\chapter{Teoretická část}

\section{Úvod}

V~první části jsou vysvětleny principy amplitudové a frekvenční modulace a jsou popsány normy pro rozhlasové vysílání. Další část je věnována popisu $\Sigma - \Delta$ modulace, která je následně použita pro realizaci jednoduchého A/D a D/A převodníku. V~závěru je popsán cílový FPGA obvod.

\section{Analogové modulace}

Při analogové modulaci je použit signál harmonického průběhu jako nosná složka. 
\\
Podle způsobu modulace rozdělujeme modulaci na:
% Seznam používaných modulací
\begin{itemize}
	\item Amplitudová modulace
	\item Frekvenční modulace
	\item Fázová modulace
\end{itemize}
%
Dále se dá modulace rozdělit na lineární a nelineární. \cite{prchal}

Při lineární modulaci dochází pouze k~frekvenčnímu posunutí spektra signálu, nevznikají tedy žádné nové frekvenční složky, které by předtím neobsahoval modulační signál. Amplitudová modulace patří mezi lineární modulace. 

Při nelineární modulaci vznikají nové frekvenční složky, které v~modulačním signálu nejsou obsaženy. Typickým příkladem nelineární modulace je frekvenční~a~fázová modulace.
\\
Harmonický nosný signál $\prom{n}(t)$ s~počáteční fází $\varphi = 0$ je definován v~rovnici \ref{rov_nosna}:
%
\begin{equation} \label{rov_nosna} % zkouška křížového odkazu
	\prom{n}(t) = A\cdot \cos(\Omega t)	
\end{equation}	
%
Kde:
% Nečíslovaný seznam popisky pro nosný signál
\begin{itemize}
	\item $A$ je vrcholová hodnota nosného signálu
	\item $\Omega$ je úhlová rychlost
	\item $t$ je časová proměnná
\end{itemize}
%
Modulační signál $\prom{x}(t)$ (ten, který je modulován na nosný) může dosahovat v~podstatě libovolných tvarů. Pro názornost budeme uvažovat opět harmonický průběh s~počáteční fází $\varphi = 0$ (rovnice \ref{rov_modulacni}).
%
%rovnice modulačního x(t) signálu
\begin{equation} 
	\label{rov_modulacni}
	x(t) = V \cdot \cos(\omega t)	
\end{equation}	
%
%
Kde
%
\begin{itemize}
% Nečíslovaný seznam popisky pro modulační signál
	\item $V$ je vrcholová hodnota modulačního signálu
	\item $\omega$ je úhlová rychlost
	\item $t$ je časová proměnná
\end{itemize}

% Sekce o amplitudové modulaci
\section{Amplitudová modulace}
\label{sec-AM- teorie}

Amplitudová modulace je proces, při kterém modulační signál $\prom{x}(t)$ ovlivňuje velikost amplitudy nosného (harmonického) signálu. \cite{prchal} Jedná se o historicky nejstarší používanou modulaci, jejíž použití sahá na začátek 20. století, kdy se začala používat pro rádiový přenos zvuku. \cite{aboutcom} Její značnou nevýhodou je velice malá výkonová účinnost. Velká část výkonu připadá na výkon nosného signálu, který ale není nositelem žádného užitečného signálu. \cite{prchal} Se zmenšující se hloubkou modulace se zhoršuje celková energetická účinnost - výkon, který připadá na nosný signál, se zvětšuje. Velkou výhodou je ale velmi jednoduchý demodulátor, díky jehož jednoduchosti se AM radiopřijímače staly finančně dostupné a umožnily tak rozšíření AM modulace.
\\
Amplitudovou modulaci můžeme podle spektra a způsobu modulace rozdělit \footnote{Detailnější rozdělení amplitudové modulace přesahuje rámec této bakalářské práce. Vysvětleny jsou pouze důležité pojmy.}:
%
\begin{itemize}
	\item	\zk{zkDSB} - Dual Side Band (obsahuje obě postranní pásma a nosnou)
	\item	\zk{zkDSBSC} - Dual Side Band Suppresed Carrier (obsahuje obě postranní pásma, nosná potlačena)
	\item	SSB - Single Side Band (obsahuje pouze jedno postranní pásmo a nosnou)
\end{itemize}
%
\subsection{Modulace DSB}
\label{subsec-DSB}

