\chapter{Elektronická stabilizace a torque vectoring}
\label{sec:esp}

Elektronická stabilizace je součástí každého moderního vozu.
Pomáhá řidiči udržet kontrolu nad vozidlem, když v~krizových situacích zasahuje do řízení.
Detaily funkce těchto systémů jsou většinou chráněny obchodním tajemstvím jednotlivých výrobců, ale princip funkce je obecně známý.

Systém pomocí snímačů rychlostí všech kol, natočení volantu, polohy plynového pedálu, podélného a příčného zrychlení, úhlové rychlosti a tlaku brzdové kapaliny monitoruje aktuální stav vozidla, který následně vyhodnocuje řídicí jednotka.
Ta porovnává požadovaný směr jízdy se skutečným a v~případě odchylky systém zasáhne\cite{esp-aaa}.
\acs{esp} může zasahovat do jednotlivých brzd a plynové klapky.

Pokud je rychlost otáčení auta vyšší, než kolik odpovídá natočení volantu, znamená to, že se auto přetáčí, viz obrázek \ref{obr:esp-pre}, a systém zasáhne přibrzděním vnějších kol.
V~opačném případě nedotáčí, viz obrázek \ref{obr:esp-ned}, a systém zasáhne přibrzděním vnějšího zadního kola.

\begin{figure}[h]
	\subfloat[Zásah \acs{esp} při přetáčení]{
		\label{obr:esp-pre} \includegraphics[width=0.5\linewidth]{obrazky/esp/15067.jpg}}
	\subfloat[Zásah \acs{esp} při nedotáčení]{
		\label{obr:esp-ned} \includegraphics[width=0.5\linewidth]{obrazky/esp/15066.png}}
\caption{Zásah \acs{esp}\cite{esp-aaa}}
\label{obr:esp-aaa}
\end{figure}


\acs{esp} je primárně určeno pro zvýšení bezpečnosti, čehož dosahuje na úkor rychlosti vozu.
Torque vectoring je podobný systém, je však pokročilejší.
Narozdíl od \acs{esp}, které používá brzdné zásahy, torque vectoring je většinou docílen diferenciálem, který dokáže regulovat rozložení točivého momentu.
Navíc je tento systém laděný spíše pro zvýšení rychlosti průjezdu zatáčky, proto se dá najít v~některých sportovně laděných vozech\cite{torque-vectoring-wiki}.

V~případě elektrických sportovních vozů, kde je obvyklé, že každé kolo je nezávisle poháněno vlastním motorem, je torque vectoring jednoduchý na implementaci, protože odpadá nutnost složitého elektronicky řízeného diferenciálu.
Příkladem může být elektrický supersport Rimac Concept One, poháněný čtyřmi nezávislými motory.
Tento vůz používá tzv.~All Wheel Torque Vectoring System, což je jejich obchodní název pro tento systém\cite{torque-vectoring-wiki}\cite{rimac-concept-wiki}.

\chapter{Kinematický model podvozku}

Pro správnou činnost \acs{esp} je nutné znát rychlost všech kol.
K~tomu slouží kinematický model, který popisuje rychlost v~různých bodech podvozku, a který využívám pro transformaci rychlosti vyjádřené v~těžišti podvozku, na rychlosti v~bodech uložení kol.

\section{Ideální úhlová rychlost}
\label{sec:ww}

\acs{esp} porovnává skutečnou úhlovou rychlost podvozku s~úhlovou rychlostí, která by při aktuální podélné rychlosti a aktuálním natočení kol nastala v~případě, že nedochází k~žádnému smyku.
Tato ideální úhlová rychlost se vypočítá na základě pohybu po kružnici.
Podélná rychlost vozu v~tomto případě odpovídá obvodové rychlosti a poloměr otáčení se dá vypočítat z~trojúhelníku, vytyčeného přímkou, vycházející ze zadní osy a kolmice na zatočená přední kola.
Situace je znázorněna na obrázku \ref{obr:kin-model-w}.

