ZLÁMAL, O. Diferenciální rovnice se zpožděným argumentem a jejich užití v inženýrských procesech [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. 2023.
Téma předložené diplomové práce jsou diferenciální rovnice se zpožděným argumentem a jejich využití v inženýrských procesech. Text je rozčleněn do pěti kapitol, v nichž autor nejprve zavádí matematický aparát týkající se dané problematiky a poté zkoumá dva konkrétní matematické modely. Student splnil požadavky a cíle diplomové práce v plném rozsahu. Text je velmi dobře čitelný, logicky uspořádaný a přehledný. Vyskytuje se v něm několik překlepů, ty ale nepřesahují míru obvyklou pro práci takového rozsahu. Autor nastudoval problematiku (v anglicky psané literatuře), která je relativně nová a přesahuje látku základních kurzů matematického inženýrství. Konkrétně stabilitu diferenciálních rovnic se zpožděním a jejich analýzu pomocí Hopfovy bifurkace. Student projevil velkou schopnost samostatné práce a byl aktivní při řešení uvažovaných problémů. V prvních třech teoreticky zaměřených kapitolách čerpal z uvedené literatury (zejména z knihy H. Smith, An Introduction to Delay Differential Equations with Applications to the Life Sciences). Přičemž tato část, by po určitém doplnění, mohla sloužit jako učební text pro výběrové kurzy zabývající se problematiku diferenciálních rovnic se zpožděním. V dalších dvou kapitolách aplikuje získané poznatky na modelech vibrace obráběcích strojů a zpětné vazbu u laseru. V diplomové práci bych dále ocenil, že obsahuje velké množství ilustrativních příkladů a obrázků, které jednak přispívají k porozumění dané problematiky a také potvrzují teoretické úvahy. Při numerických výpočtech a simulacích student zvládnul netriviální práci s matematickým softwarem Matlab. Musel používat ne úplně standardní numerické řešiče (vhodné pro obyčejné diferenciální rovnice), které znal ze svého studia, ale potřeboval se zde naučit pracovat i s numerickými řešiči zpožděných diferenciálních rovnic. Diplomovou práci doporučuji k obhajobě a hodnotím ji známkou B.
| Kritérium | Známka | Body | Slovní hodnocení |
|---|---|---|---|
| Splnění požadavků a cílů zadání | B | ||
| Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod | B | ||
| Vlastní přínos a originalita | C | ||
| Schopnost interpretovat dosažené výsledky a vyvozovat z nich závěry | A | ||
| Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii | B | ||
| Logické uspořádání práce a formální náležitosti | A | ||
| Grafická, stylistická úprava a pravopis | B | ||
| Práce s literaturou včetně citací | B | ||
| Samostatnost studenta při zpracování tématu | A |
Ústředním objektem uvažovaným v diplomové práci je diferenciální rovnice se zpožděním. Nejprve jsou uvedeny vybrané základní informace z kvalitativní teorie tohoto typu rovnic. Na ně je navázáno hlubším pohledem do příslušné teorie stability, kde důležitou roli hraje Hopfova bifurkace. U několika tvrzení jsou uvedeny či naznačeny důkazy. Přítomny jsou též různé ilustrativní příklady. Poslední část práce je věnována popisu konkrétních aplikací; konkrétně jde o analýzu vibrací obráběcích nástrojů a vlivu zpětné vazby u laseru. Kvalitativní úvahy nejen v této části jsou doplněny resp. podpořeny numerickými simulacemi a množstvím obrázků. Text je členěn velmi logicky a je přehledný. Líbí se mi snaha o důkladný popis některých partií z analýzy stability, ať už jde o úvahy obecné, či vázající se k vyšetřování konkrétních úloh. Dále též oceňuji netriviální a přínosné zpracování numerických simulací. Na druhé straně práce obsahuje drobné překlepy ale též řadu nepřesných či nejasných fromulací. Např. Definice 1.1 říká, že systém se nazývá semidynamický, jestliže jsou splněny podmínky (1.1), (1.2); pomocí těchto podmínek se však o něco dřive zavádí systém dynamický. Nejsem si jist, zda způsob klasifikace z Definice 1.2 je rozumný. Totiž např. rovnice pokročilého (mimochodem tento výraz bych nahradil slovem "dopředného") typu pak nebude rozřešena vzhledem k nejvyšší derivaci. Občas nejde poznat, zda autor uvažuje skalární rovnici či systém. Chybí definice řešení uvažovaných rovnic. Co se má na mysli spojitým resp. diskrétním zpožděním? Výraz na pravé straně nerovnosti v definici exponenciální stability je nesprávný. Operátor bych nenazýval funkcí. \pi místo \phi na str. 21. Chybí "d" v systému v příkladu 2.7. Nebylo by přesnější pracovat spíš s pojmem holomorfní než analytické funkce? V důkazu Věty 2.11 by jedna z rovností měla být nahrazena rovností. Co znamená, že "systém musí být pozorovaný v komplexní rovině ...?" (str. 27). Neměla by Věta 2.16 hovořit spíš o exponencionální stabilitě? Na str. 28 se chce uvažovat systém (2.11) ve tvaru s funkcí F který je však obecnější!. Na str. 31 jsou užívany nedefinované pojmy (chaotické chování, atraktor). Nahoře na str. 34 se mluví o křivce skládající se z polokruhu! Sekce 4.1: jak můžeme uvažovat hranu ortogonální k povrchu vrámci jednodimenzionálního! systému? Na str. 40 se používá \theta a \tau k označení téhož? Sekce 5.1: Co je inverzní populace? Str. 45: Co jsou limitní body? Cíle práce byly naplněny. Uvedené nedostatky nejsou závažné. Autor (z různorodých zdrojů) nastudoval a s nezanedbatelným vlastním přínosem zpracoval téma, které netriviálně přesahuje učivo základních kurzů. Diplomovou práci proto doporučuji k obhajobě a hodnotím stupněm C.
| Kritérium | Známka | Body | Slovní hodnocení |
|---|---|---|---|
| Splnění požadavků a cílů zadání | C | ||
| Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod | B | ||
| Vlastní přínos a originalita | C | ||
| Schopnost interpretovat dosaž. výsledky a vyvozovat z nich závěry | C | ||
| Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii | B | ||
| Logické uspořádání práce a formální náležitosti | B | ||
| Grafická, stylistická úprava a pravopis | B | ||
| Práce s literaturou včetně citací | C |
eVSKP id 149415