\chapter{Úvod}

\begin{quote}
\emph{\uv{Vesmír je chytřejší než my a chceme-li ho studovat, musíme být zároveň tvořiví i kritičtí.}}
\end{quote}
\begin{flushright}
Timothy Ferrit (popularizátor astronomie)
\end{flushright}	

Na hvězdné obloze je málo světla, dokonce i pro dnešní citlivé přístroje. Kromě pořizování snímků Měsíce je nutné, na rozdíl od fotografování během slunečného dne, použít dlouhé expozice. Ať už se rozhodneme použít digitální či analogovou techniku, vždy narazíme na problém, a tím je pohyb Země.
Během delší expozice se Země pootočí o viditelný úhel a fotografovaný bodový objekt se změní v část kružnice. 

Záleží přitom na mnoha parametrech, běžně však již i pár desítek sekund může výrazně změnit zamýšlený charakter snímku. Tento efekt se někdy záměrně využívá, jedná se však o \uv{náladové snímky}, které s mou prací nesouvisí.

\section{Motivace}\indent

Fotografování je mým dlouholetým koníčkem, a protože se k němu v poslední době přidává i astronomie, dostal jsem se tak k fotografování noční oblohy. V dnešní době je nejen pro mne v blízkém okolí větších i menších měst obtížné najít oblohu bez nevzhledného oranžového oparu, způsobeného světelným znečištěním. Naštěstí ještě existují místa, bohužel hůře dostupná, kde ale při pohledu na temné nebe lituji, že si s sebou nemohu přivést i astronomické vybavení. Tím vznikl požadavek na přenosnou, bateriově napájenou, paralaktickou montáž. Trh je v této oblasti chudý. Jediný výrobek, reprezentující tuto kategorii je drahý, velký, nemotorný a s nevalnou výdrží. S kolegou jsme se rozhodli tuto mezeru na trhu zacelit a navrhnout vlastní montáž, která bude určena pro cestování do odlehlejších míst.

Mým úkolem bylo navrhnout pohon s elektronikou. Protože obě hlavní ramena se musí při fotografování rozevírat, je nutné elektronicky řídit tento pomalý pohyb. To nejlépe řeší pohybový šroub, který otáčivý pohyb motoru převede na lineární a dle stoupání závitu i zpřevoduje. 
	
\section{Popis montáže}\indent 

Fotoaparátem je nutné natáčet za hvězdami. Typy montáží se v této práci zabývat nebudu. Pouze bych rád na tomto místě uvedl pro kterou montáž budu pohon navrhovat.
	
Jedná se o zjednodušenou paralaktickou montáž. Hvězdy se pohybují po soustředných kružnicích, do jejichž středu musí mířit normála roviny hlavních ramen montáže. Pak se začne fotoaparát pohybovat po kružnici se stejným středem jako hvězdy, a tím se zredukuje počet os montáže, kterými se musí pohybovat, ze dvou na jednu. Detaily této i dalších typů montáží popisuje kolega ve své práci, zabývající se konstrukcí výrobku.
	
Zmiňované zjednodušení spočívá v omezené době kontinuálního provozu. Díky tomuto omezujícímu parametru můžeme vyrobit montáž malých rozměrů a splnit tak požadavek skladnosti při převozu.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=15cm]{obrazky/19_celkovy_pohled.eps}
\caption{Paralaktická cestovní montáž.}
\end{center}
\end{figure} 

\chapter{Provozní podmínky}\indent 

Počítáme převážně s použitím na cestách, které nejsou primárně věnovány astrofotografii. Monáž tak může být vystavena extrémním vlivům nejen během provozu, ale i během převozu, jako například nešetrné zacházení při nakládání do letadel nebo při chůzi nerovným terénem. 

To se však týká nároků na mechanickou konstrukci, které se věnuje kolega. Požadavkům na pohon se budu věnovat v následující kapitole.

$\varphi$ [°]
\section{Požadavky}\indent 
	
Požadavky na pohon vycházejí z navržené mechanické konstrukce - protože požadujeme, aby se fotoaparát na montáži otáčel stejně jako hvězdy na obloze, je nutné, aby se hlavní osa pohybovala konstantní úhlovou rychlostí rovnou úhlové rychlosti Země, tedy:

\begin{equation}
\omega_{z}=\frac{2\cdot\pi}{23h\:56min\:4s}=\frac{2\cdot3.14159}{86164\:\jedn{s}}=72.921\cdot10^{-6}\:\jedn{rad\cdot s^{-1}}
\end{equation}

23 hodin, 56 minut a 4 sekundy je jeden hvězdný den, tzn. doba kdy se na nebi objeví určitá hvězda znovu na stejné pozici.

Rozevírání hlavních ramen obstarává pohybový šroub. Abych splnil požadavek na konstantní úhlovou rychlost, musím zajistit nelineární změnu otáček pohybového šroubu. Rychlost otáčení výstupní hřídele motoru se tak bude pohybovat v intervalu 1-2 ot/min.

Po dokončení fotografování je nutné celou konstrukci opět složit do výchozí polohy jak nejrychleji je to možné. Rychlost otáčení by se tedy měla pohybovat v řádu otáček za sekundu. To je v porovnání s předchozím provozním režimem šedesátkrát více.

Pro zmiňovanou transportovatelnost je neocenitelná nízká energetická náročnost, případně universálnost napájení, aby bylo možno použít celosvětově dobře dostupné typy baterií, jako jsou např. AA, vybije-li se lehká, přenosná Li-ion baterie.

\chapter{Pohony}\indent
 
Ze široké palety dostupných druhů pohonu přicházejí v úvahu pouze dva - krokové a stejnosměrné kartáčové motory. Motor bude pohybovat pohybovým šroubem o délce necelých 200 mm a to v řádu hodin, takže výkon a kroutící moment, který potřebujeme je téměř nulový. Naproti tomu potřebujeme dobrou regulaci otáček. 

Synchronní i asynchronní motory všeho druhu jsou z těchto důvodů nevhodné, protože jsou stavěny na větší výkony a především na větší napětí, což je pro bateriový provoz nevhodné.
	
