DOBROVOLNÁ, A. Michailovovo kritérium stability pro vybrané spojité a diskrétní LTI systémy [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. 2025.

Posudek vedoucího

Nechvátal, Luděk

Práce se věnuje Michailovovu kritériu stability, které je geometrické povahy a patří méně známá či pozapomenutá. Umožňuje odhalit stabilitu autonomních lineárních rovnic (resp. soustav rovnic) na základě chování hodografu jisté komplexní funkce reálné proměnné, která je vytvořena pomocí charakteristického polynomu vyšetřované úlohy. Cíle práce byly splněny, ale téma šlo určitě uchopit lépe. Zatímco k praktickým ukázkám demonstrujícím to, jak kritérium funguje, příliš výhrady nemám, teoretická část vykazuje vícero nedostatků. Jsou to především tyto body: 1. Studovaná problematika mohla být představena rigorózněji. Když je řeč o stabilitě lineárních autonomních rovnic, očekával bych, že se nejprve řekne, v jakém smyslu tuto stabilitu chápeme a jaká je vlastně vazba na lokalizaci kořenů příslušných charakteristických polynomů (resp. pseudopolynomů). V tomto směru nepomáhají zmatky v terminologii. Některé poznatky z funkce komplexní proměnné by také nebylo na škodu připomenout. 2. Klíčový nástroj, celková změna argumentu funkce p (vztah (2.5)) není zaveden úplně správně. V případě modifikací kritéria v následujících kapitolách je pak buď popsána slovně, nebo vůbec (ve větě 4.4 se pak problém opakuje). Vadí mně také nejednotná indexace funkce úhlu "fí", což je místy matoucí, neboť není zřejmé, zda se o jedná o úhel příslušný dílčímu faktoru nebo o celkový úhel. Řekl bych také, že práce s orientovanými úhly je spíše kontraproduktivní (názornější je úhel chápat jako neorientovaný, pak se tak snadno nespleteme ve znaménku ve vyjádření změny úhlu "fí"). 3. Ignoruje se fakt, že když kořeny charakteristického polynomu leží na hranici oblasti stability, dochází (pro nějakou hodnotu "w") k tomu, že sledovaný vektor je nulový, a tudíž pro něj není definovaný úhel. V takovém případě bychom měli použít limitní přechod. 4. Příklad s pseudopolynomem (4.9) je pro ilustraci nestability trochu nešťastný, protože stejný pseudopolynom dostaneme i pro alpha=1/2, který odpovídá stabilnímu celočíselnému polynomu (příklad tedy spíše naznačuje, že teorie má ve zlomkovém případě bílá místa). Na druhou stranu, studentka pracovala samostatně a téma není (i když by se tak na první pohled mohlo zdát) triviální. Chápu tedy, že (bez řádných konzultací) se nepodařilo vychytat všechna problematická místa. Jako plus beru také vyjadřovací schopnosti (práce je po stylistické stránce napsána hezky).

Posudek oponenta

Šremr, Jiří

Téma práce je velmi zajímavé, ukazuje jedno z málo známých kriterií asymptotické stability spojitých a diskrétních soustav, které je geometrické povahy. O asymptotické stablitě lze rozhodnout na základě chování tzv. Michailovy křivky. Práce je vhodně členěna, v každé kapitole je probrán jeden typ systému a formulováno Michaiolovo kritérium. Bohužel obsahuje spoustu nepřesnosti a nekorektních formulací. Největším problémem podle mého názoru je, že samotný pojem celkové změny argumentu, který je klíčovým pojmem celé práce, není dostatečně vysvětlen. Ilustrativní obrázky prezentované v každé části naštěstí víceméně smysl tohoto pojmu naznačují. K práci mám zejména následující připomínky: * Pojmy stability a asymptotické stability soustav nejsou v práci přesně definovány, pouze na intuitivní úrovni. Navíc se v něktyerých částech mluví o systému na mezi stability, přičemž není zřejmé, co tím autorka rozumí. * V některých kapitolách není vůbec uvedena soustava diferenciálních rovnic, které se uvedený případ týká, je uveden pouze charakterický polynom, na jehož studium se otázka stability systému převádí. * Pod jednotlivými variantami Michailova kritéria jsou poznámky o geometrické interpretaci, avšak není zcela zřejmé, odkud tato fakta vyplývají. Zda je možné je dokázat, nebo vyplývají z průběhu Michailovy křivky vykreslené pro jednotlivé ilustrativní příklady. * Komentáře v jednotlivých příkladech jsou z logického hlediska zvláštně uspořádané, uvedené závěry jsou zejména v kapitole 4.3 dosti vágní. Přitom právě demonstrace kritéria na vhodných systémech a ověření teoretických závěrů bylo hlavním cílem praktické části. ZÁVĚR: Hlavní cíle práce byly splněny, práci rozhodně doporučuji k obhajobě. Podle mého názoru se jedná o netriviální téma. Vzhledem k výše uvedeným připomínkám nemohu bohužel práci hodnotit lépe než D.

eVSKP id 162381