Při amplitudové modulaci \textbf{DSB} - DualSide Band (Obě postranní pásma) tvoří modulační signál obálku modulovaného signálu. Okamžitou hodnotou modulačního signálu $x(t)$ je řízena vrcholová hodnota modulovaného signálu.\\

% Obrázek AM DSB
\begin{figure}[h]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=\columnwidth]{obr/AM_DSB}
  \end{center}
  \caption{Příklad amplitudové modulace DSB} 
  \label{Obr_AMDSB}
\end{figure} 

% Obrázek Spektrum AM DSB
\begin{figure}[h]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=\columnwidth]{obr/am_spektrum}
  \end{center}
  \caption{Spektrum amplitudově modulovaného (DSB) signálu \cite{prchal}}	
  \label{Obr_AMDSB-spektrum}
\end{figure}


Výsledkem modulace je modulovaný signál $s(t)$. Modulační signál $x(t)$ ovlivňuje vrcholovou hodnotu $A$ nosné $n(t)$ 

Matematicky lze amplitudovou modulaci DSB popsat rovnicí (\ref{rov(st)_nenorm}). \cite{prchal}
%
\begin{equation} \label{rov(st)_nenorm}
	\prom{s}(t) = A \cdot \cos \Omega t + x(t) \cdot \Omega t
\end{equation}
%
Modulační signál $x(t)$ tvoří obálku amplitud nosného signálu $n(t)$ jak je zřejmé z~obrázku \ref{Obr_AMDSB}. 

Důležitým parametrem je činitel $m$, což je modulační koeficient a~lze ho vyjádřit podle rovnice \ref{rov_AM podminka}.
\begin{equation} 
	\label{rov_AM podminka}
	m = \frac{V}{A} \leq 1
\end{equation}
%
neboli
%
 \[
 	V \leq A
 \]
 %
Modulační koeficient $m$ vyjadřuje poměr vrcholových hodnot modulačního a nosného signálu. Pokud nebude splněna podmínka v~rovnici \ref{rov_AM podminka}~a~bude platit, že $V > A$, modulovaný signál bude přemodulovaný, tzn., že se zde objeví nelineární zkreslení. \cite{prchal} Je-li činitel $m$ vyjádřen v~procentech, nazývá se hloubkou modulace~a~je jí úměrná intenzita demodulovaného signálu. 

Na obrázku \ref{Obr_AMDSB-spektrum} je znázorněno spektrum amplitudově modulovaného signálu. Původní spektrum modulačního signálu je přesunuto ze základní polohy do okolí nosného kmitočtu $F$, kolem kterého je souměrné. Obsahuje 3 složky -- harmonickou složku nosného signálu a dolní a horní postranní pásmo. Šířka spektra kanálu pro přenos amplitudově modulovaného signálu odpovídá dvojnásobku šířky spektra modulačního signálu (viz rovnice \ref{rov-am-spektrum}). \cite{prchal}
%
\begin{equation} 
	\label{rov-am-spektrum}
	B_{\rm s} = 2 \cdot F_{\rm m}
\end{equation}
%
% ------------------------------------------------------------------------------------------------
% Modulace DSBSC
\newpage
\subsection{Modulace DSBSC}
Při amplitudové modulaci \textbf{DSBSC} - Dual SideBand Suppresed Carrier (Obě postranní pásma, nosná potlačena) na rozdíl od modulace DSB nedochází k~přičítání okamžité hodnoty $ x(t) $ k~vrcholové hodnotě nosné $A$ jako v~rovnici \ref{rov(st)_nenorm}, ale je vyjádřena součinem modulačního a~nosného signálu: \\
%
\begin{equation} 
	s(t) = x(t) \cdot \cos \Omega t		% s(t) = x(t).cos(Omega.t)
	\label{rov-amdsbsc}
\end{equation}
%
% Obrázek AM DSBSC
\begin{figure}[h]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=\columnwidth]{obr/AM_DSBSC}
  \end{center}
  \caption{Příklad amplitudové modulace DSBSC}	
  \label{Obr_AMDSBSC}
\end{figure}
%
Na obrázku \ref{Obr_AMDSBSC} je znázorněn modulovaný signál DSBSC. Modulační signál $x(t)$ opět tvoří obálku modulovaného signálu, ale není vertikálně posunut o vrcholovou hodnotu modulačního signálu A. Při průchodu modulačního signálu $x(t)$ nulou dochází u modulovaného signálu $s(t)$ ke změně fáze. Ve spektru je potlačen nosný kmitočet.
%
%---------------------------------------------------------------------------------------------
\newpage
\subsection{AM v rozhlasovém vysílání}
\label{sec-AM-radio}
% popsat normy AM vysílání dnes používané