\section{Krokové motory}\indent 

Jedná se také o stejnosměrné motory, jenže v jejich konstrukci nejsou kartáčové kontakty, které by zajišťovaly změnu směru proudu vodičem v magnetickém poli a umožňovaly tak plynulé otáčení. Je tedy nutné komutaci zajišťovat řídící jednotkou. Krokové motory jsou primárně vhodné pro přesné polohování (automatické obráběcí stroje), lze je ale provozovat i v režimu kontinuálního otáčení. Pro názornost se budu v dalším textu věnovat pouze krokovým motorkům s permanentním magnetem na rotoru. Více ke krokovým motorkům najdete v [4].
\subsection{Princip fungování}\indent
 
Na obrázku 3.1 je zjednodušená vnitřní struktura krokového motoru. Proud v jednotlivých cívkách $a$ až $d$ vyvolá vznik magnetického pole. Na to zareaguje permanentní magnet na rotoru tím, že se natočí do požadované polohy.

U krokových motorků, pokud nemají vestavěnou řídící elektroniku, bývají vyvedeny všechny konce cívek, tím si můžeme vybrat jeden z mnoha způsobů zapojení a provozu. A~to ten, který nejlépe vyhovuje požadovaným provozním podmínkám.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=9cm]{obrazky/01_ec_motor_unip.eps}
\caption{Uspořádání krokového motoru s permanentním magnetem na rotoru.}
\end{center}
\end{figure}
 
\subsection{Unipolární zapojení}\indent 

Toto zapojení spočívá v tom, že každou cívkou může proud procházet pouze v jednom směru. Tedy je poloha severního a jižního magnetického pólu vždy stejná. 

Řízení pak může být realizováno v každém kroku pomocí jedné nebo dvou cívek, dle momentu, který požadujeme na hřídeli. Můžeme také kombinovat obě tyto metody řízení a dosáhnout tak dvojnásobného množství kroků na otáčku.

Krokový motor má velkou výhodu v tom, že je-li správně navržen, nepotřebuje zpětnovazební řízení. Musíme však předem znát největší moment, jakým bude motor zatěžován, abychom mohli vybrat patřičné zapojení a předešli tak ztrátě kroku. Například u brzdění nestačí magnetické pole vytvořené cívkami zachytit rotor a ten pokračuje dál v otáčení, přičemž řídící elektronika pořád spoléhá na to, že rotor již stojí.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{obrazky/02_krokac_unip_jednofaz.eps}
\caption{Schéma řízení krokového motoru s unipolárním jednofázovým zapojením s plným krokem.}
\end{center}
\end{figure} 

Jednofázové\footnote{Slovem jednofázový mám na mysli počet fází zapojených během jednoho kroku.} zapojení je jednoduché na provedení (postupně se v kruhu zapínají všechny cívky). Má však tu nevýhodu, že je pro malé momenty.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{obrazky/03_unip_dvoufaz.eps}
\caption{Schéma řízení krokového motoru s  unipolárním dvoufázovým zapojením s plným krokem.}
\end{center}
\end{figure}

Zapojení zvládne větší momenty, ovšem řízení je o něco složitější. Pokud nám spíše než na kroutícím momentu záleží na počtu kroků, lze kombinací obou předešlých dosáhnout kroku polovičního.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{obrazky/04_unip_pulkrok.eps}
\caption{Schéma řízení s unipolárním zapojením s polovičním krokem.}
\end{center}
\end{figure}
\subsection{Bipolární zapojení}\indent

V předchozí kapitole si prosím všimněme, že vždy a u všech cívek protéká proud jedním směrem. V případě, že nám elektronika umožňuje používat cívku v obou směrech, můžeme použít bipolární zapojení.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{obrazky/05_unip_bipol.eps}
\caption{Bipolární zapojení krokového motoru.}
\end{center}
\end{figure}

Z obrázku je patrné, že momenty, které motor snese, aniž by ztratil krok, budou vyšší, protože rotor je \uv{vázán} z obou stran. Taktéž je možné aplikovat všechny možnosti zapojení z předchozí kapitoly - řízení s plným nebo polovičním krokem i jedno- a dvou- fázové zapojení.
\subsection{Mikrokrokování}\indent

Nezřídka nastanou situace, kdy nepotřebujete velký kroutící moment, ale spíš větší přesnost. Všechny výše uvedené možnosti mají jednu velkou nectnost - jakmile je provozujete na malých rychlostech, je zde patrné krokování. Běžně dostupné kusy mají na otáčku 50 nebo 100 (vzácně i více) kroků, jakmile však požadujete pomalý pojezd, tak jsou i přesto kroky rušivé a nežádoucí. Vznikající kmitavý pohyb může rozvibrovat a dokonce i zničit celou konstrukci.

Vyjdeme z unipolárního zapojení s polovičním krokem, což je svým způsobem také mikrokrokování (v literatuře se také můžeme setkat s anglickým výrazem microstepping). Jestliže totiž nepotřebujeme každý druhý krok (ten, kdy rotor drží dvě statorové cívky) výrazně vyšší moment, stačí nám cívky napájet menším proudem.

Microstepping je tedy přidání \uv{virtuálních} kroků mezi dva plné kroky tím, že do cívek nebudeme pouštět pouze plnou hodnotu proudu, ale sinusový průběh (viz Obrázek 3.6) a to přesně v takovém sledu, jaký je v grafu u obrázku. Tím docílíme toho, že se rotor bude plynule natáčet postupně od jednoho pólu k druhému.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{obrazky/06_ec_motor_mikrostep.eps}
\caption{Princip funkce krokového motoru s grafem průběhů proudů v jednotlivých cívkách.}
\end{center}
\end{figure} 

Tím dosáhneme teoreticky zcela hladkého otáčení a uživatel, který neví o jaký motor jde, by neměl rozeznat, že jde o krokový motor. V drtivé většině případů se motory řídí pomocí mikrokontrolerů, tedy pomocí pulzně-šířkové modulace (pulse-width modulation - PWM). Nelze tak dosáhnout dokonale sinusového průběhu. Takže se aproximuje  (krok se rozdělí) 8,16,32 nebo více hodnotami, což už pro většinu aplikací je dostačující a plynulost přijatelná.

