# Prostý tah¶

Vypracoval: Filip Horák, 2017/2018

U prutu dle obrázku stanovte bezpečnost vůči meznímu stavu pružnosti.

## Řešení¶

Ze začátku je nutné naimportovat potřebné knihovny.

In [1]:

    import numpy as np
    import sympy as sp
    from IPython.core.display import Image
    sp.init_printing()

Vyvoláme obrázek úlohy.

In [2]:

    Image(filename='02-tt-prosty-1.png', width=350)

Out[2]:

Provedeme částečné uvolnění a sestavíme deformační podmínku:

In [3]:

    Image(filename='02-tt-prosty-2.png', width=350)

Out[3]:

$$\begin{align} u^1_{p} & = u^T_{p} - u^F_{p}\\ u^2_{p} & = c_{p}F_P \\ u^1_{p} & = u^2_{p} \end{align}$$

Zavedeme potřebné proměnné jako symboly.

In [4]:

    x,a,b,c=sp.symbols('x a b c')
    Da,Db,dc=sp.symbols('D_a D_b d_c')
    E=sp.symbols('E')
    cp,dT,aT=sp.symbols('c_p \Delta\!T alpha_T')
    F,FP=sp.symbols('F F_P')
    x1,x2,x3=sp.symbols('x1 x2 x3')

Vyjádříme vnitřní účinky pro jednotlivé úseky.

In [5]:

    N1=-FP
    N2=F-FP
    N3=F-FP
    N1,N2,N3

Out[5]:
$$\left ( - F_{P}, \quad F - F_{P}, \quad F - F_{P}\right )$$

Vyjádříme obsahy průřezů jednotlivých úseků.

In [6]:

    S1=sp.pi/4*(Db**2-dc**2)
    S2=sp.pi*Db**2/4
    S3=sp.pi*Da**2/4
    S1,S2,S3

Out[6]:
$$\left ( \frac{\pi}{4} \left(D_{b}^{2} - d_{c}^{2}\right), \quad \frac{\pi D_{b}^{2}}{4}, \quad \frac{\pi D_{a}^{2}}{4}\right )$$

Vyjádříme potenciální energii soustavy.

In [7]:

    dW1=N1**2/2/E/S1
    dW2=N2**2/2/E/S2
    dW3=N3**2/2/E/S3
    W=sp.Integral(dW1,[x,0,c])+sp.Integral(dW2,[x,0,b])+sp.Integral(dW3,[x,0,a])
    W

Out[7]:
$$\int_{0}^{a} \frac{2 \left(F - F_{P}\right)^{2}}{\pi D_{a}^{2} E}\, dx + \int_{0}^{b} \frac{2 \left(F - F_{P}\right)^{2}}{\pi D_{b}^{2} E}\, dx + \int_{0}^{c} \frac{2 F_{P}^{2}}{\pi E \left(D_{b}^{2} - d_{c}^{2}\right)}\, dx$$

Vyjádříme parciální derivaci energie napjatosti podle síly $F_p$.

In [8]:

    dWFP=W.diff(FP)
    dWFP

Out[8]:
$$\int_{0}^{a} \frac{2}{\pi D_{a}^{2} E} \left(- 2 F + 2 F_{P}\right)\, dx + \int_{0}^{b} \frac{2}{\pi D_{b}^{2} E} \left(- 2 F + 2 F_{P}\right)\, dx + \int_{0}^{c} \frac{4 F_{P}}{\pi E \left(D_{b}^{2} - d_{c}^{2}\right)}\, dx$$

Sestavíme rovnici dle deformační podmínky: $$\begin{align} u^1_{p} & = u^2_{p} \\ u^T_{p} - u^F_{p} & = c_{p}F_P \\ \alpha_{T}\Delta T l - \frac{\partial W}{\partial F_p} & = c_{p}F_P \end{align}$$

In [9]:

    eqn=(a+b+c)*aT*dT-dWFP-cp*FP
    eqn

Out[9]:
$$- F_{P} c_{p} + \Delta\!T \alpha_{T} \left(a + b + c\right) - \int_{0}^{a} \frac{2}{\pi D_{a}^{2} E} \left(- 2 F + 2 F_{P}\right)\, dx - \int_{0}^{b} \frac{2}{\pi D_{b}^{2} E} \left(- 2 F + 2 F_{P}\right)\, dx - \int_{0}^{c} \frac{4 F_{P}}{\pi E \left(D_{b}^{2} - d_{c}^{2}\right)}\, dx$$

Rovnici zintegrujeme.

In [10]:

    eqn_=eqn.doit()
    eqn_

Out[10]:
$$- F_{P} c_{p} + \Delta\!T \alpha_{T} \left(a + b + c\right) - \frac{4 F_{P} c}{\pi E \left(D_{b}^{2} - d_{c}^{2}\right)} - \frac{2 b}{\pi D_{b}^{2} E} \left(- 2 F + 2 F_{P}\right) - \frac{2 a}{\pi D_{a}^{2} E} \left(- 2 F + 2 F_{P}\right)$$

Vyjádříme sílu $F_p$.

