité najmä usporiadanie valcov pod kryštalizátorom v oblasti, kde dochádza k ohýbaniu kontizliatku. V tomto štádiu je škrupina stuhnutej oceli ešte pomerne tenká a môže dochádzať k vydutiu4 škrupiny. Z pohľadu efek- tivity výroby je dôležité, aby sekundárne chladenie zabezpečilo stuhnutie tekutého jadra ešte pred miestom delenia materiálu na menšie časti. Na druhej strane nesmie byť ochladzovanie príliš prudké, aby nevznikali vady na povrchu kontizliatku kvôli teplotne generovanému napätiu, spôsobenému prudkým ochladením. Všeobecne je možné považovať kombináciu nevhodnej povrchovej teploty a nízkej tvárnosti oceli za príčinu vzniku priečnych trhlín [3]. Naopak, za príčinu tvorby vnútorných trhlín je považované znovu-ohriatie materiálu. Z tohto dôvodu, by mala teplota taveniny počas celého procesu klesať [2]. Valec Tryska Prirodzená konvekcia + radiácia Konvekcia pod tryskou + radiácia Odvod tepla kontaktom s valcom Obr. 2.7: Schéma mechanizmov odvodu tepla v sekundárnej zóne chladenia. Pre- vzaté z [5], upravené. Terciárna zóna chladenia môže byť takisto zložená zo sústavy valcov a prirodzene sa nachádza za sekundárnou zónou. Odvod tepla prebieha najmä radiáciou a z malej časti aj prirodzenou konvekciou do okolia [3]. 4Česky: Vyboulení, Anglicky: Bulging. 25 2.3 Parametre plynulého odlievania 2.3.1 Rýchlosť liatia Je to rýchlosť akou kontizliatok vychádza z kryštalizátoru. Je priamo spojená s produktivitou ZPO a je závislá na type a rozmere odlievaného profilu, type oceli, prehriatí5 a hrúbke škrupiny pri výstupe z kryštalizátoru [3]. Pri nastavovaní rých- losti odlievania sa musí brať do úvahy aj výsledná metalurgická dĺžka, a to tak, aby v mieste, kde dochádza k rezaniu kontizliatku na menšie časti, bol celý priečny prierez stuhnutý. Čo sa týka rýchlostí pre jednotlivé typy odlievaných profilov, vo všeobec- nosti má odlievanie sochorov väčšiu rýchlosť ako odlievanie brám. Je to hlavne z toho dôvodu, že bramy sú väčšie, a sú viac náchylné na tvorbu trhlín [3]. 2.3.2 Formát liatia Udáva výsledný tvar priečneho prierezu výsledného polotovaru. Na obrázku 2.8 sú znázornené bežné tvary odlievaných polotovarov [5]. 5Definované v časti 2.3.3. 26 Blok Sochor Kruhový sochor Nosńıkový profil Bežne a stredne hrubé bramy Tenká brama Profil presného tvaru 400x600 200x200 �500 � 140 1048x450 440x380 3200x280 1530x250 400x100 1680x50 850x250 Obr. 2.8: Rôzne tvary odlievaných polotovarov. Prevzaté z [5], upravené. 2.3.3 Teplota odlievania a prehriatie Sú to charakteristiky, ktoré popisujú fázu odlievania, keď je roztavená oceľ v medzi- panve, odkiaľ je dodávaná do kryštalizátoru. Rozdiel medzi teplotou v medzi-panve a teplotou tuhnutia danej oceli sa nazýva prehriatie [3, 10]. Prehriate sa obvykle pohybuje v rozpätí 20 − 40∘C, pričom sú snahy o minimalizáciu prehriatia. Teplota odlievania je teplota taveniny vstupujúcej do kryštalizátoru [7]. 2.3.4 Metalurgická dĺžka Metalurgická dĺžka je definovaná ako maximálna osová vzdialenosť od menisku k posledným zvyškom kvapalnej fázy tuhnúceho kontizliatku (viď obrázky 2.4, 4.1) [3]. Je priamo úmerná rýchlosti odlievania a nepriamo úmerná tepelnej vodivosti oceli. Metalurgická dĺžka okrem iného obmedzuje hlavne miesto, kde dochádza k deleniu materiálu deliacim zariadením [15]. 27 2.4 Vady odlievaných polotovarov a príčiny ich vzniku Vady pri plynulom odlievaní vznikajú na povrchu a vo vnútri. Jednotlivé typy sú ilustrované obrázkom 2.9. Za vadu sa považuje aj nesprávny tvar odlievaného profilu [10]. Na vznik vád v kontizliatku pri plynulom odlievaní vplýva viacero faktorov. Jedná sa hlavne o prevádzkové podmienky ZPO (rýchlosť liatia, tvar profilu apod.) a chemické zloženie. V kontexte formulovaného problému v časti 1.2 sa autor v tejto časti venuje primárne popisu vád súvisiacich s nastavením parametrov ZPO. Obr. 2.9: Ilustrácia rôznych typov vád kontizliatku. Prevzaté z [7]. 2.4.1 Vady na povrchu Za povrchové vady sa považujú tie, ktoré sa vyskytujú predovšetkým na povrchu kontizliatku alebo tesne pod povrchom. Vznikajú v dobe, keď povrch kontizliatku stráca kontakt s kryštalizátorom a napätosť v stuhnutej škrupine prevyšuje kritické hodnoty. Schopnosť oceli deformovať sa po prekročení medze klzu charakterizuje ťažnosť 𝜉, ktorú je možné vyjadriť percentuálne vzťahom (2.1). 𝜉 = (︂ 1 − 𝐴𝑓 𝐴0 )︂ · 100 (2.1) Kde 𝐴𝑓 je plocha priečneho prierezu pri porušení a 𝐴0 je pôvodná plocha. Vše- obecne je možné ťažnosť definovať ako relatívne predĺženie materiálu do porušenia celistvosti. Po prevedení množstva ťahových skúšok ocelí pri rôznych teplotách boli identifikované tri oblasti teplôt, pri ktorých má oceľ zníženú ťažnosť, a teda je viac náchylná k porušeniu (viď obrázok 2.10) [4, 7]. 28 600 900 1 200 Tm Teplota [°C] Ť až n os t’ Obr. 2.10: Závislosť ťažnosti oceli na teplote (ilustrácia). Prevzaté z [16], upravené. 2.4.2 Vady vo vnútri Trhliny vo vnútri kontizliatku majú priamy súvis s teplotne - mechanickou napä- tosťou spôsobenou fázovými premenami. Tieto trhliny sa tvoria najmä na rozhraní tekutej a tuhej fázy. Pásmo teplôt, v ktorom je vznik vnútorných trhlín najviac pravdepodobný sa nazýva aj fáza lámavosti za tepla, čo je interval teplôt tesne pod teplotou pevnej fázy. Z pohľadu mechanických vlastností materiálu ovplyvňuje tvorbu vnútorných trhlín pomer pevnosti oceli k jej plastičnosti za vysokých teplôt [4, 3]. 2.4.3 Vady súvisiace s tvarom profilu Nesprávny tvar profilu je považovaný za vadu z toho dôvodu, že značne komplikuje jeho ďalšie spracovanie, s čím súvisí zvýšená neefektívnosť výroby. Medzi časté vady tvaru patrí napríklad aj deformácia priečneho prierezu z pravidelného štvoruhol- níka do kosodĺžnika, prípadne do oválu. Tvorba týchto vád primárne súvisí s tlakom roztaveného jadra na stuhnutú škrupinu (dochádza k vydutiu), neoptimálnou inten- zitou chladenia, vysokou rýchlosťou odlievania a nedokonalou geometriou valcovej dráhy ZPO [3, 10]. 29 3 Rešeršná analýza 3.1 Publikácie českých autorov Analýza teplotného poľa Štětina, J. 2007 [5] Dynamický model teplotního pole plynule odlévané bramy Prínosom práce je vytvorený dynamický model teplotného poľa plynule odlievaných brám. Autor v modeli zahŕňa rôzne vplyvy na teplotné pole, najmä rôzne podmienky ochladzovania a prestupu tepla. Vytvorený model bol experimentálne overený z re- álnych dát ZPO. Záverom bolo, že model je schopný dostatočne presne popísať teplotné pole a môže byť použitý pri ďalšej optimalizácií tohto procesu. Štětina, J. 2008 [6] Optimalizace parametru lití sochorů pomocí modelu teplotního pole Vytvorený model publikovaný v [5] je v tomto prípade použitý na optimalizáciu para- metrov procesu plynulého odlievania sochorov. Autor predkladá možnosti začlenenia modelu do on-line riadiaceho systému ZPO. Mauder, T. 2012 [4] Optimalizace bramového plynulého odlévání oceli za pomoci numerického mo- delu teplotního pole Autor sa vo svojej práci zameriava konkrétne na plynulé odlievanie brám. Prínosom práce je nový prístup k optimalizácií parametrov plynulého odlievania s využitím modelu teplotného poľa. Klimeš, L. 2014 [7] Optimalizace parametrů sekundárního chlazení plynulého odlévání oceli Práca sa zameriava na optimalizáciu plynulého odlievania so zameraním sa na se- kundárnu oblasť chladenia. Prináša nový prístup k optimalizácií procesu plynulého odlievania, ktorého výsledkom je výrazné zníženie výskytu vád v plynule odlievaných polotovaroch. Model je pripravený pre výpočet na grafických kartách, čo z neho robí robustný nástroj s možnosťou komerčného využitia. 30 Analýza napätosti a deformácie Heger, J. 2002 [17] Numerická simulace technologického procesu kontinuálního odlévání oceli Autor sa zaoberá analýzou napätosti a deformácie bramy pri procese plynulého od- lievania s využitím MKP v softvéri ANSYS. Predkladá vytvorený algoritmus rovin- ného modelu odlievanej bramy, pričom uvažuje reálny tvar ZPO a kontakt s valcami. V závere práce autor popisuje problematiku kvantifikácie rizika vzniku vád zo zís- kaných výsledkov a možnosti ich použitia. Navrhuje kalibráciu kritéria porušenia s využitím štatistického spracovania viacerých analýz a experimentálne overenie s reálne identifikovaným porušením. Březina, T. a kol. 2019 [1] Coupled Real-Time Thermo-Mechanical Solidification Model of Continuously Cast Steel Príspevok prezentuje možnosti prepojenia tepelného a mechanického výpočtového modelu pre predikciu vád v plynule odlievaných polotovaroch. Celý model je možné rozdeliť na dve časti. Tou prvou je výpočet teplotného poľa, ktoré je vstupom do modelu pre určenie napätosti. Na základe kritérií porušenia materiálu by potom mohol byť model implementovaný do riadenia ZPO pre optimalizáciu procesu. Sú- časným problémom je príliš dlhý výpočtový čas a nedostatok materiálových dát pre kritérium porušenia. 3.2 Zahraničné publikácie Brian G., Thomas 2002 [18] Modeling of the continuous casting of steel—past, present, and future Publikácia, ktorá prináša stručný prehľad o výpočtovom modelovaní procesu ply- nulého odlievania v minulosti, súčasnosti (2002) a potenciálu budúcich analýz s využitím napredovania výpočtovej techniky. V práci je prehľadne spracovaný úvod do problematiky výpočtového modelovania teplotného poľa, napätosti a deformácie kontizliatku. Autor popisuje rôzne dielčie modely - model prúdenia pri dodávaní oceli tryskou do kryštalizátoru až po analýzu tuhnutia škrupiny s využitím MKP. Prikladá metódy a možnosti experimentálneho overenia výsledkov. 