Samozřejmě lze řízení microsteppingem aplikovat i na bipolární zapojení, čímž můžeme motor zatěžovat větším momentem, ovšem za cenu složitější řídící elektroniky. Více o microsteppingu viz [3].
\subsection{Vlastnosti}\indent

Závěrem této kapitoly bych chtěl shrnout výhody a nevýhody pro snazší výběr typu motoru.

\begin{itemize}
\item[+]není zapotřebí senzorů pro zpětnovazební řízení
\item[+]motory jdou dobře provozovat i na nízkých rychlostech otáčení
\item[+]maximální rychlost je závislá pouze na řídící elektronice

\item[-]i při nízkých otáčkách (i při stání) stále vysoký odběr proudu
\item[-]nutná elektronika k zajištění komutace
\end{itemize}

\section{Stejnosměrné kartáčové motory}\indent

Stejnosměrné kartáčové motory, značené jako DC (direct current), mají oproti krokovým tu vlastnost, že ke komutování dochází mechanicky na lamelách komutátoru. Nelze jednoznačně říct, zda jde o výhodu či nevýhodu. Komutátor nebo uhlíky se opotřebovávají. Může na nich také vznikat jiskření, takže jsou pak nevhodné do provozů s výskytem těkavých látek. Je nutné provádět jejich údržbu, na druhou stranu umožňují snadné používání a řízení. 
\subsection{Princip fungování}\indent

Připojíme-li na napájecí svorky napětí, začne cívkou $6$ procházet proud, který vytvoří magnetické pole. Protože je stator tvořen permanentním magnetem, začne se rotor otáčet, tak, aby vzdálenost opačných magnetických pólů byla co nejmenší, ovšem jakmile se rozpohybovaný rotor dostane do tohoto místa, komutátor $4$ způsobí přepólování rotorové cívky $6$ a rotor začne být přitahován na druhou stranu a celý proces se opakuje.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{obrazky/07_DC_motor_prehled.eps}
\caption{Schéma vnitřního uspořádání DC motoru.}
\end{center}
\end{figure} 
 
Protože pólové nástavce mají většinou nezanedbatelnou hmotnost a tím i vliv na moment setrvačnosti, což se projevuje v dynamických pracovních režimech (častý rozběh a brzdění), vyrábí se i motory se samonosným vinutím. 

\subsection{Charakteristiky stejnosměrného motoru}\indent

Z pracovní charakteristiky DC motoru na obrázku 3.8 vyplývá, že závislost momentu na otáčkách (rychlosti otáčení) je lineární. Navíc při poklesu otáček dochází k navyšování momentu až do zastavení.

Jistá nevýhoda se ukazuje porovnáním křivky výkonu a účinnosti. Jejich maxima neleží totiž v jednom bodě. Je tedy nutné při návrhu pohonu pečlivě zvážit, kterému  bychom měli dát při provozu motoru přednost. Jestli se například jedná o bateriový provoz, volil bych spíše maximální účinnost. 

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{obrazky/08_DC_motor_charky.eps}
\caption{Pracovní charakteristiky DC motoru.}
\end{center}
\end{figure} 


\subsection{Vlastnosti}\indent

DC motory jsou oblíbené pro jejich snadné řízení. Řídící jednotky však potřebují zpětnou vazbu od některého ze senzorů, nejlépe od všech - polohového, rychlostního i proudového, záleží dle režimu, v jakém je motor provozován. V některých případech jistě stačí jen jeden. 

Při provozu motoru na nízkých rychlostech otáčení se neobejdeme bez proudového bočníku a inkrementálního čidla polohy. Další výhoda, která měla v mém případě rozhodující vliv je ta, že motory mají při malém zatížení malý odběr proudu, oproti krokovým motorkům, které mají stále stejný příkon. To je velká výhoda pro bateriový provoz.

Výhodný je také ten fakt, že motor lze řídit napětím, čímž přímo ovlivňujeme rychlost otáčení. Bez zatížení je dokonce rychlost otáčení přímo úměrná napětí. Proudem zase regulujeme kroutící moment na hřídeli.

Motor lze také krátkodobě přetěžovat a dosahovat vyšších rychlostí otáčení než jsou otáčky nominální. Ovšem za cenu snížení životnosti motoru.
Takže si shrňme výhody a nevýhody:
\begin{itemize}
\item[+]Jednoduchá elektronika pro řízení
\item[+]Nízký odběr proudu
\item[+]Lineární závislost otáček na momentu

\item[-]Není přímo určený pro provoz na nízkých otáčkách
\item[-]Nutnost použití senzorů.
\item[-]Maximální rychlost omezena mechanickou konstrukcí komutátoru
\end{itemize}

\subsection{Výběr pohonu}\indent

Většina vlastností, které od pohonu požaduji, nasvědčuje pro volbu krokového motoru. Ovšem jedna jeho nevýhoda, konkrétně vysoký odběr proudu, jej naprosto znemožňuje pro potřeby montáže využít. Není neobvyklé, řekne-li si motor o proud řádově stovky miliampér. To by znamenalo, při použití standardních baterií o kapacitě cca $2500\:\jedn{mAh}$, výdrž řádově v jednotkách hodin. Uvažujeme-li i zpětné převíjení, které je výrazně energeticky náročnější, můžeme se dostat až na hodnoty odpovídající dvěma cyklům fotografování. Montáž má být určena převážně pro expedice do odlehlých míst, tak je třeba zajistit, aby bylo možné fotit oblohu po mnoho nocí. Tuto vlastnost nám tak může nabídnout jenom stejnosměrný motor vhodných parametrů.
 
\chapter{Řízení}\indent
 
Z návrhu mechanické části vyplývají parametry pro řízení. Rychlost se bude pohybovat v hlavním provozním režimu na úrovni jednotek otáček za minutu a při zpětném převíjení, maximální dostupnou rychlostí, která by měla být minimálně 15 až 20 otáček za minutu. To by odpovídalo době přibližně čtvrt hodiny pro složení montáže do výchozího stavu. 

Přesnost natočení hřídelky je také důležitá a je jí věnována část v kapitole 7. Zde jen ve zkratce uvedu, že vzhledem k navrhované tuhosti konstrukce, uvažujeme použití objektivů s ohniskem nejvíce 200mm. 
	
\section{Regulátor}\indent

Pro tento případ je žádoucí regulovat nikoliv rychlost, ale polohu, protože ta je přesně v čase definovaná. Regulace probíhá ve zpětnovazební smyčce, kdy do regulátoru přivedeme patřičnou regulační odchylku, tj. rozdíl požadované a žádané hodnoty. Pro regulaci jsem vybral model s proporcionálně-integračním (PI) regulátorem. Jelikož se jedná o diskrétní řízení pomocí mikrokontroleru, jde spíše o proporcionálně sumační (PS). 