In [11]:

    sol=sp.solve([eqn_],[FP])
    sol

Out[11]:
$$\left \{ F_{P} : \frac{1}{\pi D_{a}^{2} D_{b}^{4} E c_{p} - \pi D_{a}^{2} D_{b}^{2} E c_{p} d_{c}^{2} + 4 D_{a}^{2} D_{b}^{2} b + 4 D_{a}^{2} D_{b}^{2} c - 4 D_{a}^{2} b d_{c}^{2} + 4 D_{b}^{4} a - 4 D_{b}^{2} a d_{c}^{2}} \left(\pi D_{a}^{2} D_{b}^{4} E \Delta\!T a \alpha_{T} + \pi D_{a}^{2} D_{b}^{4} E \Delta\!T \alpha_{T} b + \pi D_{a}^{2} D_{b}^{4} E \Delta\!T \alpha_{T} c - \pi D_{a}^{2} D_{b}^{2} E \Delta\!T a \alpha_{T} d_{c}^{2} - \pi D_{a}^{2} D_{b}^{2} E \Delta\!T \alpha_{T} b d_{c}^{2} - \pi D_{a}^{2} D_{b}^{2} E \Delta\!T \alpha_{T} c d_{c}^{2} + 4 D_{a}^{2} D_{b}^{2} F b - 4 D_{a}^{2} F b d_{c}^{2} + 4 D_{b}^{4} F a - 4 D_{b}^{2} F a d_{c}^{2}\right)\right \}$$

Zavedeme číselné hodnoty veličin: $$\begin{align} a & = 40\, \mathrm{mm} \\ b & = 10\, \mathrm{mm} \\ c & = 20\, \mathrm{mm} \\ D_a & = 30\, \mathrm{mm} \\ D_b & = 25\, \mathrm{mm} \\ d_c & = 20\, \mathrm{mm} \\ r_1 & = 1\, \mathrm{mm} \\ R_2 & = 2,5\, \mathrm{mm} \\ d_3 & = 7\, \mathrm{mm} \\ F & = 1000\, \mathrm{N} \\ E & = 2.1\cdot 10^5\, \mathrm{MPa} \\ c_{p} & = 5\cdot 10^{-6}\, \mathrm{mm/N} \\ \Delta T & = 100\, \mathrm{°C} \\ \alpha_T & = 1,2\times 10^{-5}\, \mathrm{K^{-1}} \\ \sigma_K & = 350\, \mathrm{MPa} \end{align}$$

In [12]:

    a_,b_,c_=40.,10.,20.
    Da_,Db_,dc_=30.,25,20.
    r1_,R2_,d3_=1.,2.5,7.
    F_=1000.
    E_=2.1e5
    cp_=0.05/10000
    dT_=100.
    aT_=1.2e-5
    sigma_k=350.

Dosadíme číselné hodnoty do rovnice síly $F_p$.

In [13]:

    FP_sol=sol[FP].subs({a:a_,b:b_,c:c_,dc:dc_,Db:Db_,Da:Da_,F:F_,E:E_,cp:cp_,dT:dT_,aT:aT_})
    sp.N(FP_sol,8)

Out[13]:
$$14286.292$$

Spočteme jednotlivé vnitřní účinky.

In [14]:

    N1_=N1.subs({F:F_,FP:FP_sol})
    N2_=N2.subs({F:F_,FP:FP_sol})
    N3_=N3.subs({F:F_,FP:FP_sol})
    sp.N(N1_,8),sp.N(N2_,8),sp.N(N3_,8)

Out[14]:
$$\left ( -14286.292, \quad -13286.292, \quad -13286.292\right )$$

Spočteme číselné hodnoty jednotlivých průřezů.

In [15]:

    S1_=S1.subs({dc:dc_,Db:Db_})
    S2_=S2.subs(Db,Db_)
    S3_=S3.subs(Da,Da_)
    sp.N(S1_,6),sp.N(S2_,6),sp.N(S3_,6)

Out[15]:
$$\left ( 176.715, \quad 490.874, \quad 706.858\right )$$

Vypočítáme nominální napětí jednotlivých úseků. $$\sigma_1=\frac{N_1}{S_1},\quad\sigma_2=\frac{N_2}{S_2}\quad\mathrm{a}\quad\sigma_3=\frac{4N_3}{D^2_a\Big[\pi - 2\Big(\frac{d_3}{D_a}\Big)-\mathrm{sin^2}\Big(\frac{d_3}{D_a}\Big)\Big]}$$

In [16]:

    sigma1=N1_/S1_
    sigma2=N2_/S1_
    sigma3=sigma3_=4*N3_/((sp.pi-2*(d3_/Da_)-sp.sin(d3_/Da_)**2)*Da_**2)
    sp.N(sigma1,5),sp.N(sigma2,5),sp.N(sigma3,5)

Out[16]:
$$\left ( -80.844, \quad -75.185, \quad -22.526\right )$$

Zavedeme součinitele koncentrace napětí. $$\begin{align} \frac{D_b}{d_c} = 1,25;\, \frac{r_1}{d_c} = 0,05 \Rightarrow \alpha_1 & \approx 2,07 \\ \frac{D_a}{D_b} = 1,2;\;\, \frac{R_2}{D_b} = 0,1\,\; \Rightarrow \alpha_2 & \approx 1,71 \\ \frac{d_3}{D_a} = 0,2\overline{3} \Rightarrow \alpha_3 & \approx 2 \end{align}$$

In [17]:

    alfa_1=2.07
    alfa_2=1.71
    alfa_3=2

Spočteme skutečná napětí v rizikových místech.

In [18]:

    sigma1_sk=sigma1*alfa_1
    sigma2_sk=sigma2*alfa_2
    sigma3_sk=sigma3*alfa_3
    sp.N(sigma1_sk,6),sp.N(sigma2_sk,6),sp.N(sigma3_sk,5)

Out[18]:
$$\left ( -167.347, \quad -128.566, \quad -45.051\right )$$

Vyjádříme maximální napětí v prutu.

In [19]:

    sigma_max=(max(np.absolute([sigma1_sk,sigma2_sk,sigma3_sk])))
    sp.N(sigma_max,6)

Out[19]:
$$167.347$$

Spočteme bezpečnost vůči meznímu stavu pružnosti.

In [20]:

    Kk=sigma_k/sigma_max
    sp.N(Kk,4)

Out[20]:
$$2.091$$