31 Analýza teplotného poľa Wang, Z. a kol. 2021 [19] Analysis of Secondary Cooling Solidification Process of Continuous Casting Slab Based on Finite Element Method Metódou konečných prvkov s využitím softvéru ANSYS bola prevedená teplotná analýza tuhnutia kontizliatku. Dôraz bol kladený na analýzu vývoja teplôt a hrúbky škrupiny v závislosti na rýchlosti odlievania a podmienkach ochladzovania v sekun- dárnej zóne chladenia. Vytvorený model bramy bol rovinný, s využitím symetrie v dvoch osách - modelovaná bola jedna štvrtina. Práca obsahuje porovnanie výsledkov s experimentom a odporúčania pre možnosti optimalizácie procesu. Alizadeh, M. 2006 [20] Mathematical Modeling of Heat Transfer for Steel Continuous Casting Process Autor rozoberá mechanizmy prenosu tepla a popisuje model tuhnutia materiálu pri plynulom odlievaní. Je vytvorený výpočtový model teplotného poľa s využitím metódy konečných objemov. Pričom modelovanou doménou je jedna štvrtina roviny priečneho prierezu. Okrajové podmienky a základné matematické princípy použité v modeli sú prehľadne prezentované. Neskôr potom autor porovnáva výsledky s experimentálnym meraním a s inými vytvorenými modelmi. Konštatuje, že výsledky z vytvoreného výpočtového modelu majú dobrú zhodu s experimentálnym meraním. Analýza napätosti a deformácie Masatsugu, U. 1983 [21] Mathematical Modelling of the Unbending of Continuously Cast Steel Slabs Jedná sa o elasto-plastickú analýzu deformácie a napätosti kontizliatku v oblasti rovnania, ktorý je už čiastočne stuhnutý. Dôraz sa kladie na analýzu vzniku trhlín a vydutia škrupiny vplyvom tlaku taveniny. Autor uvádza porovnanie priestorového a rovinného modelu, s využitím predpokladu rovinnej napätosti. Záverom je, že pri využití elasto-plastickej analýzy bol rovinný model postačujúci. Uvádza, že na zá- klade experimentálnych dát bol verifikovaný výpočet. Pričom kritickým miestom z pohľadu trhlín, identifikovaných na škrupine, bola vrchná čast kontizliatku pri fáze rovnania. V tomto mieste dochádza pri ohybe ku generovaniu ťahových pretvorení. Autor uvádza kritické hodnoty pretvorenia a kritické rýchlosti deformácie pre ana- lyzovaný typ oceli. 32 Ha, J.S a kol. 2001 [22] Numerical Analysis of Secondary Cooling and Bulging in the Continuous Cas- ting of Slabs Na základe rozloženia teplôt z predchádzajúceho tepelného výpočtu s využitím me- tódy konečných diferencií bola prevedená analýza vydutia škrupiny medzi valcami v sekundárnej zóne chladenia, s použitím visko-elasto-plastického modelu materiálu. Pričom pre analýzu vydutia bol použitý rovinný model s využitím softvéru ANSYS. Modelovanou doménou bola rovina symetrie, podobne ako [17], pričom v tomto prí- pade bol modelovaný krátky úsek kontizliatku. Získané výsledky boli porovnávané s inými modelmi a s experimentálnym meraním. Autor konštatuje, že v prípade vydutia je dominantná zložka deformácie tá „creep-ová“. Young, M.V. a kol. 2001 [19] A New Criterion for Internal Crack Formation in Continuously Cast Steels Všeobecne je problém s určením podmienky porušenia pri procese plynulého odlie- vania. Táto publikácia prináša nový prístup ku kritériám porušenia. Zohľadňuje tep- lotný rozsah materiálu, pri ktorom je náchylný na tvorbu vnútorných trhlín. Jedná sa najmä o oblasť 𝛿 - 𝛾 transformácie v „mushy“ zóne. Autori popisujú pomerne komplexne materiálové vlastnosti v určitom pásme teplôt a práca je skôr pojatá z pohľadu materiálových vlastností oceli za podmienok plynulého odlievania. Pascon, F. 2002 [24] 2D1/2 Thermal-Mechanical Model of Continuous Casting of Steel Using Finite Element Method Autor dizertačnej práce podrobne rozoberá možnosti výpočtového modelovania pro- cesu plynulého odlievania. Do detailu je popísaný vytvorený model s využitím MKP, ktorý autor sám programuje. Analýza je založená na modelovaní tenkého rezu, kol- mého na osu kontizliatku, s využitím predpokladu zovšeobecnenej rovinnej defor- mácie1. Zaoberá sa s rôznymi javmi pri plynulom odlievaní oceli a ich zahrnutím do modelu (tlak taveniny, „creep“ za vysokých teplôt, kontakt s valcami). Na konci práce prináša prípadové štúdie analýzy napätosti. Jedná sa o prehľadne spracovanú prácu na vysokej odbornej úrovni, ale zároveň s intuitívne popísaným postupom tvorby výpočtového modelu. Rozsahom menšie, ale obsahom podobné sú publikácie [48] a [47]. 1Narozdiel od predpokladu rovinnej deformácie alebo rovinnej napätosti, je predpoklad zovše- obecnenej rovinnej deformácie v tomto smere robustnejší, pretože umožňuje nenulové hodnoty napätia a deformácie vo všetkých troch smeroch. Podrobnejšie viď [24]. 33 Víctor D. Fachinotti, Alberto Cardona 2003 [25] Constitutive models of steel under continuous casting conditions Publikácia je zameraná na rôzne konštitutívne modely materiálu pre oceľ za podmie- nok, ktoré nastávajú pri plynulom odlievaní. Autori zvažujú rôzne modely nevratnej deformácie, vrátane nie bežne používaných visko-plastických modelov. Jednotlivé modely sú porovnávané s experimentálnymi dátami. Záverom je, že visko-plastické modely materiálu sa viac blížia realite, ale výpočtový čas pri týchto modeloch je značne väčší ako pri použití elasto-plastickej analýzy, ktorá je takisto pri analýze deformácie a napätosti kontizliatkov využívaná. Long, Guo a kol. 2018 [26] High-temperature creep constitutional model of Q460E steel and effect of creep on bulging deformation of continuous casting slab V tejto práci sa tvorcovia zaoberajú vytvorením konštitutívneho modelu materiálu pre oceľ za vysokých teplôt. Na základe experimentálnych dát a regresnej ana- lýzy je odvodený model popisujúci „creep“. V ďalšej časti je tento model využitý na analýzu deformácie škrupiny kontizliatku - vydutia. Výsledky sú porovnané s elasto-plastickou analýzou a záverom je konštatovanie, že v prípade použitia modelu materiálu s uvažovaním „creep-u“, je táto deformácia nezanedbateľne väčšia. Li, G. a kol. 2021 [12] Prediction of Internal Crack Initiation in Continuously Cast Blooms V tomto článku sa kolektív autorov zaoberá vývojom výpočtového modelu na pre- dikciu vnútorných vád. Štúdia prináša informácie o mechanizmoch iniciácie vád vo vnútri kontizliatku. Výpočtový model je priestorový, s využitím MKP, pričom je modelovaný 3 000 mm dlhý úsek kontizliatku a vyhodnocovaná je napätosť v prieč- nom priereze, v strednej časti kontizliatku. Hodnotiace kritérium je v tomto prípade kritické pretvorenie. Na záver sú porovnávané výsledky modelu s experimentom. Obdobnou problematikou sa zaoberá aj kolektív autorov v [11] a [27]. 3.3 Zhrnutie rešerše Problematika plynulého odlievania je pomerne frekventovane skúmaná mnohými autormi. Celý výskum smeruje k optimalizácií procesu za účelom zvýšenia kva- lity polotovarov. Všeobecným cieľom je vytvorenie dostatočne presného, tepelne- mechanického modelu s možnosťou on-line zaradenia do prevádzky ZPO. 34 Výpočtové modelovanie teplotného poľa je dnes už na vysokej úrovni. Analýza na- pätosti a s ňou spojená predikcia vzniku porušenia celistvosti materiálu je v súčas- nosti stále aktuálnym problémom. A to najmä v súvislosti so začlenením združených tepelne-mechanických modelov od on-line riadenia ZPO. V dnešnej dobe existujú pomerne sofistikované modely porušenia avšak je veľmi náročné určiť, aký model porušenia použiť v prípade procesu plynulého odlievania a získať k nemu potrebné materiálové charakteristiky, a určiť kritické veličiny, ktoré treba do modelu dosadiť. O náročnosti výpočtového modelovania plynulého odlievania svedčí aj fakt, že veľká časť publikovaných modelov je buď značne zjednodušená, alebo sa autori zameria- vajú na riešenie dielčích problémov. Autor [18] takisto tvrdí, že je nereálne vytvoriť taký výpočtový model, tak komplexného procesu, ktorý by zahŕňal všetky javy, ktoré v ňom nastávajú. Na záver rešeršnej analýzy je možné konštatovať, že problém, tak ako je formu- lovaný v časti 1.2, je stále aktuálny a má zmysel sa ním zaoberať. Autor v práci [17] síce publikoval výpočtový model pre určenie napätosti a deformácie v softvéri AN- SYS, avšak kvôli obmedzeniu výpočtového výkonu bol model iba rovinný. Jedným z cieľov tejto práce je vytvorenie priestorového výpočtového modelu. 35 4 Výpočtový model teplotného poľa Výpočet teplotného poľa nie je súčasťou výpočtového modelu, ktorý je vytvorený vrámci tejto práce. Rozloženie teplôt v kontizliatku je jednou zo vstupných veličín. V tejto kapitole je stručne popísaná problematika určovania teplôt pri procese ply- nulého odlievania. Prvá časť sa venuje empirickému prístupu, ktorý bol využívaný skôr v minulosti. Druhá časť sa zaoberá základným princípom súčasných metód určovania teplotného poľa a je spracovaná podľa publikácií [1], [4], [5], [7]. Výpoč- tový model, ktorý bol postupne týmito autormi vyvíjaný, bol použitý pre výpočet teplotného poľa, ktoré je jedným zo vstupov do výpočtového modelu pre určenie deformácie a napätosti, ktorý je obsahom tejto diplomovej práce. 