\begin{figure}
	\centering
	\def\svgwidth{0.9\linewidth}
	\import{obrazky/}{kin-model-w.pdf_tex}
	\caption{Znázornění odvození ideální úhlové rychlosti}
	\label{obr:kin-model-w}
\end{figure}
Úhel $ \beta = \frac{\pi}{2} - \acs{delta} $ je doplňkový úhel k~úhlu natočení přední kol \acs{delta}.
Dále je známá délka odvěsny $ \acs{lf} + \acs{lr} $, která se rovná rozvoru kol.
Druhá odvěsna odpovídá poloměru otáčení auta \acs{r}.
Velikost poloměru se dá odvodit ze vztahu:

\begin{equation}
\label{eq:kin-mod-r}
\acs{r} = \left(\acs{lf} + \acs{lr}\right) \tan \beta
\end{equation}

Na základě vypočítaných hodnot obvodové rychlosti a poloměru se dá vypočítat úhlová rychlost jako:

\begin{equation}
\label{eq:kin-mod-w}
\acs{ww} = \dfrac{\acs{vx}}{\acs{r}}
\end{equation}


\section{Rychlost jednotlivých kol}
\label{sec:vr}

V~případě přímočarého pohybu se rychlosti všech kol rovnají podélné rychlosti vozu.
V~případě nenulové úhlové rychlosti podvozku se k~podélné rychlosti přičítá rychlost, která odpovídá obvodové rychlosti po kružnici, kterou dané kolo opisuje.
Tato rychlost se vypočítá jako vektorový součin úhlové rychlosti vozu a polohového vektoru kola relativně k~těžišti podvozku, viz rovnice \ref{eq:vr}.

\begin{equation}
\label{eq:vr}
\acs{vr} = \acs{w} \times \acs{d}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{eq:vx}
\acs{vvz} = \acs{vb} + \acs{vr}
\end{equation}

Rychlost \acs{vr} se poté sečte s~rychlostí těžiště \acs{vb}, a vznikne rychlost v~bodě zavěšení \acs{vvz}, viz rovnice \ref{eq:vx}.
Výsledná rychlost je důležitá pro modely kol, které jí využívají pro výpočet prokluzu, a pro \acs{esp}, které jí využívá pro torque vectoring.

\begin{figure}
	\centering
	\def\svgwidth{0.5\linewidth}
	\import{obrazky/}{kin-model-v.pdf_tex}
	\caption{Znázornění obvodové rychlosti způsobené rotací vozu}
	\label{obr:kin-model-v}
\end{figure}

\chapter{Dynamický model podvozku}

Návrh monopostu je složitý a zdlouhavý proces a není možné při vývoji těchto systémů čekat na jeho sestavení.
Proto se musím spolehnout na simulace.
Simulace používá již známé parametry, ty neznámé se odvodí z~předchozích vozů nebo se kvalifikovaně odhadnou.

V~mé semestrální práci\cite{semestralka} jsem použil jednoduchý model podvozku, kde vůz měl pouze tři stupně volnosti a kola nebyla odpružená.
Model tedy neměl žádný pohyb ve svislé ose, takže kola měla vždy kontakt s~vozovkou.
Navíc nebyl zohledněn aerodynamický přítlak a přenos váhy mezi koly.

V~této práci používám pokročilejší model vozu, který modeluje i odpružení a další jevy.
Vzhledem k~náročnosti sestavení modelu je vhodné použít předpřipravené součásti.
Vybral jsem toolbox v~Matlabu vehicle dynamics blockset\cite{mathworks-vehdyn}, který poskytuje modely různých částí vozu.

Jak se v~průběhu návrhu modelu ukázalo, výběr tohoto toolboxu nebyl nejlepší.
Dostupná dokumentace je velmi povrchní a jednotlivé bloky jsou navrženy poměrně neintuitivně.
Návrh tohoto modelu proto trval déle, něž jsem předpokládal.
V~průběhu práce jsem se dozvěděl o~softwaru specializovaném na návrh dynamických modelů vozů Adams\cite{adams}.
Tento software dokáže poté model vyexportovat do prostředí Simulink, kde se dají navrhovat řídicí systémy.
Bohužel jsem se o~tomto softwaru dozvěděl příliš pozdě a z~časových důvodů jej nepoužil.