Regulátor bude dostávat informace ze dvou senzorů (poloha, proud), přičemž třetí veličina (rychlost) se bude dopočítávat diskrétní derivací. Z toho důvodu jsem zvolil regulátor se třemi regulátory ve smyčce, tak aby každý obhospodařoval regulaci jedné veličiny.
 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=13cm]{obrazky/09_schema_reglu.eps}
\caption{Schéma použitého regulátoru.}
\end{center}
\end{figure}   

Pro lepší objasnění jsem k regulátoru zároveň uvedl schéma, jak se mění fyzikální význam regulačních odchylek a akčních veličin. Požadovaná poloha je vypočítávána programem podle uběhnutého času. Výsledný akční zásah celé regulační kaskády má přímou hardwarovou vazbu k motoru, kterou jej ovládá.

Pro hrubé vyzkoušení, zda bude regulátor schopen regulace jsem použil nástroj Simulink, kde jsem výše uvedené schéma sestavil a odladil parametry tak, aby odezva motoru na rampu (rostoucí poloha, tzn. konstantní rychlost) byla co nejlepší. Šlo tedy pouze získání informace, zda tento model je schopen motor uřídit a přibližných parametrů pro ladění reálného regulátoru.

\section{Výpočet polohy}\indent

Celý pohon má zajišťovat, aby při rozevírání ramen montáže, byla mezi nimi konstantní úhlová rychlost. To tedy znamená, že poloha nebude v závislosti na čase lineární.

Z geometrie tedy můžu napsat vztah pro polohu matky na závitové tyči v závislosti na čase (vzorec je vlastně kosinová věta):
\begin{equation}
x=\sqrt{l^{2}_{1}+l^{2}_{2}-2\cdot l_{1}\cdot l_{2}\cdot cos(\omega _{z}\cdot t)}
\end{equation}

\begin{itemize}
\item[x] - poloha matky na závitové tyči [mm]
\item[$l_{1,2}$] - délka ramen [mm]
\item[$\omega_z$] - z rovnice (2.1)
\item[t] - čas [s]
\end{itemize}

Celé řízení bude realizováno diskrétně pomocí mikrokontroleru, který neumí přímo počítat goniometrické funkce. Tento problém lze řešit několika různými cestami. Například tuto nelineární závislost aproximovat pomocí Taylorova polynomu. Čímž se převede problém na výpočet součtů, součinů a mocnin, a to jsou pro mikrokontroler zvládnutelné operace. Další možnost je, že hodnoty veličiny $x$ uložím v určitých krocích do tabulky. Přičemž hodnoty mezi nimi aproximuji lineárně. Druhou metodu v pořadí použiji.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=13cm]{obrazky/10_regulacni_odchylka.eps}
\caption{Graf odchylky ideální a skutečné odchylky v závislosti na čase.}
\end{center}
\end{figure}  

Pro generování tabulky jsem vytvořil skript v jazyce Matlab (viz příloha), protože hodnot nebude málo a ruční práce je nepřesná a zdlouhavá. Ten nejenže vygeneruje hlavičkový soubor, který se připojuje k programu regulátoru, ale zároveň vykresluje odchylku, ke které kvůli aproximaci dochází. Tím jsem mohl odladit počet hodnot v tabulce na 360. Vzniklá úhlová odchylka hřídele motoru od teoreticky přesné hodnoty tak dosahuje hodnot nejvýše $5,5°$.

Střední hodnota odchylky lineárně roste v celém průběhu. Takže takto velká nepřesnost se vyskytuje pouze v závěru fotografování, to je přibližně po dvou hodinách. Záměrně jsem uvedl, že se jedná o \uv{střední hodnotu}, protože odchylka dle očekávání osciluje. Mezi body z tabulky je nejvyšší a přímo v bodu tabulky je nulová.

Prvních několik minut této závislosti můžete vidět na obrázku 4.2. Je z něj patrný typický průběh mezi aproximačními body a rostoucí trend.

 
\chapter{Realizace hardwaru}

\section{Motor a převodovka}\indent

Protože jsem se rozhodl celý návrh zrealizovat v domácích podmínkách a v rozumných cenových relacích, bylo nereálné objednat motor, osazený převodovkou a enkodérem přesně dle požadavků. Náklady na takto navržený pohon by snadno přesáhly rozpočet kompletní montáže.

Jako dobré a levné řešení se jevilo použít servomotor. V jednom pouzdře získám motor i s převodovkou. Použil jsem servomotor Futaba FP-S12, které má následující parametry:

\begin{itemize}
\item[+]celkový převodový poměr 1:153
\item[+]motor o nominálních otáčkách 5 000 otáček za minutu (vhodná rychlost pro zpětné převíjení)
\item[+]nominální napětí 4,8-6V (napětí přátelské k napájení z baterií)
\item[+]dostatek místa na vestavění enkodéru
\end{itemize}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=9cm]{obrazky/11_prevodovka.eps}
\caption{Převodovka motoru s údaji o počtu zubů a výpočtem celkového převodového poměru.}
\end{center}
\end{figure} 

Běžné servomotory jsou konstrukčně uzpůsobeny k tomu, aby se otáčely jenom v určitém rozsahu, standardně 90 až 180°. Je již celkem standardní modelářskou úpravou odstranění těchto mechanických dorazů při ponechání elektroniky. Potenciometr, který již není s výstupní hřídelí mechanicky spojen, pak funguje jako regulátor rychlosti. Protože potřebujeme regulovat polohu, bylo potřeba tuto elektroniku zcela odstranit.

\section{Enkoder}\indent

Jedná se o servomotor staršího data výroby. Tento fakt je podstatný v souvislosti s posledně jmenovanou výhodou předchozí podkapitoly. Dnešní moderní servomotory jsou optimalizovány na co nejmenší součástky a co nejméně materiálu ( = nižší výrobní cena) a tedy je vnitřní prostor pro dodatečné úpravy nedostačující.

Jak bylo zmíněno, servomotor používá jako senzor polohy odporový potenciometr. Toto řešení je levné a konstrukčně jednoduché. Lze ho tak snadno miniaturizovat. Použití na měření neomezeného množství otáček je pak ale vyloučeno. Sice existují víceotáčkové potenciometry, ale pořád se jedná maximálně o jednotky otáček.

