# Prostý ohyb¶

Vypracoval: Filip Horák, 2017/2018

U prutu dle obrázku určte úhel natočení $\varphi$, při kterém začnou vznikat plastické deformace. Při ohybu nedochází k posunu ohýbaného konce ve svislém směru.

## Řešení¶

Ze začátku je nutné naimportovat potřebné knihovny.

In [1]:

    import sympy as sp
    from IPython.core.display import Image
    sp.init_printing()

Vyvoláme obrázek úlohy.

In [2]:

    Image(filename='05-o-prosty-1.png', width=800)

Out[2]:

Prut částečně uvolníme a zapíšeme deformační podmínky: $$\begin{align} w_B & = 0 \\ \varphi_B & = \varphi_{k} \end{align}$$

In [3]:

    Image(filename='05-o-prosty-2.png', width=400)

Out[3]:

Zavedeme potřebné proměnné jako symboly.

In [4]:

    x,fik=sp.symbols('x varphi_k')
    D,L,h,b=sp.symbols('D L h b')
    E,Jy=sp.symbols('E J_y')
    MB,FB=sp.symbols('M_B F_B')
    sigmax,sigmak,kk=sp.symbols('sigma_max sigma_k k_k')

Vyjádříme momentový vnitřní účinek úseku.

In [5]:

    M=MB+FB*x
    M

Out[5]:
$$F_{B} x + M_{B}$$

Vyjádříme potenciální energii prutu.

In [6]:

    dW=M**2/2/E/Jy
    W=sp.Integral(dW,[x,0,L])
    W

Out[6]:
$$\int_{0}^{L} \frac{\left(F_{B} x + M_{B}\right)^{2}}{2 E J_{y}}\, dx$$

Vyjádříme parciální derivace energie napjatosti podle síly $F_B$ a podle momentu $M_B$.

In [7]:

    dWFB=W.diff(FB)
    dWMB=W.diff(MB)
    dWFB,dWMB

Out[7]:
$$\left ( \int_{0}^{L} \frac{x}{E J_{y}} \left(F_{B} x + M_{B}\right)\, dx, \quad \int_{0}^{L} \frac{2 F_{B} x + 2 M_{B}}{2 E J_{y}}\, dx\right )$$

Sestavíme deformační podmínky: $$\begin{align} \frac{\partial W}{\partial F_B} & = 0 \\ \frac{\partial W}{\partial M_B} & = \varphi_{k} \end{align}$$

In [8]:

    eqn1=dWFB
    eqn2=+dWMB-fik
    eqn1,eqn2

Out[8]:
$$\left ( \int_{0}^{L} \frac{x}{E J_{y}} \left(F_{B} x + M_{B}\right)\, dx, \quad - \varphi_{k} + \int_{0}^{L} \frac{2 F_{B} x + 2 M_{B}}{2 E J_{y}}\, dx\right )$$

Rovnice zintegrujeme a vyjádříme $F_B$ a $M_B$.

In [9]:

    eqn1_=eqn1.doit()
    eqn2_=eqn2.doit()
    sol1=sp.linsolve([eqn1_,eqn2_],[FB,MB])
    FB_sol,MB_sol=next(iter(sol1))
    FB_sol,MB_sol

Out[9]:
$$\left ( - \frac{6 E}{L^{2}} J_{y} \varphi_{k}, \quad \frac{4 E}{L} J_{y} \varphi_{k}\right )$$

Nyní je nutné nalézt místo s maximálním ohybovým momentem. Průběh ohyboveého momentu je linerání, a proto stačí porovnat pouze hodnoty ohybového momentu v bodech $x = 0$ a $x = L$.

In [10]:

    Moy_0=M.subs({x:0,MB:MB_sol,FB:FB_sol})
    Moy_L=M.subs({x:L,MB:MB_sol,FB:FB_sol})
    Moy_0,Moy_L

Out[10]:
$$\left ( \frac{4 E}{L} J_{y} \varphi_{k}, \quad - \frac{2 E}{L} J_{y} \varphi_{k}\right )$$

Po dosazení vidíme, že největší ohybový moment je na volném konci prutu a jeho hodnota je rovna momentu $M_B$. Dále budeme počítat s touto hodnotou.

Vyjádříme modul průřezu $W_0$ pro obdelníkový průřez.

In [11]:

    W0=Jy/(h/2)
    W0

Out[11]:
$$\frac{2 J_{y}}{h}$$

Sestavíme soustavu rovnic: $$\begin{align} \sigma_{max} & = \frac{M_B}{W_0} \\ k_K & = \frac{\sigma_K}{\sigma_{max}} \end{align}$$

In [12]:

    eqn1=MB_sol/W0-sigmax
    eqn2=sigmak/sigmax-kk
    eqn1,eqn2

Out[12]:
$$\left ( \frac{2 E}{L} h \varphi_{k} - \sigma_{max}, \quad - k_{k} + \frac{\sigma_{k}}{\sigma_{max}}\right )$$

Vyjádříme $\varphi_{k}$ a $\sigma_{max}$.

In [13]:

    sol2=sp.solve([eqn1,eqn2],[fik,sigmax])
    sol2

Out[13]:
$$\left \{ \sigma_{max} : \frac{\sigma_{k}}{k_{k}}, \quad \varphi_{k} : \frac{L \sigma_{k}}{2 E h k_{k}}\right \}$$

Zavedeme číselné hodnoty veličin. $$\begin{align} L & = 1000\, \mathrm{mm} \\ h & = 20\, \mathrm{mm} \\ b & = 20\, \mathrm{mm} \\ E & = 2.1\cdot 10^5\, \mathrm{MPa} \\ \sigma_K & = 350\, \mathrm{MPa} \\ k_K & = 1 \end{align}$$

In [14]:

    L_=1000.
    h_=20.
    b_=20.
    E_=2.1e5
    sigmak_=250
    kk_=1

Spočteme úhel natočení ve stupních při kterém dojde ke vzniku plastických deformací.

In [15]:

    fik_max=sol2[fik].subs({h:h_,L:L_,b:b_,E:E_,sigmak:sigmak_,kk:kk_})
    fik_=fik_max*180/sp.pi
    sp.N(fik_,4)

Out[15]:
$$1.705$$