\section{Vztažné soustavy modelu}

\FloatBarrier

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[scale=1]{obrazky/mathworks/cs_earth.png}
	\caption{Znázornění inerciální vztažné soustavy a vztažné soustavy karoserie}
	\label{obr:cs-earth}
\end{figure}

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[scale=1]{obrazky/mathworks/cs_vehicle_zdown.png}
	\caption{Znázornění vztažné soustavy karoserie}
	\label{obr:cs-body}
\end{figure}

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[scale=1]{obrazky/mathworks/cs_tire_wheel_zup.png}
	\caption{Znázornění vztažné soustavy disku a pneumatiky}
	\label{obr:cs-tire-wheel}
\end{figure}

Vehicle dynamics blockset toolbox\cite{mathworks-vehdyn} používá několik vztažných soustav\cite{math-coord}.

\begin{itemize}
	\item \textbf{Inerciální vztažná soustava} (obrázek \ref{obr:cs-earth}) je vztažena k~povrchu země a má nulové jak přímočaré tak úhlové zrychlení.
	
	\item \textbf{Vztažná soustava karoserie} (obrázek \ref{obr:cs-body}) je vztažena k~těžišti karoserie.
	Souřadnice $ \const{X} $ směřuje vpřed, souřadnice $ \const{Y} $ směřuje vlevo a souřadnice $ \const{Z} $ směřuje dolů.
	
	\item \textbf{Vztažná soustava pneumatiky} $\left( \const{X}_\textind{T}, \const{Y}_\textind{T}, \const{Z}_\textind{T} \right)$, viz obrázek \ref{obr:cs-tire-wheel}, je vztažena k~pneumatice, s~počátkem v~místě kontaktu se zemí, $ \const{XY} $ rovina této soustavy je paralelní k~$ \const{XY} $ rovině inerciální soustavy a souřadnice $ \const{Z} $ směřuje nahoru.
	
	\item \textbf{Vztažná soustava disku} $\left( \const{X}_\textind{W}, \const{Y}_\textind{W}, \const{Z}_\textind{W} \right)$, viz obrázek \ref{obr:cs-tire-wheel}, je vztažena k~disku s~počátkem ve středu disku.
	$ \const{XZ} $ rovina této soustavy je paralelní k~rovině disku.
	Je zde také znázorněn úhel odklonu \acs{epsilon} a úhel prokluzu pneumatiky \acs{alpha}.
	
\end{itemize}

\section{Model karoserie}

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[scale=1]{obrazky/mathworks/veh_6dof.png}
	\caption{Model karoserie}
	\label{obr:veh-6dof}
\end{figure}

\begin{table}
	\centering
	\caption{Tabulka vstupů modelu karoserie}
	\label{tab:body-i}
	\begin{tabular}{|l|l|}
		\hline
		Název & Popis \\
		\hline
		FSusp & Matice sil působících na karoserii $ \left[\unit{N}\right] $ \\
		\hline
		MSusp & Matice točivých momentů působících na karoserii $ \left[\unit{Nm}\right] $ \\
		\hline
		FExt & Vektor externí síly $ \left[\unit{N}\right] $ \\
		\hline
		MExt & Vektor externího točivého momentu $ \left[\unit{Nm}\right] $ \\
		\hline
		WindXYZ & Vektor rychlosti větru $ \left[\unit{m/s}\right] $ \\
		\hline
	\end{tabular}
\end{table}

\begin{table}
	\centering
	\caption{Tabulka výstupů modelu karoserie}
	\label{tab:body-o}
	\begin{tabular}{|l|l|}
		\hline
		Info & Sběrnice všech vnitřních signálů \\
		\hline
		Vb & Vektor rychlosti těžiště karoserie $ \left[\unit{m/s}\right] $ \\
		\hline
		pqr & Vektro úhlové rychlosti těžiště karoserie $ \left[\unit{rad/s}\right] $ \\
		\hline
		DCM & Matice orientace vozu \\
		\hline
		Euler & Eulerovy úhly orientace vozu $ \left[\unit{rad}\right] $ \\
		\hline
		Xe & Vektor pozice vozu v~inerciální vztažné soustavě $ \left[\unit{m/s}\right] $ \\
		\hline
		Ve & Vektor rychlosti vozu v~inerciální vztažné soustavě $ \left[\unit{m}\right] $ \\
		\hline
	\end{tabular}
\end{table}