Bylo tedy potřeba vestavět inkrementální čidlo - enkoder. Regulace bude probíhat na nízkých otáčkách, proto je žádoucí umístit senzor přímo na výstupní hřídel motoru před převodovku a tím znásobit jeho přesnost.

Enkoder je vlastně optozávora (IR LED dioda s fototranzistorem) s přerušovačem paprsku ve tvaru perforovaného disku. Elektronické součástky byly standardní výbavou starších kuličkových myší. Dnes se od počítačů přesunuly do bazarů, kde jdou pořídit ještě levněji, než za cenu samostatně koupené IR LED a fototranzistoru. Další důležitou součástí pro enkoder je perforovaný disk, také nutná součástka myši. Ovšem její rozměry byly větší než dostupný prostor v servomotoru. Bylo nutné ho tedy vyrobit.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{obrazky/12_enkoder.eps}
\caption{Vzor pro výrobu perforovaného disku, schéma zapojení enkodéru, graf kvadraturního signálu pro oba směry a fotografie výsledku.}
\end{center}
\end{figure}
 
Jako levné, přesné a efektivní řešení se ukázala technologie známá z výroby desek plošných spojů. Pomocí nažehlovací fólie lze přenést obraz přesných rozměrů disku na elektroakustický piezoměnič (tenký kulatý plech o průměru 5 cm) a vyleptat v chloridu železitém. Touto metodou se mi podařilo dosáhnout takových výsledků, že optozávora tak jemné perforování již nezaznamenávala spolehlivě. Na disk o průměru 15 mm až 60 zubů, což by v zapojení odpovídalo 240 pulzům na otáčku(!). Postupným odlaďováním jsem skončil u počtu zubů 22, vzniklá šířka zubu je tak sladěná s vzdáleností čidel dvojitého fototranzistoru a výsledný signál je tedy kvadraturní.
 
\newpage
V myších je třeba rozlišovat směr pohybu, toho lze dosáhnout přinejmenším dvěma fototranzistory, které budou generovat kvadraturní signál (viz obrázek výše). To jsou dva obdélníkové signály posunuté o čtvrt periody. Dle toho, který z nich se \uv{předbíhá} můžu spolehlivě určit směr otáčení. Další výhoda je, zvětšení přesnosti, neboť takto získám dvakrát více pulzů než za použití jednoho fototranzistoru.

Vyleptaný disk jsem přiletoval přímo na výstupní hřídelku motoru. Jeho poloha i s ostatními součástkami je vidět na obrázku výše.

\section{Elektronika řídícího obvodu motoru}\indent

Jak již bylo zmíněno, potřebuji, aby se motor otáčel v obou směrech. Pro toto řízení je ideální varianta zapojení v  H-můstku (v anglické literatuře H-bridge). Umožňuje navíc ještě režimy brzdění. Motor budu nechávat doběhnout setrvačností, protože má malý moment setrvačnosti, takže by nepřinesl brzdící režim žádné urychlení.

Zapojení a princip funkce je na obrázku níže. Schéma uprostřed a vpravo ukazuje systém spínání a rozepínání spínacích prvků, tak aby proud tekl požadovaným směrem a roztáčel tak motor patřičným směrem.

V reálném zapojení pak bude zapojen místo mechanických spínačů polovodičový (tranzistor) řízený mikroprocesorem. Abychom mohli zároveň regulovat otáčky se dvěma kanály pulzně šířkové modulace, bude vždy spodní prvek sepnut trvale a horní bude spínán pomocí pulzně šířkové modulace.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=13cm]{obrazky/13_h_mustek.eps}
\caption{H-můstek a jeho režimy provozu.}
\end{center}
\end{figure} 

Jako spínací prvky jsem použil tranzistory MOS-FET, které mají v sepnutém stavu téměř nulový odpor a do báze (gate) teče nulový proud. Konkrétně jsem použil IRF7105 SMD, tedy dva mosfety s opačnou vodivostí v jednom pouzdře zároveň i s ochrannými antiparalelními diodami. Snesou napětí až $25\:\jedn{V}$ a proud $3,5\:\jedn{A}$, což jsou parametry dostačující.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{obrazky/14_h_mustek_real.eps}
\caption{Reálné zapojení H-můstku.}
\end{center}
\end{figure}  

Ve schématu je zároveň vidět snímání proudu na $1\:\jedn{Ohm}$ bočnících R5 a R10. Do AD převodníku mikrokontroleru je nutné signál filtrovat RC článkem (tvořen prvky R6 - C10 a R12 - C11). 

\section{Elektronika ovládání }\indent

Při fotografování nebude možné do montáže jakkoliv mechanicky zasahovat. Přístup k ovládacím prvkům na motoru by byl možný, ale za cenu rizika nechtěného rozkmitání montáže. Zároveň akumulátor musí být umístěn mimo, aby zbytečně nezvyšoval namáhání centrálního kloubu konstrukce.

Tyto úvahy mě vedly na vytvoření externího ovladače na dlouhém kabelu, abych minimalizoval riziko nechtěného zásahu uživatelem. Zároveň tak umožním uživateli za zimních mrazivých nocí mít akumulátor u těla, a tím zajistit jeho větší výdrž a životnost.

Ovládání se bude z pohledu uživatele sestávat ze tří tlačítek, vypínače a tří stavových červených diod. Červená barva je pro noční pozorování důležitá, protože jako jediná neoslňuje světlocitlivé buňky oka - tyčinky, které ve špatném osvětlení používáme nejvíce, sice nevidí barvu, zato mají velkou citlivost.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{obrazky/15_ovladac.eps}
\caption{Zpracování napájecího vstupu.}
\end{center}
\end{figure} 

Jedním z požadavků byla univerzálnost napájení. Z důvodů uživatelské přívětivosti jsem na vstup dal Graetzův můstek, který umožní polaritu napájení libovolně měnit. 