4.1 Empirický prístup V dobe, kedy plynulé odlievanie začalo naberať na popularite, boli výpočtové pros- triedky značne obmedzené (ak vôbec boli). Oceliari si museli vystačiť so svojimi skúsenosťami. Preto sa pri návrhoch ZPO najskôr vychádzalo z empirických vzťa- hov. Typickým príkladom je parabolická rovnica tuhnutia (4.1) pre približné určenie hrúbky stuhnutej škrupiny. Vzťah (4.1) vychádza z predpokladu parabolického prie- behu hrúbky škrupiny, ktorý je vidieť na obrázku 4.1 [5]. 𝑠 = 𝐾𝑠 √ 𝜏𝑠 (4.1) Kde 𝑠 predstavuje hrúbku škrupiny, 𝐾𝑠 je konštanta tuhnutia a 𝜏𝑠 je celkový čas tuhnutia. Metalurgická d́lžka - M s h Obr. 4.1: Parabolický priebeh hrúbky škrupiny v kontizliatku. Prevzaté z [5], upra- vené. Pre metalurgickú dĺžku M bol odvodený vzťah (4.2) v tvare [5]: 𝑀 = (︃ ℎ 2𝐾𝑠 )︃2 𝑣𝑐 (4.2) 36 Kde ℎ je hrúbka bramy a 𝑣𝑐 je rýchlosť liatia. Pre tepelný tok �̇�𝑚 odvádzaný kryš- talizátorom platí vzťah [5]: �̇�𝑚 = 𝐾𝑚√ 𝜏𝑚 (4.3) Kde 𝜏𝑚 je celkový čas zotrvania kontizliatku v kryštalizátore a 𝐾𝑚 je konštanta odvádzaného tepla kryštalizátorom. Takto by mohli byť uvedené ďalšie empirické vzťahy. V dnešnej dobe sa dáva prednosť využitiu výpočtového modelovania pred využívaním empirických vzťahov. 4.2 Modely s využitím numerických metód 4.2.1 Základná diferenciálna rovnica S rastúcimi požiadavkami na zvyšovanie produktivity, za podmienky znižovania ná- kladov a zachovania kvality polotovarov, je nutné stále proces plynulého odlieva- nia optimalizovať. To je dnes už nemysliteľné bez použitia výpočtových modelov teplotného poľa a modernej výpočtovej techniky. Prvé výpočtové modely tuhnutia škrupiny, s využitím metódy konečných diferencií boli vytvorené v 70-tých rokoch minulého storočia [18]. Aktuálne je stále snaha vylepšené výpočtové modely s využi- tím optimalizačných algoritmov implementovať do on-line riadenia prevádzky ZPO [1, 4, 5, 6, 7, 19]. Fyzikálna podstata numerického modelu teplotného poľa spočíva v prenose tepla a látky, pričom sa jedná o nestacionárny dej. Základným vzťahom pre riešenie ne- stacionárneho vedenia tepla je diferenciálna rovnica (4.4) [7]. 𝜌𝑐 𝜕𝑇 𝜕𝑡 = 𝜕 𝜕𝑥 (︃ 𝑘 𝜕𝑇 𝜕𝑥 )︃ + 𝜕 𝜕𝑦 (︃ 𝑘 𝜕𝑇 𝜕𝑦 )︃ + 𝜕 𝜕𝑧 (︃ 𝑘 𝜕𝑇 𝜕𝑧 )︃ + 𝑞𝑔𝑒𝑛 (4.4) Kde 𝜌 je hustota, 𝑐 je merná tepelná kapacita, 𝑇 je teplota, 𝑡 je čas, 𝑘 je súčiniteľ tepelnej vodivosti, 𝑥, 𝑦, 𝑧 predstavujú priestorové premenné a 𝑞𝑔𝑒𝑛 je vnútorný zdroj tepla [7]. Vo vnútri materiálu (kontizliatku) je vedenie (kondukcia) tepla dominantným me- chanizmom prenosu tepla. Naopak, v prípade okrajových podmienok majú pod- statný význam mechanizmy radiácie a prirodzenej konvekcie [5, 7]. Vo výpočtovom modeli musí byť zahnutý aj vnútorný zdroj energie - latentného tepla, ktoré je dô- sledkom fázových premien1 materiálu. Metód, ktorými možno modelovať teplotné 1Fázové premeny nemusia byť len prechody medzi skupenstvami (kvapalné-pevné). Jedná sa aj o fázové premeny v tuhom stave ako napríklad rekryštalizácia materiálu. 37 pole existuje niekoľko. Sú to predovšetkým metóda entalpie a metóda efektívnej tepelnej kapacity [7]. Metóda entalpie Zahrnúť vplyv latentného tepla skupenských a fázových premien umožňuje termo- dynamická funkcia, ktorá sa nazýva objemová entalpia 𝐻 definovaná vzťahom (4.5). 𝐻(𝑡) = ∫︁ 𝑇 𝑇𝑟𝑒𝑓 (︃ 𝜌𝑐 − 𝜌𝐿𝑓 𝜕𝑓𝑠 𝜕𝜃 )︃ 𝑑𝜃 (4.5) Kde 𝐿𝑓 je latentné teplo, 𝑓𝑠 je podiel tuhého skupenstva, 𝑇𝑟𝑒𝑓 je referenčná teplota a 𝜃 je priestorová premenná. Po dosadení vzťahu (4.5) a členu zohľadňujúc pohyb materiálu 𝑣𝑧 𝜕𝐻 𝜕𝑧 do vzťahu (4.4) sa odvodí Fourier-Kirchhoffova rovnica popisujúca teplotné pole kontizliatku. Kde 𝑣𝑧 je rýchlosť pohybu materiálu v smere 𝑧. V pra- vouhlých súradniciach má potom táto rovnica tvar vzťahu (4.6) [5, 7]. 𝜕𝐻 𝜕𝑡 = 𝜕 𝜕𝑥 (︃ 𝑘 𝜕𝑇 𝜕𝑥 )︃ + 𝜕 𝜕𝑦 (︃ 𝑘 𝜕𝑇 𝜕𝑦 )︃ + 𝜕 𝜕𝑧 (︃ 𝑘 𝜕𝑇 𝜕𝑧 )︃ + 𝑣𝑧 𝜕𝐻 𝜕𝑧 (4.6) Metóda efektívnej tepelnej kapacity Efektívna tepelná kapacita 𝑐𝑒𝑓𝑓 je merná tepelná kapacita materiálu so zahrnutím latentného tepla fázových premien [7, 29]. S využitím entalpie je potom definovaná vzťahom (4.7). 𝑐𝑒𝑓𝑓 = 1 𝜌 𝜕𝐻 𝜕𝑇 = 𝑐 − 𝐿𝑓 𝜕𝑓𝑠 𝜕𝑇 (4.7) Po dosadení efektívnej tepelnej kapacity a členu, ktorý zohľadňuje pohyb materiálu, do upraveného vzťahu (4.4), je v [7] odvodený výsledný tvar diferenciálnej rovnice: 𝜌𝑐𝑒𝑓𝑓 𝜕𝑇 𝜕𝑡 = 𝜕 𝜕𝑥 (︃ 𝑘 𝜕𝑇 𝜕𝑥 )︃ + 𝜕 𝜕𝑦 (︃ 𝑘 𝜕𝑇 𝜕𝑦 )︃ + 𝜕 𝜕𝑧 (︃ 𝑘 𝜕𝑇 𝜕𝑧 )︃ + 𝑣𝑧𝜌𝑐𝑒𝑓𝑓 𝜕𝑇 𝜕𝑧 (4.8) Pre lepšiu predstavu je uvedený priebeh týchto veličín, v závislosti na teplote, v oblasti fázových premien na obrázku 4.2. Jedná sa o príklad prevzatý z [30]. K fázovej premene dochádza medzi teplotami 25 ∘C až 27 ∘C. Je vidieť že funkcia efektívnej tepelnej kapacity nadobúda v oblasti fázovej premeny extrém. Zároveň je zjavná aj zmena trendu funkcie objemovej entalpie. 38 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 Teplota [°C] 0 2 4 6 8 O bj em ov á en ta lp ia [J m -3 ] 109 0 1 2 3 4 5 E fe kí vn a te pe ln á ka pa ci ta [J kg -1 K -1 ] 104 Obr. 4.2: Priebeh efektívnej tepelnej kapacity a objemovej entalpie v oblasti fázovej premeny v závislosti na teplote. Prevzaté z [30], upravené. 4.2.2 Počiatočné a okrajové podmienky Obe popísané metódy sú formulované pomocou diferenciálnych rovníc druhého rádu, ktoré pre svoje jednoznačné riešenie potrebujú okrajové a počiatočné podmienky [4, 31]. Všeobecné formulácie používaných okrajových podmienok sú uvedené nižšie, spracované podľa [4, 7]. Počiatočná podmienka Počiatočná podmienka definuje teplotu kontizliatku 𝑇 (𝑥, 0) v každom jeho bode na počiatku tuhnutia, v čase 𝑡 = 0. Matematická formulácia popisujúca počiatočné rozloženie teplôt riešenou doménou: 𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 0) = 𝑇𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑧) (4.9) Okrajová podmienka I. druhu - Dirichletova Predpísaná teplota na povrchu telesa. V prípade modelovania teplotného poľa pri plynulom odlievaní sa predpisuje hodnota teploty v menisku: 𝑇 (𝑥, 𝑡)|(𝑥=0) = 𝑇𝑜𝑑𝑙𝑖𝑒𝑣𝑎𝑛𝑖𝑎 (4.10) 39 Okrajová podmienka II. druhu - Neumannova Definuje tepelný tok na povrchu telesa. Je formulovaná podľa Fourierového zákona v tvare: −𝜆 𝜕𝑇 𝜕𝑥 ⃒⃒⃒⃒ 𝑥=0 = 𝑞𝑠𝑢𝑟𝑓 (4.11) Kde 𝜆 je tepelná vodivosť. Pre rovinu symetrie kontizliatku, kde nedochádza k pre- nosu tepla, je možné uviesť tvar: −𝜆 𝜕𝑇 𝜕𝑥 ⃒⃒⃒⃒ 𝑥=0 = 0 (4.12) Okrajová podmienka III. druhu - Newtonova Popisuje konvekciu okolo steny do okolia: −𝜆 𝜕𝑇 𝜕𝑥 ⃒⃒⃒⃒ 𝑥=0 = ℎ𝑡𝑐 (𝑇∞ − 𝑇𝑠𝑢𝑟𝑓 ) (4.13) Okrajová podmienka IV. druhu Pri vzájomnom, dokonalom styku dvoch telies: −𝜆1 𝜕𝑇1 𝜕𝑥 ⃒⃒⃒⃒ 𝑥=𝑎 = −𝜆2 𝜕𝑇2 𝜕𝑥 ⃒⃒⃒⃒ 𝑥=𝑎 (4.14) Pre nedokonalý vzájomný styk dvoch telies je podmienka formulovaná nasledovne: 𝑞𝑎 = 1 𝑅 (𝑇1 − 𝑇2) (4.15) Kde 𝑎 je súradnica miesta styku a 𝑅 je tepelný odpor. Okrajová podmienka V. druhu Na hranici fázovej premeny platí: 𝜆1 𝜕𝑇1 𝜕𝑥 ⃒⃒⃒⃒ 𝑥=𝜁 = 𝜆2 𝜕𝑇2 𝜕𝑥 ⃒⃒⃒⃒ 𝑥=𝜁 + 𝜌2𝐿 𝑑𝜁 𝑑𝑡 (4.16) Kde 𝜁 je súradnica miesta fázovej premeny. Zhrnutie Okrajové podmienky pre výpočet teplotného poľa kontizliatku sa dajú zhrnúť [4, 5, 7]: 𝑇 = 𝑇𝑜𝑑𝑙𝑖𝑒𝑣𝑎𝑛𝑖𝑎 (4.17) 40 −𝜆 𝜕𝑇 𝜕𝑛 = 0 (4.18) −𝜆 𝜕𝑇 𝜕𝑛 = 𝑞 (4.19) −𝜆 𝜕𝑇 𝜕𝑛 = ℎ𝑡𝑐 (𝑇∞ − 𝑇𝑠𝑢𝑟𝑓 ) + 𝜎𝜀 (︁ 𝑇 4 ∞ − 𝑇 4 𝑠𝑢𝑟𝑓 )︁ (4.20) Vzťah (4.17) platí pre hladinu oceli v kryštalizátore (na začiatku ZPO). Na rovine symetrie je predpísaná okrajová podmienka (4.18), kde 𝑛 značí normálu na túto rovinu. Odvod tepla vedením v kryštalizátore a pri kontakte s valcami popisuje vzťah (4.19). Pre odvod tepla prirodzenou konvekciou a radiáciou v sekundárnej a terciárnej zóne platí (4.20) Kde ℎ je hrúbka bramy (sochoru), 𝑇𝑐𝑎𝑠𝑡𝑖𝑛𝑔 je teplota odlievania, 𝑇𝑠𝑢𝑟𝑓 je teplota povrchu, 𝑇∞ je teplota okolia, 𝜎 je „Stefan Boltzmann“ konštanta a 𝜀 je emisivita. 4.3 Metódy riešenia Existujú rôzne numerické metódy pre riešenie diferenciálnych rovníc. V prípade mo- delovania prenosu tepla sú významné najmä metóda konečných prvkov, konečných diferencií, konečných objemov a kontrolných objemov [7]. S využitím metódy ko- nečných prvkov je vytvorený výpočtový model pre určenie napätosti a deformácie v tejto práci a stručná charakteristika MKP bude preto uvedená neskôr. Metóda konečných diferencií Inak nazývaná aj metóda sietí. Jedná sa o pomerne jednoduchú metódu, ktorej prin- cípom je diskretizácia telesa a časovej premennej na sieť bodov. Touto diskretizáciou vznikne sústava algebraických rovníc. Okrajové podmienky a parciálne derivácie v rovniciach sú nahradené Taylorovým rozvojom, pričom členy vyšších rádov sa zaned- bajú. Výhodou metódy je jej jednoduchosť a je aj pomerne jednoduchá na naprog- ramovanie. V prípade nutnosti zjemnenia siete, napríklad kvôli gradientom teplôt, je jej použitie už menej vhodné [7, 32]. Je možné uviesť príklad pre teplotu 𝑇 v uzle 𝑖 s krokom Δ𝑥 pre jednorozmerný problém: 𝑑2𝑇 𝑑𝑥2 ⃒⃒⃒⃒ 𝑖 ≈ 𝑇𝑖−1 − 2𝑇𝑖 + 𝑇𝑖+1 (Δ𝑥)2 (4.21) 41 Metóda konečných objemov Metóda je rozšírená v oblasti výpočtového modelovania mechaniky tekutín. Riešená doména je rozdelená na konečný počet častí - objemov. Rovnica, ktorá popisuje daný dej je integrovaná cez všetky konečné objemy. Týmto vznikne sústava bilančných rovníc, v ktorých sú parciálne derivácie nahradené numerickými formuláciami. Ďalšie matematické kroky potom vedú k zostaveniu sústavy algebraických rovníc [33]. Metóda kontrolných objemov Rozloženie teplotného poľa získaného s využitím práve tejto metódy, je jedným zo vstupov do výpočtového modelu tvoreného vrámci tejto diplomovej práce. Teleso je diskretizované na kontrolné objemy, ktoré môžu mať rôznu veľkosť aj tvar. Výsledná hustota siete súvisí s požadovanou presnosťou riešenia. Pre každý kontrolný objem je potom zostavená rovnica energetickej bilancie (4.22). �̇�𝑠 = �̇�𝑖 + �̇�𝑔 − �̇�𝑜 (4.22) Kde �̇�𝑠 je zmena uchovanej energie za jednotku času. �̇�𝑖 je energetický tok do kon- trolného objemu zo susedných kontrolných objemov. �̇�𝑔 je vnútorný zdroj energie za jednotku času. �̇�𝑜 je tok energie, ktorá vystupuje z kontrolného objemu do sused- ných. Z jednotlivých bilančných vzťahov pre kontrolné objemy je potom zostavená sústava algebraických rovníc. Výhodou je najmä jej zrejmý fyzikálny význam [7, 34]. 