# Soustava prutů¶

Vypracoval: Filip Horák, 2017/2018

U soustavy prutů dle obrázku nalezněte prut s největším zatížením a určete jeho bezpečnost k meznímu stavu pružnosti.

## Řešení¶

Ze začátku je nutné naimportovat potřebné knihovny.

In [1]:

    import numpy as np
    import sympy as sp
    from IPython.core.display import Image
    sp.init_printing()

Vyvoláme obrázek úlohy.

In [2]:

    Image(filename='03-tt-soustava-1.png', width=600)

Out[2]:

Provedeme částečné uvolnění prutu 9 s přesahem $\delta$ a následně uvolníme jednotlivé styčníky.

In [3]:

    Image(filename='03-tt-soustava-2.png', width=500)

Out[3]:

Deformační podmínky budou vypadat následovně: $$u_E = -\delta$$

Zavedeme potřebné proměnné jako symboly.

In [4]:

    FAx,FAy,F=sp.symbols('F_Ax F_Ay F')
    F1,F2,F3,F4,F5,F6,F7,F8,F9=sp.symbols('F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9')
    E=sp.symbols('E')
    S=sp.symbols('S')
    a=sp.symbols('a')
    delta,sk=sp.symbols('delta sigma_k')

Sestavíme rovnice rovnováhy styčníků.

In [5]:

    eqn1=FAx+F3*sp.cos(sp.pi/4)+F4
    eqn2=FAy+F1+F3*sp.sin(sp.pi/4)
    eqn3=-F4+F6
    eqn4=F5
    eqn5=-F6-F7*sp.cos(sp.pi/4)+F8*sp.cos(sp.pi/3)-F9*sp.N(sp.cos(sp.atan(1/2)),3)
    eqn6=F7*sp.sin(sp.pi/4)+F8*sp.sin(sp.pi/3)+F9*sp.N(sp.sin(sp.atan(1/2)),3)
    eqn7=-F2-F3*sp.cos(sp.pi/4)+F7*sp.cos(sp.pi/4)
    eqn8=-F-F5-F3*sp.sin(sp.pi/4)-F7*sp.sin(sp.pi/4)
    eqn9=F2+F9*sp.N(sp.cos(sp.atan(1/2)),3)
    eqn10=-F1-F9*sp.N(sp.sin(sp.atan(1/2)),3)
    eqn1,eqn2,eqn3,eqn4,eqn5

Out[5]:
$$\left ( \frac{\sqrt{2} F_{3}}{2} + F_{4} + F_{Ax}, \quad F_{1} + \frac{\sqrt{2} F_{3}}{2} + F_{Ay}, \quad - F_{4} + F_{6}, \quad F_{5}, \quad - F_{6} - \frac{\sqrt{2} F_{7}}{2} + \frac{F_{8}}{2} - 0.894 F_{9}\right )$$
In [6]:

    eqn6,eqn7,eqn8,eqn9,eqn10

Out[6]:
$$\left ( \frac{\sqrt{2} F_{7}}{2} + \frac{\sqrt{3} F_{8}}{2} + 0.447 F_{9}, \quad - F_{2} - \frac{\sqrt{2} F_{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} F_{7}}{2}, \quad - F - \frac{\sqrt{2} F_{3}}{2} - F_{5} - \frac{\sqrt{2} F_{7}}{2}, \quad F_{2} + 0.894 F_{9}, \quad - F_{1} - 0.447 F_{9}\right )$$

Vyjádříme jednotlivé síly pomocí vyšetřované síly $F_{9}$.

In [7]:

    sol=sp.linsolve([eqn1,eqn2,eqn3,eqn4,eqn5,eqn6,eqn7,eqn8,eqn9,eqn10], \
                 [F1,F2,F3,F4,F5,F6,F7,F8,FAx,FAy],)
    sol

Out[7]:
$$\left\{\left ( - 0.447 F_{9}, \quad - 0.894 F_{9}, \quad - 0.5 \sqrt{2} F + 0.447 \sqrt{2} F_{9}, \quad 0.167 \sqrt{3} F + 0.5 F - 0.447 F_{9} - 3.05 \cdot 10^{-5} \sqrt{3} F_{9}, \quad 0, \quad 0.167 \sqrt{3} F + 0.5 F - 0.447 F_{9} - 3.05 \cdot 10^{-5} \sqrt{3} F_{9}, \quad - \frac{\sqrt{2} F}{2} - 0.447 \sqrt{2} F_{9}, \quad \frac{\sqrt{3} F}{3}, \quad - \frac{\sqrt{3} F}{6}, \quad \frac{F}{2}\right )\right\}$$

Spočtené síly přiřadíme příslušným vnitřním účinkům.