Na diodě, pokud je zapojena v propustném směru je úbytek $0,6\:\jedn{V}$, na výkonových někdy i $1\:\jedn{V}$. Abych mohl napájet zařízení z co nejmenšího zdroje, zvolil jsem Schottkyho diody, které jsou konstruovány tak, že je na nich úbytek jen $0,3\:\jedn{V}$. V zapojení dle obrázku tak kvůli nim ztratíme celkem $0,6\:\jedn{V}$. Nepotřebuji ale velké výkony, tak stačí signálové diody. Použil jsem pouzdro se dvěmi diodami BAS40-04 v SMD provedení. V závěrném směru vydrží $40\:\jedn{V}$. Kvůli upozornění na pokles napětí během provozu (vybíjení) je usměrněné napětí dále posíláno přes odporový dělič na port AD převodníku řídícího mikrokontroleru ovladače. 

Ovládání tedy bude řízeno opět mikrokontrolerem. Proto je vhodnější mezi integrovaný obvod a baterie vložit stabilizátor napětí. Ten mi umožní připojit dle typu i napětí, které by mikrokontroler nevydržel. Je nutné mu zabránit v rozkmitání keramickými kondenzátory na vstupu i výstupu. Elektrolytické mu zase pomohou překlenout dobu, kdy se rázově zvýší odběr (sepne motor) a zabrání tak výpadku mikrokontroleru. Zvolil jsem typ LP2950A, který stabilizuje napětí na $5\:\jedn{V}$. Je nízkoúbytkový, to znamená, že na vlastní provoz potřebuje ze vstupního napětí nejvíve $380\:\jedn{mV}$ (běžně $100\:\jedn{mV}$). Tím opět přispěji ke snížení minimálního vstupního napětí. Naopak maximální napětí snese $30\:\jedn{V}$.

Touto konfigurací jsem docílil následujících vlastností:

\begin{itemize}
\item[+]Minimální napětí musí být $6\:\jedn{V}$
\item[+]Maximální stejnosměrné napětí $30\:\jedn{V}$ (lze tak napájet i z $24\:\jedn{V}$ autobaterie)
\item[+]Možnost zapojení libovolnou polaritou
\end{itemize}
 	
\section{Výroba desky plošných spojů}\indent

Jelikož celé zařízení má být co nejmenší a nejlehčí, zvolil jsem technologii SMT (surface mount technology). Změna ve hmotnosti není tak výrazná, ale deska se součástkami se výrazně zmenší a bude daleko skladnější.

Pro součástky SMD (surface mount device) je důležitá přesnost výroby plošného spoje, protože nepřesnosti nelze doladit přívodními drátky. Pro ještě větší zmenšení jsem zvolil oboustrannou desku kuprextitu. Tím vznikne nutnost použít propojek (prokovené díry v domácích podmínkách nahrazuji kouskem drátku), ovšem zisk v podobě miniaturizace je značný. Za pomocí nažehlovací fólie od firmy GES lze přesně vyrobit plošný spoj i provést sesazení obou jeho stran bez drahých průmyslových řešení.

Elektronika bude během používání vystavena povětrnostním vlivům, proti znehodnocování měděných cest jsem natřel desku roztokem kalafuny rozpuštěné v acetonu. Jednak ochrání vodivé cesty, ale také (protože se stále jedná o prototyp) zachová pájitelnost spojů.
 
\chapter{Realizace softwaru}\indent

V obou částech jsem použil mikrokontrolery firmy Atmel, AtMega8. Jsou snadno programovatelné, mají velkou uživatelskou podporu a lze je koupit kusově za rozumnou cenu bez dlouhých dodacích lhůt.

Veškerý firmware (regulátor i ovladač) je proveden v jazyce C. Oproti programování v Assembleru je vývoj rychlý a výsledný program přehledný i pro člověka znalého jiného programovacího jazyka.

\section{Návrh soustavy}\indent

Celou sestavu, tak jak jsem ji po částech popsal v předchozí kapitole propojím dle následujícího schématu. Z ovladače do motoru jsou vedeny čtyři vodiče - dva silové napájecí a dva datové sběrnice USART (The Universal Synchronous and Asynchronous serial Receiver and Transmitter), tedy jeden na příjem a druhý na vysílání dat.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{obrazky/16_kompletni_prehled.eps}
\caption{Schéma celé sestavy (motor, ovladač se třemi tlačítky a třemi stavovými diodami, baterie).}
\end{center}
\end{figure} 

\section{Regulátor}\indent

Mikrokontroler v motoru je určen pouze k jeho provozu, tj. regulace nebo spínání opačného chodu bez regulace. Je připojen na externí krystal o frekvenci $8\:\jedn{MHz}$. Vystačil bych si i s interním RC oscilátorem, ten je ale nepřesný a zanášel do asynchronní komunikace jistý díl náhodnosti.

Jako ukázku programu jsem vybral první regulační smyčku kaskádního regulátoru. Snímá údaje z enkodéru a porovnává je s vypočtenou polohou z dřívější části programu. Ta počítá uběhnutý čas a dle něj si bere z tabulky patřičné hodnoty.

\begin{tabular}{|p{15cm}|}
\hline
\begin{verbatim}
// regulacni odchylka
   odchylka_R1 = chtena_poloha - skut_poloha;
  
   // kontrola proti preteceni
   dev_suma_R1 += odchylka_R1;
   if (dev_suma_R1 <= -30000)
     dev_suma_R1 = -30000;
   else if (dev_suma_R1 >= 30000)
     dev_suma_R1 = 30000;

   // vypocet akcniho zasahu
   chtene_otacky = (REG_P_R1 * odchylka_R1) +
   (((REG_P_R1/REG_S_R1) * REGL_PER) * dev_suma_R1);

   // znormujeme na 8 bit 
   if (chtene_otacky > 255)
     chtene_otacky = 255;
   else if (chtene_otacky < 0)
     chtene_otacky = 0;
\end{verbatim}
\\
\hline
\end{tabular}

Ve smyčce probíhá dříve zmiňovaná PI regulace. Integrátor představuje proměnná $dev\_suma\_R1$, do které integruji regulační odchylku z druhého řádku. Samotná regulace by byla záležitostí pár řádků, jenže musím zahrnout i ochrany proti přetečení proměnných, abych předešel nepříjemnostem. Na konci je  saturace na osmi bitové číslo. Akční veličina této regulační smyčky vstupuje do regulace rychlostní. Mohl bych tedy pracovat i s šestnáctibitovým datovým typem, v zájmu zachování konzistence programu jsem hodnoty mezi regulátory předával jako osmibitové, protože výsledný akční zásah třetího regulátoru již osm bitů mít musí. Přímo ovládá registr určující střídu pulzně šířkové modulace, která nastavuje napětí (resp. otáčky) motoru.