42 5 Výpočtový model pre určenie deformácie a napätosti 5.1 Aspekty deformácie a napätosti odlievaného so- choru Principiálne je nutné do analýzy napätosti a deformácie zahrnúť aspekty, ktoré ovplyvňujú odlievaný sochor z mechanického hľadiska. Týmito aspektami sú najmä teplotne generované pretvorenia vplyvom nehomogénne rozloženého teplotného poľa, interakcia sochoru s valcami pri prechode dráhou ZPO a fáza rovnania. Všetky ma- teriálové parametre sú silno závislé na teplote. Jedná sa teda o nestacionárnu, neli- neárnu teplotne-štrukturálnu analýzu s teplotným a deformačným zaťažením. 5.2 Komplexná analýza problému 5.2.1 Vymedzenie hraníc riešenia Na základe dostupných informácií o ZPO, rešeršnej analýzy, skúseností a inžinier- skeho odhadu vychádza výpočtový model z následujúcich predpokladov: • Jedná sa o problém na makro úrovni mechaniky kontinua. • Analýza je formulovaná ako nelineárna kvázi-statická1, tepelne-štrukturálna s teplotne závislými materiálovými vlastnosťami. • Zotrvačné účinky pohybu sochoru sú nepodstatné. • Zaťaženie spôsobené elektromagnetickým miešaním je nepodstatné. • Oscilácia kryštalizátoru je nepodstatná. • Vlastná tiaž materiálu nie je explicitne uvažovaná. • Závislosť napätosti na teplote je jednostranná2, nakoľko rozloženie teplotného poľa je jednou zo vstupných veličín. • Prítlačné sily valcov a ich prípadné presadenie neboli známe a nie sú v modeli zahrnuté. • Trecie sily pri interakcií sochoru s valcami nie sú uvažované. 1Problém plynulého odlievania je nestacionárny a rozdelený na jednotlivé časové kroky, pričom každý časový krok predstavuje jednu staticky-teplotne-štrukturálnu analýzu. Podrobnejší popis je uvedený v časti 5. 2Napätosť je ovplyvnená rozložením teplôt. Teplotné pole nie je závislé na napätosti. 43 5.2.2 Systém podstatných veličín Aby riešenie napĺňalo atribúty systémového prístupu, je nutné najskôr zostaviť sys- tém podstatných veličín [35]. Okolie entity Okolie entity je podstatné z pohľadu správneho predpísania okrajových podmienok. To je dôležité najmä pri výpočte teplotného poľa, ktoré je jedným zo vstupov do analýzy napätosti a deformácie. Tuhnúci sochor je vystavený okolitému vzduchu, chladiacim tryskám a valcom ZPO, ktoré ovplyvňujú prestup tepla a tým aj výsledné pole teplôt. Z pohľadu výpočtového modelu pre určenie napätosti a deformácie je táto množina prázdna. Rozmiestnenie prvkov entity Entita je definovaná geometriou ZPO. Tá zahŕňa polohu a rozmer jednotlivých val- cov. Rovnako je definovaný rozmer a tvar priečneho prierezu sochoru. Podstatné väzby entity Pri procese plynulého odlievania dochádza k interakcií sochoru s valcami ZPO. To je podstatné z hľadiska výpočtového modelu teplotného poľa a takisto aj z pohľadu výpočtového modelu pre určenie deformácie a napätosti v mieste styku. Zaťaženie entity Tuhnúci sochor je zaťažený nehomogénnym teplotným poľom, ktoré vychádza z tep- lotného výpočtu. Rovnako je sochor zaťažovaný mechanicky, pretože pri prechode dráhou ZPO získava po interakcií s valcami svoj konečný tvar. Podstatnými fázami z hľadiska mechanického namáhania sú najmä fáza ohybu a rovnania sochoru. Ďalším zaťažením, ktoré môže byť podstatné, je hydrostatický tlak tekutej oceli na stuhnutú škrupinu. Vlastnosti entity Entita je charakterizovaná teplotne závislými veličinami, ktoré popisujú materiálové vlastnosti. Dôsledky zaťaženia entity Dôsledkom zaťaženia entity je celková napätosť sochoru počas procesu a výsledná zvyšková napätosť po vychladnutí. 44 Zvolená metóda riešenia Výpočtový model je založený na metóde konečných prvkov. Základným princípom je diskretizácia kontinua na konečné prvky. Matematicky vychádza z variačného prin- cípu, pričom sa hľadá riešenie, ktoré minimalizuje funkcionál, ktorý popisuje celkovú energiu systému. Úloha sa potom zredukuje na sústavu lineárnych rovníc. Podrobný popis metódy a odvodenie základných vzťahov je uvedené v [36], zo zahraničných publikácií je možné odkázať na [37]. Problematika nelineárnych výpočtov MKP je prehľadne spracovaná v [38], prípadne v [39]. 5.3 Použitý softvér a hardvér 5.3.1 Softvér Ako plynie zo zadania práce, pre riešenie problému je použitý komerčný MKP systém ANSYS. Dnes existujú dve hlavné prostredia tohto softvéru. Tým prvým je pôvodné prostredie „Classic“, ktoré používa skriptovací jazyk APDL.3 Druhé prostredie sa nazýva „Workbench“. Oproti prostrediu „Classic“ je pre užívateľa pohodlnejšie.4 Značnú prácu urobí softvér za uživateľa a teda výrazne zrýchli tvorbu výpočtových modelov. Práve pre užívateľskú prívetivosť bolo zvolené toto prostredie ako prvá možnosť na počiatku tvorby diplomovej práce. Po prvých výpočtoch sa však ukázalo, že to nebude vhodná voľba a to najmä pre tieto dôvody: • Geometria modelu môže obsahovať rádovo desiatky valcov ZPO. Z praktického hľadiska je rozumné úlohu tvorby geometrie nastaviť ako parametrickú. Z po- hľadu autora je na toto vhodnejšie vytvorenie makra, narozdiel od „klikania“ v grafickom rozhraní „Workbench“. • V prípade aplikovania meniaceho sa teplotného poľa v každom časovom kroku je nevyhnutné použiť makro. Vstavaná funkcia v prostredí „Workbench“ ap- likuje teplotné pole iba v prvom časovom kroku a nemení ho v čase. Spôsob ako aplikovať pomocou tejto funkcie v každom kroku nové teplotné pole nebol nájdený. • Ak má byť výsledkom práce parametrický model, ktorý môže byť rýchlo mo- difikovateľný na akékoľvek radiálne ZPO, má autor za to, že v tomto prípade je vhodnejšie ísť cestou makier v prostredí „Classic“ s využitím APDL. Na záver je možné zhrnúť, že použitie prostredia „Workbench“ je možné, ale po- čet makier, ktorými by bolo potrebné upravovať už vstavané príkazy, by presiahol 3Ansys Parametric Design Language [40]. 4V prípade, že užívateľ nemá predchádzajúce skúsenosti s APDL, jeho použitie môže byť v prvých etapách práce veľmi časovo náročné. 45 rozumnú mieru. Z tohto dôvodu bol celý výpočtový model, tvorený jednotlivými modulmi, vytvorený výhradne v prostredí „Classic“ s využitím ADPL. Pre úplnosť je vhodné zmieniť, že v prípade použitia APDL užívateľ ovláda v podstate všetko sám a má pod kontrolou celú analýzu od pre-procesoru až po post-procesor. Princíp zadávania parametrov a celá architektúra modelu s využitím APDL je podrobne popísaná v časti 5. „Surové“ vstupné veličiny boli pred nahrávaním do výpočtového modelu spracované s využitím softvéru MATLAB5. 5.3.2 Hardvér Jednoduché výpočty, najmä v prvotných etapách ladenia modelov, prebiehali na bežnom stolnom počítači. Náročnejšie výpočty boli neskôr realizované na počítači ÚMTMB, ktorý mal k dispozícií procesor AMD Ryzen 5 5600G s frekvenciou 3,90 GHz. Počet jadier procesora na výpočty bol ale obmedzený licenciou softvéru na 4 jadrá. Operačná pamäť bola 64 GB. Táto hodnota mala zásadný vplyv pri narábaní s dátami teplotného poľa, kapacita 32 GB na predchádzajúcom počítači nebola do- statočná. V zadaní práce je uvedené, že bude použitý výpočtový „cluster“. Táto možnosť sa však ukázala ako nepraktická, keďže výpočtová kapacita bola obmedzená základ- nou licenciou softvéru ANSYS a použitie „cluster-u“ by nemalo podstatný vplyv na rýchlosť výpočtov. Z uvedeného dôvodu bol na výpočty použitý výhradne spomínaný počítač na ÚMTMB. 5.4 Postup a filozofia tvorby výpočtového modelu Jedným z výstupov práce má byť parametrizovaný výpočtový model pre určenie na- pätosti a deformácie sochoru pri plynulom odlievaní. Celý proces vytvárania modelu, od počiatočných konzultácií ako problematiku pojať, je možné zhrnúť v nasledujú- cich vetách. Úplne na začiatku bol vytvorený výpočtový model na základe informácií dostupných v [17]. Jedná sa o rovinný model, kde modelovanou časťou je rovina sy- metrie sochoru. Výhodou rovinného modelu bola jeho relatívne malá náročnosť na výpočtový čas, ale zároveň mal veľký význam pre zoznámenie sa s problematikou modelovania tohto procesu. Neskôr bol tento model upravený a boli ladené nasta- venia, pred vytvorením priestorového modelu. Samotné ladenie rovinného modelu 5https://www.mathworks.com/products/matlab.html 46 https://www.mathworks.com/products/matlab.html prinieslo veľa neúspešných pokusov a zabralo významný časový úsek. Tieto skúse- nosti boli ale zúročené pri tvorbe priestorového výpočtového modelu. Z praktického hľadiska nie je možné popísať všetky pokusy, nápady a varianty, ktoré boli simulo- vané. Z toho dôvodu, sú tu uvedené informácie tie najviac podstatné. Zvyšok kapitoly je formulovaný tak, ako vyzerá všeobecná tvorba a vývoj výpoč- tových modelov s využitím MKP. Sú popísané vstupné veličiny a jednotlivé dielčie modely - materiálu, geometrie, zaťaženia, väzieb, interakcií a nastavenie riešiča. Ana- lýza získaných výsledkov je popísaná v časti 6. Boli vytvorené dva výpočtové modely - jeden rovinný a druhý priestorový. Rovinný model slúžil primárne na vývoj a odladenie nastavení. Oba modely sa v princípe nelíšia, jediný rozdiel spočíva v rozšírení do tretieho rozmeru. Väčšina následujú- ceho textu6 je teda v princípe spoločná pre oba modely. V prípade ak sa v niečom podstatnom líšia, je to v texte uvedené. Konečným výstupom z tejto práce je pries- torový výpočtový model. Oba7 typy výpočtových modelov existujú vo forme textových súborov, ktoré ob- sahujú makrá s využitím jazyka APDL. Vstupné veličiny sa zadávajú manuálne alebo načítaním textových súborov. Jedná sa o pomerne komplexný parametrizo- vaný výpočtový model s množstvom vstupných dát. Výpočtový model má modu- lárny charakter a jeho štruktúra je schematicky zobrazená na obrázku 5.1. 