In [8]:

    N1,N2,N3,N4,N5,N6,N7,N8,FAx_,FAy_=next(iter(sol))
    N9=F9

Vytvoříme vektor výsledných účinků.

In [9]:

    N=N1,N2,N3,N4,N5,N6,N7,N8,N9
    N

Out[9]:
$$\left ( - 0.447 F_{9}, \quad - 0.894 F_{9}, \quad - 0.5 \sqrt{2} F + 0.447 \sqrt{2} F_{9}, \quad 0.167 \sqrt{3} F + 0.5 F - 0.447 F_{9} - 3.05 \cdot 10^{-5} \sqrt{3} F_{9}, \quad 0, \quad 0.167 \sqrt{3} F + 0.5 F - 0.447 F_{9} - 3.05 \cdot 10^{-5} \sqrt{3} F_{9}, \quad - \frac{\sqrt{2} F}{2} - 0.447 \sqrt{2} F_{9}, \quad \frac{\sqrt{3} F}{3}, \quad F_{9}\right )$$

Sestavíme vektor délek jednotlivých prutů.

In [10]:

    l=a,a,sp.sqrt(2)*a,a,a,a,sp.sqrt(2)*a,2*a,sp.sqrt(5)*a
    l

Out[10]:
$$\left ( a, \quad a, \quad \sqrt{2} a, \quad a, \quad a, \quad a, \quad \sqrt{2} a, \quad 2 a, \quad \sqrt{5} a\right )$$

Vyjádříme potenciální energii soustavy prutů.

In [11]:

    w=[]
    for ii in enumerate(N):
      w.append(ii[1]**2*l[ii[0]]/2/E/S)
    W=sum(w)
    W

Out[11]:
$$\frac{F^{2} a}{3 E S} + \frac{0.5 F_{9}^{2} a}{E S} + \frac{\sqrt{5} F_{9}^{2} a}{2 E S} + \frac{\sqrt{2} a}{2 E S} \left(- \frac{\sqrt{2} F}{2} - 0.447 \sqrt{2} F_{9}\right)^{2} + \frac{\sqrt{2} a}{2 E S} \left(- 0.5 \sqrt{2} F + 0.447 \sqrt{2} F_{9}\right)^{2} + \frac{a}{E S} \left(0.167 \sqrt{3} F + 0.5 F - 0.447 F_{9} - 3.05 \cdot 10^{-5} \sqrt{3} F_{9}\right)^{2}$$

Sestavíme parciální derivaci a deformační podmínku. $$u_E =\frac{\partial W}{\partial F_9} = -\delta$$

In [12]:

    eqn1=W.diff(F9)+delta
    eqn1

Out[12]:
$$\delta + \frac{1.0 F_{9} a}{E S} + \frac{\sqrt{5} F_{9} a}{E S} - \frac{0.894 a}{E S} \left(- \frac{\sqrt{2} F}{2} - 0.447 \sqrt{2} F_{9}\right) + \frac{0.895 a}{E S} \left(- 0.5 \sqrt{2} F + 0.447 \sqrt{2} F_{9}\right) + \frac{a}{E S} \left(-0.895 - 6.1 \cdot 10^{-5} \sqrt{3}\right) \left(0.167 \sqrt{3} F + 0.5 F - 0.447 F_{9} - 3.05 \cdot 10^{-5} \sqrt{3} F_{9}\right)$$

Výpočet neznámé síly $F_{9}$.

In [13]:

    sol1=sp.solve(eqn1,F9)
    sp.N(sol1[0],3)

Out[13]:
$$\frac{1}{a} \left(- 0.21 E S \delta + 0.148 F a\right)$$

Dosazení $F_{9}$ do vnitřních účinků.

