# Soustava prutů a posouzení mezního stavu vzpěrné stability prutu¶

Vypracoval: Filip Horák, 2017/2018

U soustavy prutů dle obrázku určete bezpečnost vůči meznímu stavu pružnosti prutu 3 a posuďte mezní stav vzpěrné stability prutu 2.

## Řešení¶

Ze začátku je nutné naimportovat potřebné knihovny.

In [1]:

    import sympy as sp
    import numpy as np
    from IPython.core.display import Image
    sp.init_printing()

Vyvoláme obrázek úlohy.

In [2]:

    Image(filename='08-v-soustava-1.png', width=450)

Out[2]:

Zavedeme potřebné proměnné jako symboly.

In [3]:

    FAy,FBy,FCx,FCy,FDx,FDy,FEx,FEy,F=sp.symbols('F_Ay F_By F_Cx F_Cy F_Dx F_Dy F_Ex F_Ey F')
    a,b,R,d,l,fi=sp.symbols('a b R d l varphi')
    dT,aT,J,E,sigma_k=sp.symbols('\Delta\!T alpha_T J E sigma_k')

Soustavu uvolníme a sestavíme rovnice statické rovnováhy.

In [4]:

    Image(filename='08-v-soustava-2.png', width=500)

Out[4]:

$$\begin{align} \sum_{}^{} F^1_{x}: & \, F_{Ex} = 0 \\ \sum_{}^{} F^1_{y}: & \, F_{Ay} + F_{Ey} - F = 0 \\ \sum_{}^{} M^1_{E}: & \, F_{Ay}a - F(a + b) = 0 \\ \sum_{}^{} F^2_{y}: & \, F_{Ay} - F_{By} = 0 \\ \sum_{}^{} F^3_{x}: & \, F_{Cx} - F_{Dx} = 0 \\ \sum_{}^{} F^3_{y}: & \, -F_{By} + F_{Cy} + F_{Dy} = 0 \\ \sum_{}^{} M^3_{C}: & \, -F_{By}R + F_{Dy}2R = 0 \\ \end{align}$$

In [5]:

    eqn1=FEx
    eqn2=FAy+FEy-F
    eqn3=FAy*a-F*(a+b)
    eqn4=FAy-FBy
    eqn5=FCx-FDx
    eqn6=FCy+FDy-FBy
    eqn7=FDy*2*R-FBy*R
    eqn1,eqn2,eqn3,eqn4,eqn5,eqn6,eqn7

Out[5]:
$$\left ( F_{Ex}, \quad - F + F_{Ay} + F_{Ey}, \quad - F \left(a + b\right) + F_{Ay} a, \quad F_{Ay} - F_{By}, \quad F_{Cx} - F_{Dx}, \quad - F_{By} + F_{Cy} + F_{Dy}, \quad - F_{By} R + 2 F_{Dy} R\right )$$

Vyřešíme soustavu rovnic a vyjádříme jednotlivé síly.

In [6]:

    sol1=sp.linsolve([eqn1,eqn2,eqn3,eqn4,eqn5,eqn6,eqn7],[FAy,FBy,FCx,FCy,FDx,FDy,FEx,FEy])
    FAy_solved,FBy_solved,FCx_solved,FCy_solved,FDx_solved,FDy_solved,FEx_solved,FEy_solved=next(iter(sol1))
    FAy_solved,FBy_solved,FCx_solved,FCy_solved,FDx_solved,FDy_solved,FEx_solved,FEy_solved

Out[6]:
$$\left ( \frac{F}{a} \left(a + b\right), \quad \frac{F}{a} \left(a + b\right), \quad F_{Dx}, \quad \frac{F \left(a + b\right)}{2 a}, \quad F_{Dx}, \quad \frac{F \left(a + b\right)}{2 a}, \quad 0, \quad - \frac{F b}{a}\right )$$

Pro vyřešení neznáme síly lze využít symetrie zakřiveného prutu a provést částečné uvolnění za použití deformační podmínky: $$w_{Dx} = 0$$

In [7]:

    Image(filename='08-v-soustava-3.png', width=300)

Out[7]:

Vyjádříme momentový vnitrní účinek.

In [8]:

    Moz=FDy*R*(1-sp.cos(fi))-FDx*R*sp.sin(fi)
    Moz

Out[8]:
$$- F_{Dx} R \sin{\left (\varphi \right )} + F_{Dy} R \left(- \cos{\left (\varphi \right )} + 1\right)$$

Vyjádříme parciální derivaci: $$\frac{\partial M_{oz}}{\partial F_{Dx}}$$

In [9]:

    dMozdFDx=Moz.diff(FDx)
    dMozdFDx

Out[9]:
$$- R \sin{\left (\varphi \right )}$$

Sestavíme rovnici dle deformační podmínky a zintegrujeme. $$\frac{\partial W}{\partial F_{Dx}}=0 \Rightarrow \frac{1}{EJ}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} M_{oy}\frac{\partial M_{oy}}{\partial F_{Dx}}R \mathrm{d}\varphi =0$$

In [10]:

    eqn1=(1/E/J)*sp.integrate(Moz*dMozdFDx,[fi,0,sp.pi/2])
    eqn1

Out[10]:
$$\frac{1}{E J} \left(\frac{\pi F_{Dx}}{4} R^{2} - \frac{F_{Dy} R^{2}}{2}\right)$$

Z rovnice vyjádříme $F_{Dx}$.