Mikrokontrolery od firmy Atmel nemají modul pro zpracování kvadraturního signálu z enkodéru. Oproti tomu procesory DSP od firmy Freescale jsou tímto modulem vybaveny, signál stačí přivést na patřičné piny a procesor se již o vše postará, bohužel však nejsou u nás běžně k dostání. Musím tedy toto zpracování doprogramovat. 

Pro výpočet rychlosti (diskrétní derivaci) se signál z enkodéru zpracovává tak, že se počítá počet přišlých pulzů kladných nebo záporných, dle směru signálu) za jednotku času. Standardně je to čas krátký, aby byla zajištěna plynulost a rychlost regulace. V mém případě by za takto krátký čas ve většině případů nedošel impulz vůbec nebo by byl pouze jeden. Takže jsem zvolil postup opačný - vnitřní čítač jsem nastavil na nejkratší možnou periodu a měřil jím čas mezi dvěma příchozími pulzy. Pak vynásobením počtem pulzů na otáčku získám čas nutný na jednu otáčku - tedy převrácenou hodnotu rychlosti.

\section{Ovládání}\indent

Ovladač slouží především jako uživatelské rozhraní mezi astronomem a motorem. Podle toho, které tlačítko v jakém okamžiku stiskne, tak to mikrokontroler vyhodnotí a pošle patřičný příkaz do motoru, co se má dít. Jako potvrzení vyšle motor zpět patřičnou odezvu a případně rozsvítí stavovou diodu.

Zdánlivě bezvýznamným ovládacím prvkem se může zdát tlačítko na regulaci jasu led diod. Jak jsem popsal dříve - oko se skládá ze světlocitlivých buněk dvojího typu, tyčinek a čípků. Zatímco čípky rozeznají barvy, tyčinky jen jas, zato jsou dostatečně citlivé, abychom trochu viděli i za bezměsíčné noci. Jakýmkoliv slabým a trochu silnějším červeným světlem jsou tyčinky oslněny a je potřeba čekat několik desítek minut na jejich regeneraci, proto si astronomové při pozorování svítí pouze tlumeným a výhradně červeným světlem. 

Z toho důvodu je nutné umožnit uživateli regulaci jasu led diod. Noci během roku jsou různě jasné, je-li měsíc již blízko úplňku nemusí být červené světlo téměř vidět, přičemž ten stejný jas, muže být za bezměsíčné noci příliš velký. Zvolil jsem tedy čtyři různé stupně intenzity svícení, přičemž jeden z nich je \uv{vypnuto}. Zbylé tři stavy lze bez potíží upravit změnou firmware ovladače, protože jsou řízeny střídou pulzně šířkové modulace.

Tlačítka nejsou na danou funkci (mimo hlavní spínač) hardwarově vázány, takže uživateli může být funkčnost upravena dle přání. Spojení přívodního kabelu k ovladači je realizováno telefonním konektorem RJ11, který má pojistku proti vytržení a zároveň ho lze snadno vyměnit za delší (resp. kratší), tak aby nikde nechyběl nebo naopak nepřekážel.
 
\chapter{Měření dosažené přesnosti pohonu}\indent

Protože pohon je hotov a je plně funkční, je třeba vyzkoušet, zda je otáčení hřídele motoru takové, jaké opravdu požadujeme. Nejjednodušší řešení je, namontovat motor přímo na mechanickou část a počkat na noční jasnou oblohu někde daleko za městem. Ovšem je třeba ještě doladit parametry regulátorů a to by byla zdlouhavá práce s nejistým výsledkem. Nedalo by se také rozhodnout, zda pozorované odchylky na snímcích jsou vinou pohonu, konstrukce či jejich poměrem. K takovému měření ještě určitě dojde, ale bude spíše jen pomyslným vyvrcholením naší spolupráce.

Veškeré odchylky, které budu v této kapitole uvažovat se týkají pohybu v rektascenzi\footnote{Rektascenzi si lze představit jako soustředné kruhy na obloze, přičemž ve středu je nebeský pól.}, protože paralaktická montáž se pohybuje pouze v tomto směru.

\section{Popis měření}\indent

Motor se bude pohybovat prakticky konstantní rychlostí. Změny jsou v porovnání s časem, za který k nim má dojít naprosto zanedbatelné - tedy jen z hlediska dynamiky pohonu. Nastavil jsem tedy programu pro výpočet polohy, aby se snažil udržovat konstantní rychlost jednu otáčku za minutu. Na výstupní hřídelku motoru jsem připojil průmyslový enkoder, který je schopen na jednu otáčku na dvou kanálech poskytnout 12 000 pulzů. K tomu na třetím kanále synchronizační pulz (jeden na otáčku). Všechny jeho tři kanály jsem připojil na nezávislý mikrokontroler AtMega8, který pomocí sběrnice USART posílal do počítače v přesně definovaný okamžik údaj, kolik pulzů dorazilo. Na zpracování a vizualizaci těchto dat jsem použil vývojové prostředí Matlab.
  
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=13cm]{obrazky/17_encode_data_view.eps}
\caption{Aplikace vytvořená pomocí Matlab GUI.}
\end{center}
\end{figure} 

Jelikož jsem potřeboval odladit kaskádní regulátor (tzn. šest konstant), bylo mi jasné, že toto měření budu provádět mnohokrát. Abych nemusel stále ručně přes příkazovou řádku nebo nepohodlně přes skripty otevírat, zavírat sériový port, zobrazovat, ukládat data, atd., vytvořil jsem pomocí nástroje Matlab Graphic User Interface jednoduché uživatelské rozhraní, které otevře port, načte patřičný soubor dat ze sériového portu (tzn. data mezi dvěma synchronizačními pulzy - jednu otáčku) a spočte výsledky, které zobrazí v grafu a důležité číselné údaje v tabulce. Zároveň na jeden klik tlačítka umožní uložit měřená data pro případ dalšího zpracování. 
	
Také je třeba říct, že tato aplikace neovládá motor. Ten se točí neustále a stiskem tlačítka načtu aktuální data, takže nejde vždy o stejná data vzhledem k času běhu motoru, proto nelze přechodový okamžik po startu v grafech hledat.