Amplitudová modulace DSB se pro rozhlasové vysílání používá především v~pásmu středních vln. V~Evropě je AM vysílání provozováno v pásmu středních vln podle normy EN 302 017 a EN 302 245, konkrétně na kmitočtech $f = 526,5 \, \jedn{kHz}$ až $f = 1606,5 \, \jedn{kHz}$ \cite{euro-std}, \cite{zakonik-cr}, ale stanic a vysílačů stále ubývá a to jednak z~důvodu relativně nízké kvality vysílaného zvuku a jednak z~důvodu nízké energetické účinnosti amplitudové modulace a tudíž potřebného vysoce výkonného vysílače (řádově až \jedn{MW}). V~České republice je aktivních 9 vysílačů. \cite{radiokom} Aby se blízké vysílače v~zemích, které spolu sousedí, navzájem nerušily, byla v~Evropě sjednocena norma pro AM vysílání. Ta určuje maximální přenášený kmitočet jednoho kanálu $f_m = 4,5 \, \jedn{kHz}$, tedy celková šířka pásma jednoho kanálu (stanice) je $BW = 9 \, \jedn{kHz}$. Některé parametry používané pro AM rádiové vysílání v~pásmu středních vln jsou v~tabulce \ref{tab-AM}.

\begin{table}[h]
\begin{center}
	\begin{tabular}{|l|l|}
  \hline
  {\bf Parametr} & {\bf Hodnota} \\
  \hline \hline
  Frekvenční pásmo								& 		$526,5 - 1606,5 \, \jedn{MHz}$						\\
  Šířka pásma kanálu							&			$9 \, \jedn{kHz}$										\\
  \hline
	\end{tabular}
  \caption{Některé údaje normy rozhlasového vysílání AM pro ČR \cite{euro-std}}
  \label{tab-AM}
  \end{center}
\end{table}
%
\newpage
Amplitudová modulace s~oběma postranními pásmy a potlačenou nosnou (DSBSC) se využívá v~kombinaci s~frekvenční modulací pro přenos stereofonního zvuku v~pásmu krátkých vln.
%-------------------------------------------------------------------------------------------------
\clearpage
\section{Frekvenční modulace}
% Obrázek FM
\begin{figure}[h]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=\columnwidth]{obr/FM}
  \end{center}
  \caption{Příklad frekvenčně modulovaného signálu}	
  \label{Obr_FM}
\end{figure}
%
Frekvenční modulace se řadí mezi nelineární modulace a vedle fázové modulace je jednou z~forem úhlové modulace. Při procesu frekvenční modulace se okamžitý úhlový kmitočet $\Omega(t)$ nosného signálu $n(t)$ mění lineárně v~závislosti na okamžité amplitudě modulačního signálu $x(t)$. Amplituda modulovaného signálu $s(t)$ je stále konstantní. Frekvenční modulace je na rozdíl od amplitudové modulace mnohem více odolná proti rušení~a~také dosahuje vyšší výkonové účinnosti. \cite{prchal} \\

V~případě, že bude modulační signál harmonického průběhu jako v~rovnici \ref{rov_modulacni}, potom lze frekvenčně modulovaný signál popsat rovnicí \ref{rov-fm-hlavni}.
%
% Rovnice frekvenčně modulovaného signálu
\begin{equation} 
\label{rov-fm-hlavni}
	s(t) = A \cos [\Omega t + \frac{\Delta F}{f} \cdot \sin \omega t]
\end{equation}
\newpage
Kde
\begin{itemize}
	\item $\Delta F$ je kmitočtový zdvih
	\item $f$ je kmitočet nosného signálu
\end{itemize} 