Tento model\cite{math-veh-6dof} popisuje chování celé odpružené hmoty jako hmotný bod se šesti stupni volnosti.
Bere v~úvahu mimo jiné rozložení hmoty, aerodynamický odpor a náklon vozovky.
Vstupy do tohoto modelu jsou popsány v~tabulce \ref{tab:body-i} a výstupy v~tabulce \ref{tab:body-o}.

\begin{subequations}
	\label{eq:body}
	\begin{align}
		\acs{fb} &= \acs{m} \left(\acs{ab} + \acs{w} \times \acs{vb} \right) \label{eq:body-a} \\
		\acs{mb} &= \acs{J} \acs{aw} + \acs{w} \times \left( \acs{J} \acs{w} \right) \label{eq:body-e}
	\end{align}
\end{subequations}

Rovnice \ref{eq:body} popisují dynamické chování tohoto modelu.
\acs{fb} je součet všech sil působících na karoserii, viz rovnice \ref{eq:body-f}, \acs{mb} je součet všech momentů působících na karoserii, viz rovnice \ref{eq:body-m}. \acs{J} je matice momentů setrvačnosti, \acs{vb} je rychlost karoserie ve vztažné soustavě karoserie a \acs{w} je vektor úhlových rychlostí ve vztažné soustavě karoserie.

\begin{equation}
	\label{eq:body-f}
	\acs{fb} = \acs{fd} + \acs{fg} + \acs{fext} + \acs{ffl} + \acs{ffr} + \acs{frl} + \acs{frr}
\end{equation}

Rovnice \ref{eq:body-f} popisuje všechny síly působící na karoserii.
\acs{fd} je vektor aerodynamických sil, tedy přítlak a odpor, \acs{fg} je vektor gravitační síly, \acs{fext} je externí síla, která může být použita pro rozšíření modelu o~další vlivy a nakonec síly \acs{ffl}, \acs{ffr}, \acs{frl}, \acs{frr} jsou síly působící od odpružení a pneumatik.

\begin{equation}
\label{eq:body-m}
\acs{mb} = \acs{md} + \acs{mext} + \acs{mfl} + \acs{mfr} + \acs{mrl} + \acs{mrr}
\end{equation}

Rovnice \ref{eq:body-m} popisuje všechny momenty působící na karoserii.
\acs{md} jsou momenty způsobené aerodynamickými silami, tyto momenty vznikají pokud působiště aerodynamické síly není v~těžišti vozu.
\acs{mext} je externí moment, který může být použit pro rozšíření modelu o~další vlivy.
Momenty \acs{mfl}, \acs{mfr}, \acs{mrl}, \acs{mrr} jsou momenty působící od zavěšení a pneumatik.

Tento model za mě řeší nejenom pohybové rovnice, ale i převod ze souřadné soustavy karoserie na inerciální soustavu a efekt aerodynamických sil.
Má však jeden nedostatek.
Nedovoluje nastavit záporný vztlak, neboli přítlak.
Pro obyčejné vozy toto není problém, protože ty mají nepatrný vztlak.
Jakmile chci modelovat závodní vůz, tak nemožnost nastavit přítlak způsobí komplikace.
Toto omezení jsem vyřešil využitím vstupu externí síly \acs{fext}, a modelováním přítlaku externě pomocí stejné rovnice jako v~modelu\cite{math-veh-6dof} viz rovnice \ref{eq:body-aero}.

\begin{equation}
\label{eq:body-aero}
\acs{fdz} = - \frac{1}{2 \acs{temp} \const{R}} \acs{cl} \acs{af} \acs{pabs} \acs{vb}^2
\end{equation}

\acs{fdz} je síla působící na vůz v~ose $ \const{Z} $, \acs{temp} je teplota vzduchu, \acs{rgas} je molární plynová konstanta, \acs{cl} je koeficient vztlaku, \acs{af} je čelní plocha vozu, \acs{pabs} je absolutní tlak vzduchu a \acs{vb} je rychlost vozu.