6Popis dielčích modelov. 7Rovinný a priestorový. 47 Nastavenia Riadiaci program Model materiálu Geometria sochoru Geometria ZPO Zaťaženie Riešič Post-proces MATLAB post-proces MATLAB MATLAB MATLAB Materiál Valce Teploty Obr. 5.1: Komplexná štruktúra výpočtového modelu. Ako bolo uvedené vyššie, celý model tvorí skupina makier jazyka APDL (na obrázku 5.1 zelenou farbou). Tieto makrá sú postupne spúšťané hlavným makrom, ktoré je v schéme na obrázku 5.1 označené ako „Riadiaci program“. V tomto makre užívateľ manuálne predpíše všetky nevyhnutné nastavenia výpočtového modelu. Jedná sa pri- márne o všeobecné nastavenia. Ako príklad je možné uviesť typ a veľkosti použitých prvkov, nastavenie riešiča, parametre geometrie8, frekvencia ukladania výsledkov a podobne. Štruktúra jednotlivých makier je navrhnutá tak, aby v prípade úpravy modelu stačilo upraviť len makro „Riadiaci program“. „Surové“ vstupné dáta, ktoré obsahujú veličiny popísané v časti 5.5 sú spracované s využitím softvéru MATLAB a 8Tým sa myslia všetky parametre geometrie, ktoré nie sú súčasťou načítaných textových súbo- rov. Napríklad to môže byť polomer zakrivenia dráhy ZPO v radiálnej časti. 48 vo vhodnej forme sú uložené do textových súborov. Tieto textové súbory sú následne prostredníctvom makier načítané ako parametre typu „array“ do ANSYS-u. 5.5 Vstupné parametre K vytvoreniu modelu boli dodané dáta z ÚMTMB. Tie obsahovali údaje týkajúce sa geometrie sochoru, parametrov ZPO a materiálové charakteristiky oceli. Jedným zo vstupov do modelu bolo aj rozloženie teplôt spočítané predchádzajúcou teplot- nou analýzou, ktorej základný princíp bol popísaný v časti 4. Jednotlivé veličiny je možné prehľadne zhrnúť do troch základných častí: 1. Geometrické a topologické parametre: • Polomer zakrivenia radiálnej časti ZPO • Poloha a rozmery jednotlivých valcov ZPO • Geometria priečneho prierezu sochoru 2. Teplotne závislé materiálové charakteristiky: • Youngov modul pružnosti v ťahu • Poissonov pomer • Krivky z ťahových skúšok vo forme závislosti skutočného napätia na sku- točnom plastickom pretvorení • Súčiniteľ teplotnej rozťažnosti 3. Zaťaženie: • Rozloženie teplôt v sochore 5.6 Model materiálu Dodané veličiny popisujúce materiál boli dostatočné pre využite elasto-plastického modelu materiálu. S tým súvisí obsah nasledujúcich častí. Na základe rešeršnej ana- lýzy bola neskôr využitá aj časť, ktorá popisuje visko-plastické správanie sa mate- riálu, najmä za vysokých teplôt. Tento doplnok bude stručne popísaný neskôr. Model materiálu je rovnaký pre rovinný aj priestorový model. 5.6.1 Modul pružnosti a Poissonov pomer Uvažovaný materiál je izotropný a vzťah medzi napätím a pretvorením v oblasti lineárne elastických deformácií popisuje Hookov zákon vo zovšeobecnenom tvare (5.1). 𝜎𝑖𝑗 = 𝐷𝑖𝑗𝑘𝑙𝜀𝑘𝑙 (5.1) 49 Kde 𝜎𝑖𝑗 je tenzor napätia, 𝐷𝑖𝑗𝑘𝑙 je tenzor tuhosti a 𝜀𝑘𝑙 je tenzor pretvorenia. Závislosť Youngovho modulu pružnosti v ťahu a Poissonoveho pomeru na teplote je na obrázku 5.2. 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 Teplota [°C] 0 50 100 150 200 250 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 P oi ss on ov p om er [- ] Obr. 5.2: Youngov modul pružnosti v ťahu a Poissonov pomer v závislosti na teplote. Z priebehu Youngovho modulu pružnosti je vidieť, že so zvyšujúcou sa teplotou klesá. Pri teplote roztavenej oceli, keď je oceľ v tekutom stave, má mať teoreticky modul pružnosti nulovú hodnotu. Toto prakticky nie je možné zadať do softvéru ANSYS, pretože pri zadaní veľmi nízkych hodnôt modulu pružnosti dochádza pri numerickom výpočte k výraznej deformácií siete konečných prvkov a riešenie ne- konverguje. Preto bol pri vysokých teplotách9 použitý modul pružnosti s hodnotou 1 000 MPa10. Táto hodnota je dostatočne malá, aby nemala podstatný vplyv na výsledky a zároveň nedochádzalo k problémom s konvergenciou riešenia. V prípade Poissonoveho pomeru je viditeľný rast so zvyšujúcou sa teplotou. Podľa očakávania nadobúda v kvapalnej fáze hodnoty 0,5. Softvér ANSYS túto hodnotu nepovoľuje zadať pretože by nastalo delenie nulou. Preto v tomto prípade bola zadaná hodnota 0,4999. 9Teploty odpovedajúce kvapalnej fáze. 10V publikácií [28] dokonca autori uvádzajú hodnotu 2 000 MPa. 50 5.6.2 Súčiniteľ teplotnej rozťažnosti Teplotné pretvorenie 𝜀𝑡ℎ spôsobené zmenou teploty Δ𝑇 je možné pre izotropný ma- teriál zapísať vzťahom (5.2) [44]. 𝜀𝑡ℎ = 𝛼Δ𝑇 ⎛⎜⎜⎝ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎞⎟⎟⎠ (5.2) Kde 𝛼 je súčiniteľ teplotnej rozťažnosti. Pred samotným zadaním hodnôt súčiniteľa teplotnej rozťažnosti do softvéru ANSYS je nutné zadať o aký typ súčiniteľa sa jedná a jeho referenčnú teplotu. V softvéri ANSYS sa dajú zadať dva typy tohto súčiniteľa [41, 42]: „Secant coefficient“: Je definovaný priemernou zmenou teplotného pretvorenia medzi teplotou 𝑇 a referenčnou teplotou 𝑇𝑟𝑒𝑓 . Matematicky je popísaný vzťahom (5.3). 𝛼𝑠𝑒𝑐 = 𝜀𝑡ℎ(𝑇 ) − 𝜀𝑡ℎ(𝑇𝑟𝑒𝑓 ) 𝑇 − 𝑇𝑟𝑒𝑓 (5.3) „Instantaneous coefficient“: Je definovaný ako derivácia funkcie teplotného pre- tvorenia podľa teploty pri teplote 𝑇 . Túto definíciu vyjadruje vzťah (5.4). 𝛼𝑖𝑛𝑠𝑡 = 𝑑𝜀𝑡ℎ 𝑑𝑇 (5.4) Na obrázku 5.3 je znázornený rozdiel medzi týmito typmi súčiniteľa teplotnej roz- ťažnosti. Vstupom do výpočtového modelu v tejto práci je súčiniteľ pod označením „Secant coefficient“. Pre Δ𝑇 vo vzťahu (5.2) potom platí, že Δ𝑇 = (𝑇 − 𝑇𝑟𝑒𝑓 ). 51 αsec = εth(T1)−εth(Tref ) T1−Tref αinst = dεth dT εth Tref T1 T Obr. 5.3: Dva typy súčiniteľa teplotnej rozťažnosti v softvéri ANSYS. Prevzaté z [42], upravené. Dodané experimentálne hodnoty súčiniteľa teplotnej rozťažnosti v závislosti na tep- lote boli zmerané pre referenčnú teplotu 19 ∘C. To znamená, že pri tejto teplote je teplotné pretvorenie nulové. Referenčnú teplotu bolo nutné prepočítať na teplotu roztavenej oceli, čo odpovedá teplote 1549 ∘C. Prepočet na novú referenčnú teplotu je prevedený podľa vzťahu (5.5) [41]. Hodnoty sú potom zobrazené na obrázku 5.4, pričom do softvéru ANSYS boli tabelárne zadané hodnoty pre referenčnú teplotu 1549 ∘C. 52 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 Teplota [°C] 0.5 1 1.5 2 2.5 3 [K -1 ] 10-5 Ref. teplota 19 °C Ref teplota 1549 °C Obr. 5.4: Experimentálne hodnoty súčiniteľa teplotnej rozťažnosti v závislosti na teplote pre pôvodnú a prepočítanú referenčnú teplotu. 𝛼𝑠𝑒𝑐 1549(𝑇 ) = 𝛼𝑠𝑒𝑐 19 (𝑇 ) + 𝑇1549 − 𝑇19 𝑇 − 𝑇1549 (𝛼𝑠𝑒𝑐 19 (𝑇 ) − 𝛼𝑠𝑒𝑐 19 (𝑇1549)) (5.5) Poznámka: Pri prepočte súčiniteľa teplotnej rozťažnosti vzniká singularita pre hod- notu pri teplote 𝑇1549 (delenie nulou). Na určenie hodnoty súčiniteľa pre túto teplotu bola použitá lineárna extrapolácia z dvoch predchádzajúcich hodnôt. 5.6.3 Plastické deformácie Popis správania sa materiálu v oblasti plastických (trvalých) deformácií je značne zložitejší, ako je to v prípade elastických deformácií, ktoré sú v tomto prípade popí- sané Hookovým zákonom. Plastické deformácie je možné popísať rôznymi modelmi. Medzi najviac používané patrí aj prírastková teória plasticity. Predtým ako bude po- písaný model plasticity použitý v softvéri ANSYS, je uvedené krátke zhrnutie teórie popisu plastických deformácií. Prírastková teória plasticity Teória vychádza z modelovania elastickej 𝑑𝜀𝑒𝑙 a plastickej 𝑑𝜀𝑝𝑙 zložky celkovej defor- mácie 𝑑𝜀 zvlášť. Matematicky je predchádzajúce tvrdenie popísané vzťahom (5.6). 𝑑𝜀 = 𝑑𝜀𝑒𝑙 + 𝑑𝜀𝑝𝑙 (5.6) Ako je uvedené v predchádzajúcej časti, elastická zložka deformácie je popísaná Hookovým zákonom (5.1). Popis plastickej zložky deformácie sa skladá z troch častí, ktoré sú základom prírastkovej teórie plasticity [38, 39]: 53 1. Podmienka plasticity 2. Zákon tečenia 3. Zákon spevnenia Podmienka plasticity Definuje medzný stav napätosti, ktorý vyvolá trvalé deformácie v materiáli. Vzťah (5.7) vyjadruje podmienku plasticity pomocou redukovaného napätia 𝜎𝑟𝑒𝑑. 𝜎𝑟𝑒𝑑 − 𝜎𝑘(𝜀𝑝𝑙) = 0 (5.7) Kde 𝜎𝑘(𝜀𝑝𝑙) je aktuálna medza klzu závislá na predchádzajúcej plastickej deformá- cií, ktorá je vyjadrená akumulovaným plastickým pretvorením. Pokiaľ materiál ešte nedosiahol predtým medzu klzu, a teda 𝜀𝑝𝑙 = 0, jedná sa o pôvodnú medzu klzu ktorá odpovedá materiálovej charakteristike 𝑅𝑒 [38]. Redukované napätie podľa pod- mienky Von-Mises sa spočíta pomocou hlavných11 napätí zo vzťahu (5.8). 