In [14]:

    F9_=sol1[0]
    N1_=N1.subs(F9,F9_)
    N2_=N2.subs(F9,F9_)
    N3_=N3.subs(F9,F9_)
    N4_=N4.subs(F9,F9_)
    N5_=N5.subs(F9,F9_)
    N6_=N6.subs(F9,F9_)
    N7_=N7.subs(F9,F9_)
    N8_=N8.subs(F9,F9_)
    N9_=N9.subs(F9,F9_)
    sp.N(N1_,3),sp.N(N2_,3),sp.N(N3_,3),sp.N(N4_,3),sp.N(N5_,3),sp.N(N6_,3),sp.N(N7_,3),sp.N(N8_,3),sp.N(N9_,3)

Out[14]:
$$\left ( - \frac{1}{a} \left(- 0.0938 E S \delta + 0.0662 F a\right), \quad - \frac{1}{a} \left(- 0.188 E S \delta + 0.132 F a\right), \quad - 0.707 F + \frac{1}{a} \left(- 0.133 E S \delta + 0.0937 F a\right), \quad 0.789 F - \frac{1}{a} \left(- 0.0938 E S \delta + 0.0662 F a\right), \quad 0, \quad 0.789 F - \frac{1}{a} \left(- 0.0938 E S \delta + 0.0662 F a\right), \quad - 0.707 F - \frac{1}{a} \left(- 0.133 E S \delta + 0.0936 F a\right), \quad 0.577 F, \quad \frac{1}{a} \left(- 0.21 E S \delta + 0.148 F a\right)\right )$$

Zavedeme číselné hodnoty veličin. $$\begin{align} a & = 500\, \mathrm{mm} \\ d & = 20\, \mathrm{mm} \\ \delta & = 2\, \mathrm{mm} \\ F & = 1000\, \mathrm{N} \\ E & = 2.1\cdot 10^5\, \mathrm{MPa} \\ S & = \frac{\pi d^2}{4} \approx 314\, \mathrm{mm^2}\\ \sigma_K & = 360\, \mathrm{MPa} \end{align}$$

In [15]:

    d_=20.
    S_=sp.pi*d_**2/4
    E_=2.1e5
    F_=1000.
    a_=500.
    delta_=2.
    sigma_k=360.

Dosazení číselných hodnot do vnitřních účinků.

In [16]:

    N1_1=float(N1_.subs({F:F_,a:a_,E:E_,S:S_,delta:delta_}))
    N2_1=float(N2_.subs({F:F_,a:a_,E:E_,S:S_,delta:delta_}))
    N3_1=float(N3_.subs({F:F_,a:a_,E:E_,S:S_,delta:delta_}))
    N4_1=float(N4_.subs({F:F_,a:a_,E:E_,S:S_,delta:delta_}))
    N5_1=float(N5_.subs({F:F_,a:a_,E:E_,S:S_,delta:delta_}))
    N6_1=float(N6_.subs({F:F_,a:a_,E:E_,S:S_,delta:delta_}))
    N7_1=float(N7_.subs({F:F_,a:a_,E:E_,S:S_,delta:delta_}))
    N8_1=float(N8_.subs({F:F_,a:a_,E:E_,S:S_,delta:delta_}))
    N9_1=float(N9_.subs({F:F_,a:a_,E:E_,S:S_,delta:delta_}))
    sp.N(N1_1,8),sp.N(N2_1,8),sp.N(N3_1,8),sp.N(N4_1,8),sp.N(N5_1,7),sp.N(N6_1,8),sp.N(N7_1,8),sp.N(N8_1,7),sp.N(N9_1,8)

Out[16]:
$$\left ( 24695.291, \quad 49363.63, \quad -35631.437, \quad 25480.076, \quad 0, \quad 25480.076, \quad 34203.016, \quad 577.3503, \quad -55198.862\right )$$

Vypíšeme číslo prutu s největší normálovou silou a velikost normálové síly v prutu v Newtonech.

In [17]:

    N_abs=abs(N1_1),abs(N2_1),abs(N3_1),abs(N4_1),abs(N5_1),abs(N6_1),abs(N7_1),abs(N8_1),abs(N9_1)
    n_max=N_abs.index(max(N_abs))
    N_max=max(np.absolute(N_abs))
    n_max,sp.N(N_max,8)

Out[17]:
$$\left ( 8, \quad 55198.862\right )$$

Spočteme bezpečnost prutu.

In [18]:

    sigma_max=float(N_max/S_)
    Kk=sigma_k/sigma_max
    sp.N(Kk,4)

Out[18]:
$$2.049$$