\FloatBarrier

\section{Model odpružení}

\begin{table}
	\centering
	\caption{Vstupy do modelu odpružení}
	\label{tab:susp-i}
	\begin{tabular}{|l|l|}
		\hline
		název & popis \\ \hline
		WhlPz & Vzdálenost středu disku od země $ \left[\unit{m}\right] $ \\ \hline
		WhlRe & Efektivní poloměr pneumatiky $ \left[\unit{m}\right] $ \\ \hline
		WhlVz & Rychlost pneumatiky v~ose Z~$ \left[\unit{m/s}\right] $\\ \hline
		WhlFx & Podélná síla působící na vůz $ \left[\unit{F}\right] $ \\ \hline
		WhlFy & Příčná síla působící na vůz $ \left[\unit{F}\right] $ \\ \hline
		WhlM & Vektor točivých momentů působících na zavěšení $ \left[\unit{Nm}\right] $ \\ \hline
		VehP & Vzdálenost bodů zavěšení od těžiště $ \left[\unit{m}\right] $ \\ \hline
		VehV & Vektor rychlosti bodů zavěšení $ \left[\unit{m/s}\right] $ \\ \hline
		StrgAng & Úhel natočení zatáčené nápravy $ \left[\unit{rad}\right] $ \\ \hline
	\end{tabular}
\end{table}

\begin{table}
	\centering
	\caption{Výstupy modelu odpružení}
	\label{tab:susp-o}
	\begin{tabular}{|l|l|}
		\hline
		název & popis \\ \hline
		Info & Sběrnice všech vnitřních signálů \\ \hline
		VehF & Vektor síly působící na karoserii $ \left[\unit{rad}\right] $ \\ \hline
		VehM & Vektor momentů působících na karoserii $ \left[\unit{rad}\right] $ \\ \hline
		WhlF & Zatěžovací síla působící na pneumatiku $ \left[\unit{rad}\right] $ \\ \hline
		WhlV & Vektor rychlosti pneumatiky $ \left[\unit{rad}\right] $ \\ \hline
		WhlAng & Geometrické úhly $ \left[\unit{rad}\right] $ \\ \hline
	\end{tabular}
\end{table}

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[scale=1]{obrazky/mathworks/susp_double_wishbone}
	\caption{Model odpružení}
	\label{obr:susp}
\end{figure}


Tento model popisuje chování odpružení, což znamená chování pružiny s~tlumičem a změny úhlů odklonu a sbíhavosti.
Umožňuje modelovat libovolný počet náprav s~libovolným počtem kol.
Vstupem do modelu jsou rychlosti a pozice jak kola, tak karoserie a síly a momenty způsobené interakcí kola s~vozovkou, výstupem jsou poté síly a momenty působící na karoserii, zatěžovací síla pneumatiky a rychlost pneumatiky v~ose $ \const{XY} $.
Seznam vstupů je v~tabulce \ref{tab:susp-i}, seznam výstupů v~tabulce \ref{tab:susp-o} a je zobrazen na obrázku \ref{obr:susp}.

Tento model ale trpí velkým nedostatkem, nelze v~něm modelovat kinematiku, ta popisuje pohyb jednotlivých ramen.
Z~kinematického modelu se poté určí závislosti úhlů jako je odklon nebo sbíhavost na aktuální výšce zavěšení.
Absence kinematického modelu je v~toolboxu kompenzována možností zadání lineární závislostí těchto úhlů, což není optimální, protože reálné závislosti jsou dost nelineární.


\section{Model pneumatiky}
\label{sec:pneu}

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[scale=1]{obrazky/mathworks/wheel_2dof}
	\caption{Model pneumatiky}
	\label{fig:tire}
\end{figure}

\begin{table}
	\centering
	\caption{Vstupy do modelu pneumatiky}
	\label{tab:tire-i}
	\begin{tabular}{|l|l|}
		\hline
		Název & Popis \\
		\hline
		BrkPrs & Tlak v~brzdovém systému $ \left[\unit{Pa}\right] $ \\
		\hline
		AxlTrq & Točivý moment působící na kolo $ \left[\unit{Nm}\right] $ \\
		\hline
		Vx & Rychlost kola v~ose X $ \left[\unit{m/s}\right] $ \\
		\hline
		Vy & Rychlost kola v~ose Y $ \left[\unit{m/s}\right] $ \\
		\hline
		Camber & Úhel odklonu pneumatiky $ \left[\unit{rad}\right] $ \\
		\hline
		YawRate & Úhlová rychlost pneumatiky kolem osy Z~$ \left[\unit{rad/s}\right] $ \\
		\hline
		Prs & Tlak vzduchu v~pneumatice $ \left[\unit{Pa}\right] $ \\
		\hline
		Gnd & Vzdálenost peumatiky od země v~ose Z~$ \left[\unit{m}\right] $ \\
		\hline
		Fext & Normálová síla $ \left[\unit{N}\right] $ \\
		\hline
		ScaleFctrs & Škálovací koeficienty pro model pneumatiky \\
		\hline
	\end{tabular}
\end{table}