\paragraph{}
Na obrázku \ref{Obr_FM} je znázorněn příklad frekvenčně modulovaného signálu. Výsledné spektrum frekvenčně modulovaného signálu je znázorněno na obrázku \ref{Obr_FM_spektrum}. V~případě, že index frekvenční modulace bude velmi malý $\beta << 1$ (viz rovnice \ref{rov-index-fm}) uplatní se jen hodnoty $J_0(\beta)$ a $J_1(\beta)$, protože ostatní hodnoty $J_{n}(\beta)$ mají zanedbatelnou velikost~--~úzkopásmová frekvenční modulace). Velikosti jednotlivých složek spektra jsou popsány Besselovými funkcemi prvního druhu. \cite{prchal}
%
\begin{equation} 
\label{rov-index-fm}
	\beta = \frac{\Delta F}{f}
\end{equation}
%
\begin{figure}[h]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=\columnwidth]{obr/fm_spektrum}
  \end{center}
  \caption{Spektrum frekvenčně modulovaného harmonického signálu \cite{prchal}}	
  \label{Obr_FM_spektrum}
\end{figure}
%
%%%%
\subsection{FM v rádiovém vysílání}
% popsat normy FM používané v rádiovém vysílání
V různých částech světa se používají rozdílné normy pro rádiové vysílání frekvenčně modulovaného signálu v~pásmu VHF (Very High Frequency). Rozlišují se parametry, mezi které patří například používané frekvenční pásmo, frekvenční odstup mezi vysílanými kanály, maximální frekvenční zdvih, polarizace nosné vlny apod. V~tabulce \ref{tab-FM} jsou některé údaje platné pro Českou republiku. \cite{fmbroad} V~České republice je aktivních 155 rádiových vysílačů frekvenčně modulovaného signálu. \cite{radiokom}
%
\begin{table}[h]
\begin{center}
	\begin{tabular}{|l|l|}
  \hline
  {\bf Parametr} & {\bf Hodnota} \\
  \hline \hline
  Frekvenční pásmo								& 		$87,5 - 108 \, \jedn{MHz}$						\\
  Odstup mezi kanály							&			$100 \, \jedn{kHz}$										\\
  Maximální frekvenční zdvih	 		&			$\pm 75 \, \jedn{kHz}$								\\
  Polarizace nosné vlny						&			horizontální, vertikální, mixované		\\
  \hline
	\end{tabular}
  \caption{Některé údaje normy rozhlasového vysílání FM pro ČR \cite{fmbroad}}
  \label{tab-FM}
  \end{center}
\end{table}
%
%-------------------------------------------------------------------------------------------------
%\clearpage
\section{$\Sigma - \Delta$ modulace}
\label{sec-sigma-delta-teorie}

\begin{figure}[h]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.7]{obr/sigma-delta-blok}
  \end{center}
  \caption{Blokové schéma $\Sigma - \Delta$ modulace \cite{schreier}}	
  \label{Obr_SDblok}
\end{figure}

$\Sigma - \Delta$ modulace byla poprvé publikována v roce 1962 pány H. Inose, Y. Yasuda, a J. Murakami jako rozšíření konceptu delta modulace. \cite{kester} Název $\Sigma - \Delta$ je odvozen ze dvou hlavních prováděných operací, jímž jsou $\Sigma$ (Sigma)~--~představuje sumu a $\Delta$ (Delta)~--~představuje rozdíl, neboli diferenci. \cite{schreier} Je to jedna z~metod pro převod analogového signálu na digitální signál -- A/D nebo pro převod digitálního signálu na analogový signál -- D/A. Modulátor $\Sigma - \Delta$ je jedním ze stupňů celého $\Sigma - \Delta$ převodníku. 

\begin{figure}[t]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=\columnwidth]{obr/sigma_delta}
  \end{center}
  \caption{Časový průběh $\Sigma - \Delta$ modulace}	
  \label{Obr_SD}
\end{figure}
%
\begin{figure}[h]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=1.3]{obr/sigma-delta-spectrum}
  \end{center}
  \caption{Spektrum $\Sigma - \Delta$ modulátoru v~závislosti na převzorkování~a~řádu \cite{haze}}	
  \label{Obr_SD-spektrum}
\end{figure}