𝜎𝑟𝑒𝑑 = √ 2 2 √︁ (𝜎1 − 𝜎2)2 + (𝜎1 − 𝜎3)2 + (𝜎3 − 𝜎2)2 (5.8) Zákon tečenia Popisuje prírastok plastickej deformácie v závislosti na prírastku napätia a je možné ho definovať vzťahom (5.9). 𝑑𝜀𝑝𝑙 = 𝑑𝜆 𝜕𝑄𝑝 𝜕𝜎 (5.9) Kde 𝜆 značí plastický multiplikátor a pre materiály akými sú kovy sa tento potenciál stotožňuje s plochou plasticity a môže byť formulovaný vzťah (5.10) [38]. 𝑑𝜀𝑝𝑙 = 𝑑𝜆 𝜕𝑓 𝜕𝜎 (5.10) Zákon spevnenia Pri plastickej deformácií dochádza ku spevneniu materiálu a tým pádom sa mení plocha plasticity. Medzi základné modely spevnenia materiálu patrí izotropné a ki- nematické spevnenie. Zásadný rozdiel je v tom, akým spôsobom sa mení plocha plasticity. V prípade izotropného modelu sa táto plocha zväčšuje všetkými smermi rovnako. Pri kinematickom modeli spevnenia sa plocha plasticity posúva v pries- tore hlavných napätí bez zmeny rozmerov [38, 44]. K dispozícií sú aj komplexnejšie 11Normálové napätia pôsobiace vo vzájomne kolmých rovinách s nulovým šmykovým napätím [43]. 54 modely, ako napríklad model spevnenia Chaboche [45]. Praktické použitie komplex- nejších modelov je však bohužiaľ väčšinou obmedzené a to hlavne kvôli nedostatku materiálových dát pre správne naladenie parametrov modelu. Model plasticity v ANSYS-e Softvér ANSYS ponúka množstvo modelov pre popis plastického správania sa ma- teriálu. Použitý v tejto práci je multi-lineárny model, ktorý môže byť skombinovaný s izotropným alebo kinematickým spevnením. V zásade sa jedná o aproximáciu ťa- hového diagramu po častiach lineárnou funkciou. Vstupom do softvéru sú hodnoty skutočného pretvorenia a k ním príslušné hodnoty skutočného napätia12. Experimentálne dáta Vstupnými veličinami pre model plasticity boli dodané, experimentálne získané, hod- noty medze klzu (obrázok 5.5) a krivky závislosti skutočného napätia na skutočnom plastickom pretvorení (obrázok 5.6). Dáta boli dodané pre maximálnu teplotu 900 ∘C. Pre teplotu 1549 ∘C bola použitá hodnota medze klzu 5 MPa. 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 Teplota [°C] 0 200 400 600 M ed za k lz u [M P a] Obr. 5.5: Závislosť medze klzu na teplote. 12V softvéri ANSYS je možné zadať celkové alebo plastické pretvorenia. 55 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0 200 400 600 800 1000 20 °C 200 °C 400 °C 600 °C 700 °C 750 °C 800 °C 900 °C 1549 °C Obr. 5.6: Závislosť skutočného napätia na skutočnom plastickom pretvorení. Krivky sú pre rôzne teploty. Tieto hodnoty sú použité pre multi-lineárny model materiálu v ANSYS-e. 5.6.4 Creep Ako bolo uvedené na začiatku kapitoly, dodané materiálové charakteristiky sú po- stačujúce pre elasto-plastický model materiálu. Na základe informácií uvedených v rešeršnej analýze a po prvých získaných výsledkoch sa rozhodlo, že bude vhodné model materiálu pre jednu počítanú variantu rozšíriť aj o popis visko-plastických javov oceli v oblasti vysokých teplôt. Stávajúci elasto-plastický model materiálu bol doplnený o časť popisujúcu ďalší typ nevratnej deformácie - „creep“. „Creep“ je nevratná deformácia materiálu, ktorá je funkciou pôsobiaceho napätia, času a teploty 𝜀𝑐𝑟 = 𝑓(𝜎, 𝑡, 𝑇 ). Existujú tri štádiá „creep-u“: primárny, sekundárny a terciárny. Vo väčšine modelov „creep-u“ vystupuje ako závislá veličina rýchlosť „creep-ovej“ deformácie �̇�𝑐𝑟. Problematika „creep-u“ je podrobne popísaná v [56]. Pre modelovanie visko-plasticity neboli k dispozícií žiadne dáta. Rešeršou bolo zis- tené, že na popis trvalých deformácií za vysokých teplôt pri plynulom odlievaní sa využíva napríklad model „Norton“ [24]. Slúži na popis sekundárneho štádia „creep- u“ a v manuáli softvéru ANSYS je možné preň nájsť predpis v tvare (5.11) [46]. Model „Norton“ využíva autor v práci [24], ale bohužiaľ konkrétne hodnoty koefi- cientov neboli nájdené. 56 �̇�𝑐𝑟 = 𝐶1𝜎 𝐶2 exp (︂−𝐶3 𝑇 )︂ (5.11) V publikácií [58] autori uvádzajú model „creep-u“, ktorý okrem sekundárneho štádia popisuje aj primárne štádium. V softvéri ANSYS je pod označením „Combined Time Hardening“ v tvare (5.12). V príspevku [57] je takisto dostupný tento model „creep- u“ aj s príslušnými koeficientami. 𝜀𝑐𝑟 = 𝐶1𝜎 𝐶2𝑡𝐶3+1 exp (︁ −𝐶4 𝑇 )︁ 𝐶3 + 1 + 𝐶5𝜎 𝐶6𝑡 exp (︂−𝐶7 𝑇 )︂ (5.12) Z uvedených publikácií [57] a [58] boli prevzaté a upravené jednotlivé parametre modelu (5.12), ktoré boli využité v jednom z variantov výpočtového modelu. Viac je uvedené v časti 6.2.3. 5.7 Model geometrie a sieť konečných prvkov 5.7.1 Model geometrie Modelované radiálne ZPO má stredný polomer zakrivenia13 dráhy 13 700 mm. Prie- mer kruhového priečneho prierezu sochoru je 600 mm. Ďalej sú modelované valce tvoriace dráhu ZPO s rôznymi priemermi, ktorých celkový počet je 57. Model obsa- huje aj teleso kryštalizátoru so zadanou výškou 500 mm, ktorého význam v modeli bude uvedený neskôr. Schéma ZPO s hlavnými rozmermi je na obrázku 5.7. Obr. 5.7: Schéma modelovaného ZPO s hlavnými rozmermi. Rozmery nie sú zobra- zené proporčne. 13Polomer zakrivenia predstavuje vzdialenosť od stredu krivosti (zobrazený súradnicový systém) k ose sochoru a je uvažovaný ako konštantný po celom oblúku. 57 Úplne na začiatok bolo potrebné sa vysporiadať s tým, že počas procesu je oceľ plynule dodávaná do kryštalizátoru a jedná sa teda o akýsi „nekonečný“ proces. Jednou z možností je postupný „remeshing“, čo je možné v tomto kontexte voľne preložiť ako vytváranie nových prvkov v mieste kryštalizátoru, ktoré by predstavovali dodávanú oceľ. Takýto prístup je popísaný napríklad v [52]. V ANSYS-e by nebola implementácia takéhoto prístupu úplne vhodná. Model preto vychádza z elegantného riešenia, ktoré popísal autor v práci [17] a schéma je na obrázku 5.8. Roztavená oceľ je na počiatku simulácie modelovaná ako zvislý pás konečných prvkov (tmavomodrá oblasť z obrázku 5.8) s teplotou tavenia oceli. Tento pás, tvoriaci akýsi zásobník, sa postupne ochladzuje a pohybuje sa cez sústavu valcov do vodorovnej polohy. Model obsahuje aj pomocnú oblasť (bledomodrá oblasť z obrázku 5.8), ktorá je v danom modeli použitá na prvotné prispôsobenie kontaktných nelinearít. Analýza je rozdelená na jednotlivé časové kroky, z ktorých každý predstavuje jednu staticky- teplotne-štrukturálnu analýzu. V každom časovom kroku sa oceľ posunie cez ZPO a zároveň sa zmení teplota v jednotlivých uzloch siete. Rozloženie teplôt je aj v prípade [17] jedným zo vstupov do analýzy. Výsledná napätosť je potom určená iba z výsledkov v tmavomodrej oblasti. Výsledky z bledomodrej oblasti nemohli byť využité na korektné stanovenie deformácie a napätosti. Obr. 5.8: Schéma výpočtového modelu s využitím MKP pre určenie napätosti a deformácie od autora [17]. Vľavo je konfigurácia na počiatku simulácie a vpravo na konci. Nevýhodou prístupu popísaného v [17] je veľké množstvo nevyužitých prvkov - celá bledomodrá oblasť. Po prvých výpočtoch a na základe získaných informácií z rešerš- 58 nej analýzy bolo prijaté rozhodnutie, že popísaný algoritmus je možné ešte vylepšiť a zefektívniť. To najmä z dôvodu nevyužitých prvkov a problémom s konvergenciou riešenia, ktorá nastávala najmä pri prvkoch v pomocnej oblasti. Hlavná myšlienka úpravy spočíva v tom, že modelovanou doménou je iba dostatočne dlhý úsek mate- riálu a výsledky budú vyhodnocované z priečneho prierezu, ktorý bude v strednej časti (na obrázku 5.9 ružovou farbou). V tejto práci bol modelovaný úsek sochoru dlhý 6 000 mm. Na oboch koncoch tohto úseku (na obrázku 5.9 červenou farbou) je použitý model väzieb. Tieto väzby zabezpečia pohyb sochoru a nahradia vplyv ostatného materiálu v systéme. Takýmto spôsobom pristúpili k riešeniu napríklad autori [12], [27] a [51]. Podrobný popis väzieb a celého algoritmu je popísaný v časti 5.8. y x FINAL START Obr. 5.9: Schéma upraveného modelu. Z pôvodne zvislej pozície, prechádza cez ZPO úsek kontizliatku s určitou dĺžkou a zastaví sa na konci vo vodorovnej polohe, kde vychladne. Na obrázku sú zobrazené všetky tri fázy. 5.7.2 Sieť konečných prvkov Rovinný model Modelovanou doménou bola rovina symetrie sochoru XY. Sochor bol v prípade ro- vinného modelu diskretizovaný s využitím rovinných prvkov s označením PLANE182 59 s lineárnou bázovou funkciou. Kvadratické prvky PLANE183 sa ukázali ako nie moc vhodné. To najmä z dôvodu, že boli podstatne náročnejšie z pohľadu výpočtového času, pričom rozdiel výsledkov oproti lineárnym prvkom bol nepodstatný. Pri rovin- nom výpočtovom modeli bol prijatý predpoklad rovinnej deformácie14. Interakcia sochoru s valcami ZPO bola zabezpečená vytvorením kontaktných dvojíc. Na povr- chu sochoru boli vygenerované kontaktné prvky CONTA172 a valce boli modelované ako tuhé pomocou prvkov TARGE169. Ladenie nastavení kontaktných dvojíc je uve- dené v samostatnej časti. Rozloženie a rozmery jednotlivých valcov boli známe na základe dodanej dokumentácie týkajúcej sa ZPO. Informácie týkajúce sa uloženia valcov neboli dostupné, preto je uloženie modelované ako tuhé. Rozloženie valcov je na následujúcom obrázku 5.10. Obr. 5.10: Rozloženie valcov ZPO, je totožné pre rovinný aj priestorový model. Diskretizácia rovinného modelu sochoru je na obrázku 5.11. V axiálnom smere je veľkosť prvku 25 mm. V radiálnom smere je to 12 mm. Vo vzdialenosti 30 mm od okraja je sieť zjemnená v radiálnom smere na 4 mm kvôli väčším teplotným gradientom. 