PIVOVARNÍK, M. Matematické principy robotiky [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. 2012.

Posudek vedoucího

Hrdina, Jaroslav

Motivací pro sepsání této práce bylo vytvoření uceleného matematicky korektního textu, který by shrnoval základní přístupy pro práci s konfiguracemi mechanických (kinematických) systémů -- robotických paží a vytvořil účinné prostředky pro práci s těmito systémy. Základem je porovnání přístupu kdy jsou shodnosti Eukliedovského prostoru realizovány jako reprezentace grupy polopřímého součinu speciální ortogonální a translační grupy a přístupu kdy jsou shodnosti realizovány reprezentací grupy jednotkových duálních kvaternionů. Exponenciální vyjádření matic pak umožňuje pracovat místo s vlastními prvky příslušné grupy s jejich generátory jako s prvky příslušné Lieovy algebry. Například v případě rotací se jedná o antisymetrické matice. Tento prostor se v klasické teorii označuje jako prostor šroubů a jeho výhodnost se ukazuje hlavně při obecném řešen inverzní kinematiky jak je v práci na zvoleném příkladě demonstrováno. Posledním krokem je pak formulování a výpočet inverzního kinematického problému metodou nalezení Grobnerovy báze ideálu generovaného rovnicemi dopředné kinematiky. Hlavním kladem práce je, že problém dopředné i inverzní kinematiky robotické paže je kompletně vyřešen a to od vybudování příslušné matematické teorie, včetně důkazů, které musely být často přeformulovány do jazyka matematické robotiky až k algoritmizaci a implementaci ve zvoleném výpočetním prostředí. Dále uvádím některé drobné nedostatky: str. 19 - pro pochopení komutativního diagramu je potřeba definovat bázi jako zobrazení str. 20 - v definici 1.8 není jasné jestli příslušná transformační matice musí existovat, nebo jestli tvrzení musí platit pro všechny str. 22 - tvrzení "podobná matice pro matici ortogonální je diagonální" je matoucí, protože podobnost je zavedena jako relace, navíc tvrzení nad reálnými čísly neplatí a nad komplexními je triviální str. 27 - v odrážce 2 nahoře chybí přívlastek "bázové" str. 36 - v důkazu věty 2.1. jsou na začátku přehozené operace "+" a "." str. 41. - v definici 2.10. chybí předpoklad, že q je kvaternion str. 43. - v důkazu věty 2.6.chybí důkaz, že příslušný kvaternion je jednotkový str. 48. - ve větě 3.2. je zbytečný předpoklad, matice exp(A) je vždy regulární

Posudek oponenta

Kureš, Miroslav

Cílem práce bylo osvojit si mat. metody využívané v robotice. Teor. část práce je v podstatě kompilační; je třeba ocenit doplnění teorie vlastními příklady. Řešení inverzní kinem. robota prokazuje, že autor problematice rozumí, za cennou část práce pak považuji implement. algor. v prostředí Mathematica. Jazyk práce není dobrý. Lze ocenit, že se autor snažil napsat práci v angl.., ale měl si dát práci s kontrolou: zejména jsou ignorov. pravidla užívání urč. a neurč. členů (nejčastěji nejsou čl. užívány vůbec) a slovosled. Graf. úprava je vyhovující, snad jen tato připomínka: defin. by neměly být sázeny stylem theorem, tedy bez zvýrazn. def. pojmu (to např. způsobuje, že Def. 1.8 vypadá jako věta). 1. kap. je přípravná: shrnuje pojmy z teorie lin. transformací, vlastnosti ortog. transformací a připomíná def. kvaternionů. Tím představuje východisko pro popis kinematiky rotačních pohybů. V kap. není dodržováno jednotné značení. Báze je množ. (složené záv., např. Def. 1.3), jinde (např. Př. 1.2) špičaté záv. (užívají se v jiném smyslu). Vekt. prostor značen někde $V$, jinde $\mathbb V$. Někdy značení nevysvětleno, čtenář se musí domýšlet ($\mathbb F_n[x]$ obvykle představuje okruh polynomů nad konečným polem o $n$ prvcích, zde třeba vydedukovat, že jde o polyn. nad $\mathbb F$ až do stupně $n$, tedy nikoliv okruh). V příkladu 1.1(ii) nekorektně užito $x$ jako neurčitá i jako horní mez. V Př. 1.2 a v diagramu před ním jsou použity báze $\mathcal V$, $\mathcal W$, což jsou ale množiny, nikoliv zobrazení. Některé chyby jsou závažnější, např. formulace v Důk. V. 1.3 "It is clear that linear transformation preserves distances and angles if and only if preserves dot product, because angle of two vectors and vector length are defined by dot product" je zcela nekorektní. V Def. 1.4 autor formulací "It will be denoted" patrně myslí vektor koef., v definici 1.11 by se místo strohého $P=id$ mělo upřesnit, v jaké bázi je $P$ jednotkovou maticí, na str. 30 je lépe napsat, že $(\mathbb H,+,\cdot)$ je nekomut. polem a ne "structure similar to field". U vstupní kapitoly obsahující v zásadě klasickou tématiku chyby zcela zbytečně práci poškozují, i když nejsou příliš závažné. V 2. kap. autor zavádí spec. euklid. grupu, duální kvaterniony a pomocí tohoto aparátu obohacuje kinematiku o translační pohyby. Je třeba ale podotknout, že v teoretických partiích autor nepřekonává přehledněji napsanou práci Jitky Proškové [17]. V Def. 2.1 je matoucí vsuvka "denoted $g(x)\mapsto g\cdot x$": správně $G\times X \ni (g,x)\mapsto g\cdot x \in X$. Opět se mění označení pro vekt. pr., dokonce v rámci jedné def. (Def. 2.3). V Pozn. 2.1 se hovoří o souřadnicích duálního čísla $a$, $b$, ale jde o $a$, $a_\varepsilon$. V Pozn. 2.4 má být správně $z^*=a-\varepsilon a_\varepsilon$. Na str. 44 je poznamenáno, že jednotkové duální kvaterniony dvojitě nakrývají grupu $SE(3)$. V rámci obhajoby by mohl autor tuto skutečnost vysvětlit a dát do souvislosti s klas. výsledkem o dvojitém nakrytí grupy $SO(3)$ jednotkovými kvaterniony. 3. kap. se týká inverzní kinematiky. Je zavedeno exponenciální zobrazení, Gröbnerovy báze a demonstrováno užití jak exponenciální zobrazení, tak i Gröbn. bází pro inverzní kinematiku robota. Příklady 3.1, 3.2 a 3.3 v této kapitole jsou dostatečně ilustrativní a mají svou didaktickou hodnotu. Autor prokázal schopnost napsat funkční notebook v prostředí Mathematica. Oceňuji, že si dal práci i s grafickým výstupem a efektivně využíval příkaz Manipulate. Doporučuji práci uznat za diplomovou.

eVSKP id 47422