Převodníky $\Sigma - \Delta$ mají pracovní kmitočet několikanásobně vyšší než Nyquistův kmitočet (narozdíl od tradičních A/D převodníků). Kvantovací šum je vytlačován do oblasti, která se nachází mimo zpracovávané pásmo. \cite{haze} Spektrum $\Sigma - \Delta$ modulátoru je znázorněno na obrázku \ref{Obr_SD-spektrum}. Výhodou $\Sigma - \Delta$ modulace je velice jednoduchý demodulátor. Jelikož je ve spektru $\Sigma - \Delta$ modulovaného signálu obsažen původní signál, stačí k~jeho demodulaci pouze filtr typu dolní propust.

\subsection{Použití $\Sigma - \Delta$ modulace}
Modulace $\Sigma - \Delta$ se stále častěji používá v moderních A/D a D/A převodnících pro převod hlasového nebo audio signálu nebo obecně pro převod pomalých signálů. \cite{kester} A/D převodníky $\Sigma - \Delta$ mají velkou kvantovací chybu, která je ale převzorkováním, tvarováním šumu a decimačním filtrováním odstraněna. \cite{haze} \\

Zajímavým použitím $\Sigma - \Delta$ modulace je uložení zvukových dat na digitálním nosiči Super Audio Compact Disc (SACD) (výrobci Sony a Phillips je nazýván tento způsob uložení dat Direct Stream Digital -- DSD technology). \cite{sacd}

%-------------------------------------------------------------------------------------------------
\section{FPGA Virtex-5}
Pro realizaci zadání bylo zvoleno FPGA Virtex-5 s~označením XC5VSX50T od firmy Xilinx umístěné na vývojové desce ML-506. Tento FPGA obvod je vyroben $65 \, \jedn{nm}$ technologií, obsahuje 8160 \emph{řezů (slices)} a je umístěn v~pouzdře BGA se $34 \times 34$ vývody; celkem tedy 1136 pinů. Obsahuje také vstupní diferenční páry, které jsou využívány k~realizaci vstupního A/D převodníku. \cite{xilinx-a}

\section{MATLAB}
Toto interaktivní programové prostředí je vyvíjeno společností MathWorks a~umožňuje výpočty s~maticemi, vykreslování 2D i~3D grafů funkcí, implementaci algoritmů, simulaci a modelování apod. Jeho kořeny sahají na počátek 80. let 20. století. Programování probíhá pomocí programovacího jazyka MATLAB. \cite{matlab} V~této práci je použito prostředí MATLAB verze 2011a a je využíváno především k~návrhu digitálních filtrů. Pro simulaci, ověřování funkce obvodu a~generování referenčních výstupů je použit nástroj integrovaný nástroj Simulink.

\subsection{Simulink}
Simulink je prostředí programu MATLAB, které umožňuje simulovat bloková schémata založená na modelech. Tyto modely jsou dostupné z~knihoven. Je integrováno v~prostředí MATLAB. \cite{matlab}


\section{Xilinx ISE 14.2}
Pro VHDL popis, simulaci tohoto popisu, následnou syntézu, implementaci a generování \emph{bitstream} pro výsledný obvod FPGA je využíváno prostředí ISE 14.2 od firmy Xilinx, verze \emph{System Edition}, která má podporu obvodu Virtex-5 XC5VSX50T. Standardní volně šiřitelná verze WEBPACK tento obvod nepodporuje. Pro simulaci VHDL popisu je využíván vestavěný nástroj iSim.


\section{ASIC Filter Generator}
Tento software vyvíjí pan Ing. Marián Pristach z~FEKT VUT v~Brně a~umožňuje generovat VHDL popis FIR filtru na základě vstupních parametrů, kterými mohou být koeficienty filtru v~binární podobě. Prioritou tohoto software je co nejmenší výsledná plocha na čipu. I~když slouží primárně pro obvody ASIC, dá se vygenerovaný VHDL popis použít i~pro obvody FPGA.