14Podrobnejší komentár k tomuto predpokladu je uvedený v časti 6. 60 Obr. 5.11: Diskretizácia rovinného modelu sochoru. Z praktických dôvodov je zobra- zený kratší úsek ako bol v skutočnosti modelovaný. Priestorový model Priestorový model bol diskretizovaný pomocou objemových prvkov pod označením SOLID185 s lineárnou bázovou funkciou. Kvadratické prvky SOLID186 sa aj v tomto prípade ukázali ako nevhodné, pretože nemali podstatný vplyv na výsledky a výpoč- tové časy boli neporovnateľne vyššie. Rovnako tak lineárne prvky vykazovali lepšiu konvergenciu riešenia. Samotná sieť konečných prvkov modelu sochoru je zobrazená na obrázku 5.12. Pretože je úloha symetrická vzhľadom k rovine XY, modelovaná je iba jedna polovica. Z dôvodu čo najvyššej úspory výpočtového času a pamäte počítača obsahuje sieť tri oblasti, ktoré sú znázornené na obrázku 5.12. 61 Obr. 5.12: Diskretizácia priestorového modelu sochoru (obrázok nie je v mierke). Modrou farbou je znázornená sieť prvkov, ktoré nahrádzajú materiál v okolí vyšet- rovanej oblasti. V strede sa nachádza zelená oblasť, kde je sieť zjemnená. Červenou farbou sú znázornené prvky zjemnenej oblasti, z ktorej sú vyhodnocované výsledky15. Základná veľkosť prvku v zjemnenej oblasti je 17 mm v radiálnom smere a 25 mm v axiálnom. Modrá oblasť je tvorená prvkami so základnou veľkosťou 35 mm v ra- diálnom smere a 75 mm v axiálnom. Diskretizácia jednotlivých oblasti je zobrazená v reze na obrázku 5.13 15Ako bude uvedené ďalej, analýza obsahuje veľký počet krokov s čím súvisí náročnosť na pamäť počítača. Z tohto dôvodu sú do výsledkových súborov v každom kroku zapisované iba výsledky prvkov z tejto červenej oblasti. 62 (a) Diskretizácia zjemnenej časti. (b) Diskretizácia pomocnej časti. Obr. 5.13: Diskretizácia priečneho prierezu priestorového modelu sochoru. Diskreti- zácia zelenej a červenej oblasti z obrázku 5.12 je totožná. Ako je vidieť na obrázku 5.13a, do vzdialenosti 50 mm od okraja je sieť zjemnená na štvrtinovú veľkosť prvku. Dôvodom je aj v tomto prípade veľký teplotný gra- dient, hlavne v počiatočných fázach ochladzovania. Ďalšie zjemnenie siete nemalo významný vplyv na výsledky16, preto bola využitá táto úroveň diskretizácie. Môže sa ponúkať otázka, či je sieť dostatočne jemná s ohľadom na analýzu kon- taktu s valcami. V prípade, ak by boli systematicky sledované kontaktné tlaky, bolo by nutné sieť veľmi pravdepodobne ešte zjemniť. V takomto prípade by však výpoč- tové časy boli tak vysoké, že by model strácal svoj význam. Prípadne by nemusel byť spočítateľný vôbec. Valce tvoriace dráhu ZPO sú rovnako, ako v prípade rovinného modelu, modelo- vané ako tuhé s využitím prvkov TARGE170, pričom pre zaistenie interakcie so sochorom sú na povrchu sochoru vygenerované prvky CONTA174. Rozloženie val- cov je totožné ako v prípade rovinného modelu. Pričom sú „vysunuté“ do tretieho rozmeru. 16To platí iba pre napätosť generovanú teplotným poľom, nie pri kontaktných tlakoch. Vplyv zjemnenia siete sa na zmenu kontaktného tlaku nekontroloval. 63 Modelovanou súčasťou ZPO je aj teleso kryštalizátoru. V tomto prípade je to po- mocné teleso, ktoré zabráni vychýleniu zvislého pásu konečných prvkov, predsta- vujúcich roztavenú oceľ v počiatočných fázach simulácie. Toto teleso je rovnako modelované ako tuhé pomocou prvkov TARGE170. Rozmery odpovedajú rozmerom sochoru, tak aby medzi sochorom a telesom kryštalizátoru bola minimálna vôla. Mo- del telesa kryštalizátoru s valcami v hornej časti je možné vidieť na obrázku 5.14. Na spodnom konci je mierne zaoblenie, pretože pri ladení modelu nastával problém s konvergenciou kontaktnej analýzy v prípade rovného konca. Zaoblenie problémy od- stránilo. Na počiatku simulácie je celý sochor, tvorený prvkami s teplotou kvapalnej fázy, vo vnútri kryštalizátoru. Obr. 5.14: Model telesa kryštalizátoru s valcami v hornej časti ZPO. 64 5.8 Model interakcií Všeobecne k ladeniu nastavení kontaktných dvojíc Interakcie tuhnúceho sochoru s valcami a kryštalizátorom boli zabezpečené vytvo- rením jednotlivých kontaktných dvojíc, ktorých ladenie a výsledné nastavenie je popísané nasledujúcimi riadkami. Postup ladenia je zhodný pre rovinný aj priesto- rový model. No v prípade priestorového modelu zabralo ladenie kontaktnej analýzy nepomerne menej času, a to vďaka skúsenostiam z rovinného modelu. Rozdiel je v použití príslušných prvkov a v niektorých parametroch nastavení. Terminológia a popisy sa odvíjajú z [53] a [54]. Pri celkovom ladení nastavení modelu zabralo odla- denie kontaktnej analýzy drvivú väčšinu času. Ladenie začínalo so zjednodušeným modelom - obsahoval iba 6 valcov cez ktoré bol „preťahovaný“ materiál. V ďalších etapách už boli modelované všetky kontaktné dvojice v modeli. V prvých etapách práce boli všetky kontaktné dvojice vytvárané prostredníctvom grafického rozhrania klasického prostredia ANSYS-u a následného kopírovania príka- zov do makier z „log file“. Toto sa ukázalo ako nevhodné, pretože „log file“ obsahoval množstvo nastavení a pri vytváraní parametrického modelu sa stávalo makro nepre- hľadné. Inými slovami, prvé fázy a pokusy ladenia kontaktnej analýzy je možné nazvať aj metódou pokus-omyl. Vo finálnej verzií makro obsahuje len nevyhnutné nastavenia zadané podľa [53]. Ostatné príkazy vygenerované v „log file“ neboli po- užité. Jednotlivé nastavenia sú zhrnuté pre konkrétne typy kontaktných dvojíc a sú uvedené nižšie. Znovu treba zdôrazniť, že sa jednalo o iteračný proces s množstvom neúspešných pokusov. Ladenie však dospelo do úspešného konca aj s využitím do- stupných odporúčaní v [54], [55]. Z praktických dôvodov je v tejto časti zachovaná anglická terminológia, prípadne je v popise použitý voľný preklad. Kontaktná dvojica sochor - valec Ako bolo uvedené vyššie, valce sú modelované ako tuhé pomocou prvkov s označe- ním TARGE169 (2D) alebo TARGE170 (3D). Na povrchu sochoru sú vygenerované kontaktné prvky CONTA172 (2D) alebo CONTA174 (3D). Pokiaľ tvar tuhého telesa predstavuje jednoduchý geometrický útvar, algoritmus ANSYS-u vygeneruje jeden prvok v tvare tohto telesa. V terminológií ANSYS-u je použité označenie „primiti- ves“ [54, 53]. V závislosti na type úlohy je tento „primitives“ prvok rovinný alebo priestorový. Konečným prvokom je v tomto prípade samotný valec. Každému valcu prislúchajú dva uzly. Navyše je pre každý valec definovaný riadiaci uzol - „pilot 65 node“, ktorým je možné riadiť natočenie a posuvy jednotlivých valcov17. Všetky kontaktné dvojice v tejto práci sú uvažované bez trenia - „frictionless“. Interakcia dvoch telies v algoritmoch MKP je založená na výraznom zvýšení tuhosti medzi kontaktnými prvkami [39]. V tomto prípade sa jedná o štandardnú kontaktnú dvojicu. Pri ladení kontaktnej analýzy bola najskôr využívaná formulácia „Penalty“. Riešenie síce vykazovalo lepšiu konvergenciu, avšak vzájomná penetrácia prvkov bola v rádoch desiatok percent veľkosti prvku. Preto bola formulácia upravená na „Augmented Lagrange“, ktorá v sebe zároveň zahŕňa geometrickú podmienku penet- rácie [39]. Aby penetrácia bola dostatočné malá, bola postupným ladením upravená hodnota faktoru kontaktnej tuhosti (FKN). Kontaktná tuhosť bola aktualizovaná v každej iterácií s nastavením „aggressive“. Nakoniec bolo potrebné nastaviť prvotnú inicializáciu kontaktu v každom kroku - „load step-e“, tak aby boli automaticky ignorované prvotné penetrácie a vymedzené vôle medzi telesami, ktoré tvoria kon- taktnú dvojicu - príkaz „adjust to touch“. Jednotlivé kontaktné dvojice majú spoločnú sadu „real constants“ pre predpísanie vyššie uvedených parametrov kontaktnej dvojice. Tieto sú uvedené v súhrnnej ta- buľke 5.1 pre rovinný aj priestorový model. Tab. 5.1: Podstatné nastavenia „real constant“ kontaktnej dvojice sochor-valec. Parameter Model - 2D Model - 3D Formulation Augmented Lagrange Augmented Lagrange FKN 0.1 10 Friction Frictionless Frictionless Stiffness update Aggressive Aggressive Contatct behaviour Standard Standard Automatic adjustment Adjust to touch Adjust to touch Kontaktná dvojica sochor - kryštalizátor K interakcií sochoru s kryštalizátorom dochádza na vnútornej strane kryštalizátoru na počiatku analýzy. Nastavenie kontaktnej dvojice je podobné ako pre dvojicu valec- sochor. Zmena je iba v hodnote faktoru kontaktnej tuhosti FKN. V tomto prípade je 17Toto nebolo využité v analýzach prezentovaných v tejto práci, nakoľko presadenia ani posuvy valcov všeobecne neboli známe. Vytvorený modul v modeli túto možnosť obsahuje. 66 použitá nižšia hodnota pretože kryštalizátor slúži len ako pomocné teleso a prípadná vyššia penetrácia nemá podstatný význam. Parametre sú uvedené v tabuľke 5.2. Tab. 5.2: Podstatné nastavenia „real constant“ kontaktnej dvojice sochor- kryštalizátor. Parameter Model - 2D Model - 3D Formulation Augmented Lagrange Augmented Lagrange FKN 0.05 0.1 Friction Frictionless Frictionless Stiffness update Aggressive Aggressive Contatct behaviour Standard Standard Automatic adjustment Adjust to touch Adjust to touch 5.9 Pohyb sochoru a aplikované zaťaženie Vhodným predpísaním okrajových podmienok je zabezpečený pohyb sochoru dráhou ZPO a súčasne aplikovanie teplotného zaťaženia v jednotlivých uzloch, v každom kroku výpočtu, kým sochor neprejde celou dráhou ZPO a nevychladne. Celá analýza je rozdelená na 4 090 krokov, pričom každý krok zodpovedá jednej fiktívnej sekunde. Modelovaný proces je rozdelený na tri hlavné etapy a to práve podľa aplikovaného zaťaženia. Tieto etapy sú ilustrované obrázkom 5.15 a jedná sa o nasledovné: 1. Aplikovanie teplotného zaťaženia, bez pohybu sochoru - vytvorenie prvotnej škrupiny (obrázok 5.15a, krok 1 až 20). 