BÉREŠ, L. Matematické modelování pomocí diferenciálních rovnic [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. 2017.

Posudek vedoucího

Opluštil, Zdeněk

Tématem diplomové práce bylo matematické modelování pomocí diferenciálních rovnic. Text je rozčleněn do pěti kapitol, které mají logickou návaznost. V úvodních kapitolách jsou zavedeny základní pojmy, které jsou dále používány. Stěžejní část diplomové práce je ve druhé, třetí a čtvrté kapitole. Tam se autor postupně zabývá stabilitou nelineárního systému diferenciálních rovnic, základními vlastnostmi zpožděných diferenciálních rovnic a oscilatoričností konkrétní lineární diferenciální rovnicí druhého řádu se zpožděním. Přičemž teoretické poznatky aplikuje na modelech matematického kyvadla a portálového jeřábu. Diplomant splnil zadání a vytyčené cíle v plném rozsahu. Nastudoval problematiku, zejména v cizojazyčné literatuře, která je relativně nová a dalece přesahuje kurzy inženýrského studia. Projevil velkou schopnost samostatné práce a schopnost interpretovat teoretické výsledky pro konkrétní modely. Dále bych ocenil dostatečné množství ilustrativních grafů, které značně přispívají ke srozumitelnému popisu jednotlivých situací (i když jejich provedení mohlo být lepší a přesnější). Jeden z největších přínosů vidím v poslední kapitole, kde je dokázáno nové oscilatorické kritérium pro uvažovanou diferenciální rovnici se zpožděním. Při vhodném doplnění je možné tuto část diplomové práce publikovat ve vědeckém časopise. Celkový dojem z diplomové práce trochu kazí nepřesnosti a překlepy např. v matematických formulacích resp. při výpočtech. Ty měly být např. v příkladech 3.1 resp. 3.2 provedeny pečlivěji, pak by se autor vyhnul zbytečným chybám. Dále v kapitole 2 chybí větší provázanost mezi teorií a charakterizací stacionárních řešení, odvození mohlo být podrobnější s odkazem na teoretická tvrzení. Přes uvedené nedostatky klady a přínos u této práce jednoznačně převažují. Doporučuji ji tedy k obhajobě a hodnotím ji známkou C

Posudek oponenta

Šremr, Jiří

Práce se zabývá některými otázkami spadajícími do kvalitativní teorie diferenciálních rovnic, jejichž společným jmenovatelem je použití diferenciálních rovnic při matematickém modelování reálných procesů. V kapitole 2 jsou ukázány možnosti využití výsledků teorie dynamických systémů při analýze nelineárních diferenciálních rovnic. Kapitola 3 se věnuje diferenciálním rovnicím s konstantním zpožděním a ukazuje možnosti jejich použití při modelování pohybu portálového jeřábu. Kapitola 4 je věnována otázce oscilatoričnosti řešení dvoučlenné diferenciální rovnice se zpožděnými argumenty. V práci jsou detailně odvozeny rovnice křivek tvořících fázový portrét rovnice kyvadla. Fázový portrét je vykreslený a je diskutována otázka jak se změní fázový portrét při aproximaci nelinearity pomocí Taylorova polynomu různých stupňů. Trochu mi chybí odvození rovnic křivek fázových portrétů aproximací. Také zde není zcela zřejmé propojení s teoretickou částí obsaženou v kapitole 2.1. Očekával bych, že pro rovnici kyvadla i její aproximace budou nalezena vlastní čísla příslušných Jacobiho matic a pomocí vyloženého teoretického aparátu bude rozhodnuto o typu a stabilitě singulárních bodů. Student dobře nastudoval netriviální teorii řešení diferenciálních rovnic s konstantním zpožděním užitím tzv. charakteristické rovnice, která je užitečná zejména při studiu stability daných typů rovnic, a také metodu kroku. Bohužel v příkladu 3.1 ilustrujícím metodu kroku je chyba v kroku 2. Na první pohled je totiž vidět, že hledané řešení nemůže mít "skok" v derivaci, neboť pravá strana rovnice je spojitá. Na druhé straně oceňuji ukázku možnosti využití zpožděných rovnic při modelování pohybu portálového jeřábu. Je odvozena pohybová rovnice včetně její linearizace a uvedena pěkná ilustrace utlumení kyvů při zavedení zpětné vazby tzv. Pyrgasova typu. Student navíc dobře nastudoval otázku stability linearizované rovnice prezentované v odborné publikaci uvedené pod číslem [6]. Diplomová práce obsahuje také původní výsledek autora z kvalitativní teorie diferenciálních rovnic - oscilační kritérium, které zobecňuje výsledek vedoucího práce na dvoučlenné diferenciální rovnice se zpožděním, jejichž speciálním případem je linearizovaná pohybová rovnice portálového jeřábu se zpětnou vazbou. Žádné závažné chyby jsem v práci nenalezl. Podle mého názoru by si předložená práce ale zasloužila ještě jednu revizi, při které by byly odstraněny zbytečné chyby a nepřesnosti a byl by dopracován trochu nesystematický výklad v kapitole 2.1. Student však nastudoval ne zcela triviální partie matematiky a ukázal jejich využití při modelování pohybu některých mechanických soustav, čímž naplnil všechny cíle práce. Vzhledem k výše uvedenému doporučuji diplomovou práci k obhajobě a hodnotím ji stupněm C.

eVSKP id 96678