\begin{table}
	\centering
	\caption{Výstupy modelu pneumatiky}
	\label{tab:tire-o}
	\begin{tabular}{|l|l|}
		\hline
		Název & Popis \\
		\hline
		Info & Sběrnice všech vnitřních signálů \\
		\hline
		Omega & Úhlová rychlost kola v~ose Y $ \left[\unit{rad}\right] $ \\
		\hline
		Fx & Podélná síla vyvinutá pneumatikou $ \left[\unit{N}\right] $ \\
		\hline
		Fy & Příčná síla vyvinutá pneumatikou $ \left[\unit{N}\right] $ \\
		\hline
		Fz & Svislá síla vyvinutá pneumatikou $ \left[\unit{N}\right] $ \\
		\hline
		Mx & Točivý moment působící kolem osy X $ \left[\unit{Nm}\right] $ \\
		\hline
		My & Točivý moment působící kolem osy Y $ \left[\unit{N}\right] $ \\
		\hline
		Mz & Točivý moment působící kolem osy Z~$ \left[\unit{Nm}\right] $ \\
		\hline
	\end{tabular}
\end{table}

\begin{figure}
	\subfloat[Bez propojení]{
		\label{obr:tire-fx-0} \includegraphics[width=0.5\linewidth]{obrazky/matlab/fx-0.pdf}}
	\subfloat[S propojením]{
		\label{obr:tire-fx-1} \includegraphics[width=0.5\linewidth]{obrazky/matlab/fx-1.pdf}}
	\caption{Porovnání průběhu podélné síly pneumatik při akceleraci}
	\label{obr:tire-fx}
\end{figure}


Chování pneumatik je extrémně nelineární a popisuje je celá řada modelů.
Tyto modely jsou více či méně přesné\cite{tire-models}, většinou popisují reakční síly pneumatiky v~závislosti na prokluzu, zatížení a dalších parametrech.
Obecně uznávaný model je Pacejkův "Magic Formula", nicméně tento model je velmi komplikovaný, obsahuje 10 až 20 koeficientů\cite{pacejka-mf}\cite{tire-models}, kde většina z~nich nemá fyzikální základ.

V~semestrální práci\cite{semestralka} jsem použil modifikovaný Dugofův model\cite{pneu-mod-dug}, protože byl jednoduchý na implementaci a od Pacejkova modelu se příliš neodchyloval.
Hlavním nedostatkem Dugofova modelu je, že se tento model skládá pouze ze dvou statických převodních charakteristik, jedné pro podélnou sílu a druhé pro příčnou sílu, a tyto charakteristiky závisely pouze na několika parametrech.

Nyní používám implementaci Pacejkova modelu z~Matlabu\cite{matlab-tire}, pro který mám parametry námi využívané pneumatiky od výrobce.
Tento model také simuluje chování hmoty kola a bere v~úvahu vstupy jako jsou točivý moment na hřídeli, tlak v~brzdovém systému, výšku země, úhel odklonu a tlak pneumatiky.

Tento model popisuje všechny podstatné jevy, nicméně má několik nedostatků.
Prvním nedostatkem je to, že neobsahuje transformaci souřadnic ze systému karoserie na systém disku, takže tuto transformaci musím provést dedikovaným blokem, který si musím vyrobit, což zhoršuje přehlednost modelu.