2. Aplikovanie teplotného zaťaženia, s pohybom sochoru - ohyb v počiatočných fázach, prechod dráhou ZPO a následné rovnanie (obrázok 5.15b a 5.15c, krok 21 až 1 400). 3. Aplikovanie teplotného zaťaženia, bez pohybu sochoru - postupné ochladzova- nie vo vodorovnej polohe za ZPO (obrázok 5.15d, krok 1 401 až 4 090). 67 (a) Vytvorenie prvotnej škrupiny. (b) Ohyb sochoru pri výstupe z kryštalizá- toru. (c) Rovnanie. (d) Vychladnutie vo vodorovnej polohe. Obr. 5.15: Pohyb tuhnúceho sochoru dráhou ZPO počas simulácie znázornený v hlavných etapách. Kontúrami je ilustrované rozloženie teplôt na rovine symetrie. Hodnoty teplôt nie sú pre ilustráciu podstatné. 5.9.1 Pohyb sochoru Pohyb sochoru nastáva po vytvorení prvotnej škrupiny. Zo zvislej polohy prechá- dza model sochoru postupne dráhou ZPO do vodorovnej polohy. Axiálny posuv v každom kroku je 25 mm. Táto hodnota sa odvíja od diskretizácie teplotnej ana- lýzy. Predpísanie okrajových podmienok pre zabezpečenie pohybu sochoru nebola triviálna záležitosť. V odbornej literatúre boli dostupné len všeobecne informácie o nastavení okrajových podmienok. Je možné odcitovať z publikácie, v ktorej bol popis deformačných okrajových podmienok najviac konkrétny: „Boli zamedzené posuvy na rovine symetrie a oba konce boli riadené predpísaním posuvov a natočení [51].“ 68 Predpísanie okrajových podmienok pre zabezpečenie pohybu sochoru je založené na nasledujúcom princípe: Ide o rovnaký postup pri rovinnom aj priestorovom modeli. Jediný rozdiel spočíva v tom, že v prípade priestorového modelu sú zamedzené posuvy na rovine symetrie18 XY a všetko je o dimenziu vyššie. V mieste predného a zadného čela sochoru sú vy- generované tuhé prvky TARGE169(2D) alebo TARGE170(3D), pričom každý z nich má svoj riadiaci uzol - „pilot node“. (viď detail na obrázku 5.16). Tuhému prvku na prednom čele sú predpísané posuvy a natočenie. Pohyb sa z tuhého prvku na sochor prenáša s využitím kontaktnej dvojice „no separation“19 a synchronizáciou pohybu uzlu z prvku siete sochoru s riadiacim uzlom (s využitím „coupling“), viď detail z obrázku 5.16. Obr. 5.16: Schéma upraveného modelu, kde je modelovaná iba časť materiálu so- choru. Sochor prechádzajúci oblúkovou časťou so zobrazeným detailom predného čela, na ktoré sú zadávané príslušné OP. Pre ilustráciu sú prvky na čele zobrazené od seba, ale v skutočnosti ležia „na sebe“ a tvoria kontaktnú dvojicu - „no separa- tion“. Predpísanie okrajových podmienok na zadnom čele je založené na rovnakom prin- cípe, s tým rozdielom, že je predpísaná riadiacemu uzlu vždy iba rotácia a to na základne aktuálnej polohy, aby čelo sochoru bolo vždy kolmé na osu dráhy ZPO. V prípade ak by boli „natvrdo“ predpísané aj posuvy, sochor by sa nemohol zmršťovať 18Sú zamedzené posuvy v smere kolmom na túto rovinu. 19Toto nastavenie zabezpečí prenos zaťaženia iba v axiálnom smere a bude tak môcť dochádzať k zúženiu sochoru v radiálnom smere vplyvom zníženia teploty. Kontakt je bez trenia. 69 v axiálnom smere vplyvom zmeny teploty, a tým by vznikali nerealistické ťahové axiálne napätia. Poznámka: Na prvý pohľad sa môže zdať, že zadanie okrajových podmienok je zbytočne komplikované. Prvá varianta spočívala v zadaní posuvov na všetky uzly čela tak, aby bol zabezpečený pohyb a tým pádom aj súčasná rotácia čela. Tento spôsob však spôsoboval v určitých fázach analýzy problémy s konvergenciou, pretože kvôli zúženiu vplyvom ochladenia dochádzalo ku koncentrácií napätia na okrajoch čela. Rozdiel je grafický znázornený na obrázku 5.17. DISPLACEMENT DOF (a) Pôvodné OP - nedeformovaný tvar. (b) Pôvodné OP - deformovaný tvar. PLANE/SOLID (c) Odladené OP - nedeformovaný tvar. (d) Odladené OP - deformovaný tvar. Obr. 5.17: Rozdiel v spôsobe zadávania okrajových podmienok. Vplyv ochladenia na tvar čela sochoru. Čiernou farbou je pôvodný tvar pred ochladením. 5.9.2 Teplotné zaťaženie V každom kroku analýzy bola každému uzlu predpísaná príslušná teplota. Tieto hod- noty vychádzali z teplotného výpočtu a boli dodané formou výsledkového súboru *.mat, ktorý bol spracovaný v softvéri MATLAB. Tento súbor obsahoval súradnice uzlov a ich teplotu v každom časovom kroku. Po spracovaní boli súradnice s prí- slušnými teplotami importované do softvéru ANSYS vo forme tabuľky. Vzhľadom k tomu, že sieť použitá pri teplotnom výpočte nebola zhodná so sieťou použitou 70 pri štrukturálnej analýze, bol pri zadávaní teplôt využitý príkaz „*MOPER“. Tento príkaz interpoloval hodnoty teplôt uzlov s využitím súradníc z teplotného výpočtu na uzly so súradnicami pre štrukturálnu analýzu. Teplotný výpočet bol rozdelený na 40 000 krokov. Z praktický dôvodov nebol vy- užitý každý časový krok v štrukturálnej analýze. V prvých fázach sú gradienty teplôt pomerne vysoké. Neskôr sú však zmeny teplôt malé a môže byť využitý každý 𝑛-tý krok z časového výpočtu. Do kroku 2 000 bol použitý každý časový krok, pretože zmeny teplôt sú v tejto oblasti pomerne výrazné. Postupne sa frekvencia použitých časových krokov znižovala, pričom štrukturálna analýza nakoniec bola rozdelená „len“ na 4 090 krokov. Zo skúseností je možné konštatovať, že táto redukcia nemá žiadny významný vplyv na výsledky. Úspora času a dátového úložiska je nesmierne veľká. Z pôvodných 40 000 krokov sa analýza zredukuje na 4 090 a vstupný súbor s teplotami má potom veľkosť „iba“ 4 GB. Tento postup bol aplikovaný aj pri predchádzajúcich výpočtoch na ÚMTMB s využitím „slice“ modelu. 5.9.3 Hydrostatický tlak Oceľ, ktorá je v tekutom stave až do vzdialenosti metalurgickej dĺžky, sa správa voči svojmu okoliu ako vodný stĺpec a vytvára tak tlakové pôsobenie na stuhnutú škrupinu. Anglický pojem pre tento tlak je „ferrostatic pressure“. Hodnotu tohto tlaku možno určiť analogicky ako v prípade tlaku hydrostatického [3, 24]. Do vý- počtového modelu je tento tlak implementovaný spôsobom, ktorý bol prevzatý z [24]. Pomocou makra je vytvorený algoritmus, ktorý určí priemernú teplotu prvku z príslušných uzlov. Pokiaľ je teplota prvku 𝑇𝑗 vyššia, ako je teplota „solidu“ 𝑇𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑, tak je aplikovaný tlak 𝑝𝑗 na každú stenu j-tého prvku. Tento tlak je prepočítaný na sily, ktoré sú predpísané zodpovedajúcim uzlom a smerujú von z prvku v kolmom smere na stenu prvku. Prenos zaťaženia je zobrazený obrázkom 5.18. Prirodzene, pre prvky, ktoré predstavujú pevnú fázu20 je predpísaný tlak nulový. Výsledná hodnota tohto tlaku závisí od vzdialenosti k voľnej hladine oceli v kryštalizátore. Matema- ticky je možné hodnotu hydrostatického tlaku 𝑝𝑗 pre j-tý prvok tekutej oceli vyjadriť vzťahom (5.13). 20Autor v [24] popisuje model pôsobenia hydrostatického tlaku aj v „mushy“ zóne. V tomto modeli boli pre výpočet hydrostatického tlaku uvažované iba pevná a kvapalná fáza. 71 𝑝𝑗 = ⎧⎪⎨⎪⎩𝜌 · ℎ𝑗 · 𝑔 , pre 𝑇𝑗 > 𝑇𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑 0 , inak (5.13) Kde 𝜌 = 7 300 kg/m3 je hustota materiálu, ℎ𝑗 je vzdialenosť prvku k voľnej hladine oceli, 𝑔 = 9,81 m/s2 je tiažové zrýchlenie, 𝑇𝑗 je teplota prvku a 𝑇𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑 = 1450∘C. Kvapalná fáza Kvapalná fáza Kvapalná fáza Tuhá fáza Výsledne zat’aženie je nulové Výsledné zat’aženie pôsob́ı na prvky tuhej fázy Obr. 5.18: Prenos aplikovaného zaťaženia medzi konečnými prvkami. Prevzaté z [24], upravené. Tlakové pôsobenie je prenášané príslušnými silami v uzloch. Po implementácií tohto zaťaženia do výpočtového modelu sa ukázalo, že v prípade elasto-plastickej analýzy má zaťaženie od hydrostatického tlaku nevýznamný vplyv na výsledky. Vzhľadom na rozsah práce nie je porovnávacia analýza vplyvu hydro- statického tlaku uvedená a všetky prezentované výsledky sú bez uvažovania tohto zaťaženia. Tento modul je však obsahom výpočtového modelu a môže byť využitý v budúcnosti s využitím visko-elasto-plastického modelu materiálu. Vplyv hydro- statického tlaku je významný najmä v prípade analýzy vydutia škrupiny, pričom majoritná zložka deformácie je „creep-ová“ [22, 26]. 5.10 Všeobecné nastavenie analýzy 5.10.1 Nastavenia riešiča Jedná sa o nelineárny výpočet s uvažovaním veľkých deformácií. Nastavenie výpočtu spočívalo v tom, že každý „loadstep“ bol rozdelený na minimálne 1 a maximálne 60 000 „substep-ov“. Pričom si softvér počet „substep-ov“ volil automaticky na základe aktuálnej konvergencie výpočtu. Rovnako tak bola zvýšená hodnota maximálneho počtu iterácií pre dosiahnutie rovnováhy v jednom „substep-e“ z pôvodných 15 na 100. Najväčší počet „substep-ov“ a iterácií bol potrebný v prípade prvotného ohybu 72 a pri styku sochoru s valcami v prvých fázach analýzy. Neskôr ešte pri fáze rovnania. Ostatné kroky v