Vypůjčený enkoder měl speciální provedení \uv{snížené tření}, ale bohužel v jednom místě výrazně zadrhával, takže hlavní křivka odchylky měla vždy podobný tvar. Pro regulátor motoru jsou to ztížené podmínky, ale alespoň lze tak modelovat reálné nasazení v mechanismu, který má závadu na pohybovém šroubu.

\section{Zhodnocení měření}\indent

Na grafu v předchozí podkapitole lze vidět, že odchylka způsobná zaseknutím enkodéru, než ji regulátor dorovnal je špičkově (max. diference) asi šest stupňů, průměrně pak asi dva stupně. Připomínám, že se jedná o odchylku hřídelky motoru ($\Delta x_{H}$). Při stoupání závitové tyče p = 0,5 lze spočíst odchylku na ní ($\Delta x_{P}$) jako:
\begin{equation}
\Delta x_{P}=\frac{\Delta x_{H}}{360°}\cdot p=\frac{6°}{360°}\cdot 0,5\:mm=8,3\:\jedn{\mu m}
\end{equation}

Pro další srovnání promítneme tuto hodnotu do úhlu hlavních ramen (konstrukce je navržena tak, že ramena jsou stejné délky d = 230mm):
\begin{equation}
\delta=2\cdot arcsin\frac{\Delta x_{P}}{2\cdot d}=2\cdot arcsin\frac{0,0083\:\jedn{mm}}{2\cdot 230\:\:\jedn{mm}}=7,44\:\jedn{"}
\end{equation}

Zkusme tuto hodnotu přepočíst, o kolik pixelů jinam se dostane fotografovaná hvězda. Přijměme zjednodušující předpoklady, že se jedná o hvězdu na souřadnici 0° deklinace, přičemž směr pohybu hvězdy po obloze je po delší straně čipu. Výsledné srovnání, o kterém se zmiňuji na začátku této kapitoly bude prováděno pomocí digitálního přístroje Canon EOS 400D, který má šířku čipu $d = 22,2\:\jedn{mm}$ (počet pixelů na tuto stranu je $d_{P} = 3888\:\jedn{px}$). Můžeme tedy spočíst šířku jedné buňky (neuvažujeme Bayerovu masku, protože program na zpracování astronomických fotek IRIS pracuje s každým pixelem zvlášť):
\begin{equation}
d_{px}=\frac{d}{d_P}=\frac{22,2\:mm}{3888\:px}=5,7099\:\jedn{\mu m}
\end{equation}

Ještě jsem neuvedl jeden, možná nejdůležitější parametr - jakým objektivem budeme pořizovat snímky. Montáž má být dimenzována na objektivy do ohniskové vzdálenosti $f_{MAX}=200\:\jedn{mm}$ , budu tedy ve výpočtech počítat s touto hodnotou. Zároveň však celý výpočet provedu několikrát pro několik nejčastěji používaných ohniskových vzdáleností. Spočtěme si tedy zorný úhel jednoho pixelu:

\begin{equation}
\delta_{PX}=2\cdot arctg\frac{d_{PIX}}{2\cdot f_{MAX}}=2\cdot arctg\frac{5,7099\:\:\jedn{\mu m}}{2\cdot200\:mm}=5,89\:\jedn{"}
\end{equation}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=15cm]{obrazky/18_zorne_uhly.eps}
\caption{Závislost zorného úhlu pixelu na ohniskové vzdálenosti objektivu.}
\end{center}
\end{figure} 

Odchylka motoru je v grafu úmyslně dvojnásobná, protože k ní docházelo symetricky na obě strany (zpožďování i předbíhání pohybu). Dle průsečíku dvou křivek v grafu lze usuzovat, že dostatečná přesnost bude pouze u objektivů s ohniskovými vzdálenostmi 70mm a nižšími. Tato úvaha ovšem naráží na mnoho dalších zádrhelů, které v průběhu fotografování nastávají. Zejména optická kvalita objektivu spolu s low-pass filtrem před čipem fotoaparátu způsobí, že tato soustava není fyzicky schopná zachytit bodový zdroj pomocí jednoho pixelu. S tím souvisí i nutnost přesně zaostřit. V tak špatných světelných podmínkách automatické zaostřování nefunguje spolehlivě, je tedy nutné zaostřovat ručně \uv{iterační metodou} (spočívá v hrubém zaostření, vyfotografování snímku, kontrolu zaostření, přeostření, vyfotografování,atd. než je obraz přijatelně ostrý). Další důležitý prvek je přesné ustavení montáže na severní nebeský pól. K tomu slouží polární hledáček umístěný na montáži. Nepřesné nastavení se může projevit pohybem v deklinaci\footnote{ Deklinace je úhlová vzdálenost od roviny rovníku.}. V případě, že bych použil kvalitní objektiv s profesionální CCD kamerou, mohl by mi výsledek ještě rozostřit špatný seeing (mihotání či rozostření hvězd v důsledku atmosférických turbulencí), pak už ale nezbývá než fotografování přesunout na jinou dobu, kdy bude pohyb vzduchových mas v atmosféře menší. 

V obrázku je zároveň pro srovnání i průměrná odchylka motoru, která má průsečík s křivkou až za ohniskovou vzdáleností 250mm. Úhlová míra na noční obloze je pro člověka špatně uchopitelný nástroj, běžně se pro srovnávání používá natažená paže s rukou zatnutou v pěst, jejíž nejdelší rozměr je asi 10°. Nyní ale pracujeme s úhlovými vteřinami, tak jsem použil pro lepší představu srovnání s notoricky známým objektem na večerní a ranní obloze -- s Venuší. Na obloze má zdánlivý úhlový průměr přibližně třicet vteřin.

V provozu by mohl nastat ještě horší případ, kdy bude odchylka v součtu s nepřesností aproximace z kapitoly 4.2 (hlavně ke konci závitové tyče). Největší odchylka, ke které by tedy mohlo dojít bude odpovídat přechodu maximálně přes dva pixely, což se na výsledném snímku vzhledem ke všem vyjmenovaným problémům) neprojeví. Tím spíše také proto, že tato odchylka rychle odezní, takže do buňky čipu se nestačí nashromáždit dostatečné množství fotonů, aby výsledek ovlivnila. Dosažená přesnost motoru je tedy výborná.