In [11]:

    sol=sp.solve(eqn1,FDx)
    FDx_solved=sol[0]
    FDx_solved

Out[11]:
$$\frac{2 F_{Dy}}{\pi}$$

Zavedeme číselné hodnoty veličin: $$\begin{align} a & = 600\, \mathrm{mm} \\ b & = 500\, \mathrm{mm} \\ l & = 1000\, \mathrm{mm} \\ R & = 300\, \mathrm{mm} \\ d & = 15\, \mathrm{mm} \\ F & = 1000\, \mathrm{N} \\ E & = 2.1\cdot 10^5\, \mathrm{MPa} \\ \sigma_K & = 350\, \mathrm{MPa}\\ J & = \frac{\pi d^4}{64} \approx 2485\, \mathrm{mm^4}\\ W_0 & = \frac{J}{\frac{d}{2}} \approx 331\, \mathrm{mm^3}\\ i & = \sqrt{\frac{J_{min}}{S}} = \sqrt{\frac{J}{\frac{\pi d^2}{4}}} \approx 3,75\, \mathrm{mm}\\ \lambda & = \frac{l}{i} \approx 266\\ \alpha & = \pi \\ \lambda_K & = \frac{l}{i} \approx 77\\ \end{align}$$

In [12]:

    a_,b_,l_=600.,500.,1000.
    R_=300.
    d_=15.
    F_=1000.
    E_=2.1e5
    sigma_k=350.
    J_=(sp.pi*d_**4)/64
    W0_=J_/(d_/2)
    i=sp.sqrt(J_/(sp.pi*(d_/2)**2))
    lambda_=l_/i
    alpha=sp.pi
    lambda_k=sp.sqrt(alpha**2*E_/sigma_k)

Dosadíme hodnoty do rovnic $F_{Dy}$ a $F_{Dx}$.

In [13]:

    FDy_=FDy_solved.subs({a:a_,b:b_,F:F_})
    FDx_=FDx_solved.subs({FDy:FDy_,F:F_,a:a_,b:b_,R:R_,J:J_,E:E_})
    sp.N(FDy_,6),sp.N(FDx_,6)

Out[13]:
$$\left ( 916.667, \quad 583.568\right )$$

Spočteme maximální ohybový moment na zakřiveném prutu.

In [14]:

    fi_=np.linspace(0,np.pi/2,20)
    Moz_=[Moz.evalf(subs={fi:ii,FDx:FDx_,FDy:FDy_,R:R_}) for ii in fi_]
    Moz_max=max(np.absolute(Moz_))
    sp.N(Moz_max,8)

Out[14]:
$$99929.563$$

Spočtemé maximální napětí na zakřiveném prutu.

In [15]:

    sigma_max=Moz_max/W0_
    sp.N(sigma_max,6)

Out[15]:
$$301.592$$

Spočteme bezpečnost vůči meznímu stavu pružnosti zakřiveného prutu.

In [16]:

    kK1=sigma_k/sigma_max
    sp.N(kK1,4)

Out[16]:
$$1.161$$

Dosazením číselných hodnot spočteme sílu $F_{By}$.

In [17]:

    FBy_=FBy_solved.subs({a:a_,b:b_,F:F_})
    sp.N(FBy_,7)

Out[17]:
$$1833.333$$

Pomocí podmínky posoudíme, který mezní stav je pro výpočet bezpečnosti rozhodující a následně daný mezní stav spočteme. $$\begin{align} \lambda & < \lambda_K \Rightarrow \mathrm{prut\, je\, tlustý\, a\, rozhodující\, je\, mezní\, stav\, pružnosti}\\ \lambda & > \lambda_K \Rightarrow \mathrm{prut\, je\, štíhlý\, a\, rozhodující\, je\, mezní\, stav\, vzpěrné\, stability} \end{align}$$

In [18]:

    if lambda_<lambda_k:
      kK2=sigma_k/(FBy_/(sp.pi*(d_/2)**2))
      print ("kontrola k meznímu stavu pružnosti v tlaku kK =", sp.N(kK2,4))
    elif lambda_>=lambda_k:
      Fkr=alpha**2*E_*J_/l_**2
      kvz=Fkr/FBy_
      print ("kontrola k meznímu stavu vzpěrné stability kvz =", sp.N(kvz,4))

    kontrola k meznímu stavu vzpěrné stability kvz = 2.809