Druhým problémem je nejasné chování modelu pneumatiky.
Dokumentace\cite{matlab-tire} zmiňuje, že výsledný točivý moment působící na pneumatiku je součtem točivého momentu na poloose, točivého momentu způsobeného brzdným účinkem, a točivého momentu způsobeného pneumatikou.
Při oživování modelu jsem ale zpozoroval zajímavého chování.
Přední nehnaná kola nepůsobila vždy zápornou podélnou silou při akceleraci.
Toto je znázorněno na obrázku \ref{obr:tire-fx-0}, kde je v~horní polovině znázorněna podélná síla způsobená pneumatikami a dole je znázorněna síla zadních pneumatik.
Protože zadní pneumatiky jsou poháněny motory, působí velkou kladnou sílu úměrnou zrychlení, což je očekávané chování, ale přední kola se chovají zvláštně.
Většinu času totiž působí sílu také ve směru jízdy, což nedává smysl.
Proto jsem jak u~hnaných, tak nehnaných kol zavedl vazbu od točivého momentu v~ose Y, který vyjadřuje valivé tření, která tento moment odečítá od točivého momentu vstupujícího do modelu pneumatiky.
Výsledný průběh je vidět na obrázku \ref{obr:tire-fx-1} a nyní už přední nehnaná kola působí vždy silou zápornou.

\subsection{Prokluz pneumatiky}
\label{sec:prokluz}

V~semestrální práci\cite{semestralka} jsem se zabýval definicí prokluzu, protože model\cite{pneu-mod-dug}, který jsem v~ní používal, měl definici nevyhovující.
Model pneumatiky z~Matlabu\cite{matlab-tire} používá SAE\cite{J670_200801} defnici prokluzu:

\begin{equation}
	\acs{s} = -\dfrac{\acs{vz} - \acs{vk}}{\acs{vz}}
	\label{eq:slip-sae}
\end{equation}

Kde \acs{vz} je rychlost vozovky pod kolem a \acs{vk} je obvodová rychlost kola.
Z~této rovnice je vidět, že se při nízké rychlosti vozovky prokluz velmi prudce mění, což se ukázalo jako problematická vlastnost.

\section{Model motoru}
\label{sec:motor}

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[scale=0.5]{obrazky/mathworks/motor}
	\caption{Model motoru}
	\label{fig:motor}
\end{figure}

\begin{table}
	\centering
	\caption{Vstupy do modelu motoru}
	\label{tab:motor-i}
	\begin{tabular}{|l|l|}
		\hline
		Název & Popis \\
		\hline
		BattVolt & Napětí meziobvodu $ \left[\unit{Nm}\right] $ \\
		\hline
		TrqCmd & Žádaný točivý moment $ \left[\unit{Nm}\right] $ \\
		\hline
		MtrSpd & Otáčky hřídele motoru $ \left[\unit{Nm}\right] $ \\
		\hline
	\end{tabular}
\end{table}

\begin{table}
	\centering
	\caption{Výstupy modelu motoru}
	\label{tab:motor-o}
	\begin{tabular}{|l|l|}
		\hline
		Název & Popis \\
		\hline
		Info & Sběrnice všech vnitřních signálů \\
		\hline
		BattCurr & Proud odebíraný z~meziobvodu $ \left[\unit{A}\right] $ \\
		\hline
		MtrTrq & Točivý moment motoru $ \left[\unit{Nm}\right] $ \\
		\hline
	\end{tabular}
\end{table}

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=\linewidth]{obrazky/matlab/motor.pdf}
	\caption{Momentová a výkonová křivka motoru}
	\label{obr:motor}
\end{figure}

\begin{table}
	\centering
	\caption{Vybrané parametry motoru}
	\label{tab:motor}
	\begin{tabular}{|l|l|r|l|}
		\hline
		Napětí meziobvodu & $ U_\textind{dc} $ & $ 400 $ & $ \unit{V} $ \\ \hline
		Odpor mezi vývody & $ R_\textind{2ph} $ & $ 0,023 $ & $ \Omega $ \\ \hline
		Indukčnost mezi vývody & $ L_\textind{2ph} $ & $ 0,54 $  & $ \unit{mH} $ \\ \hline
		Počet pólů & $ \const{2p} $ & $ 10 $ & \\ \hline
	\end{tabular}
\end{table}

Náš vůz bude poháněn dvěma motory N6-2400-55-400A od firmy TG~drives.
Jsou to synchronní motory s~permanentními magnety.
Výhodou tohoto typu motorů je vysoký točivý moment v~malém objemu a hmotnosti.
Momentová a výkonová charakteristika je znázorněna na obrázku \ref{obr:motor}.
Další parametry motoru jsou v~tabulce \ref{tab:motor}, tyto parametry ale nejsou konečné, protože motor je stále ve vývoji.

Parametry jsem vložil do bloku modelu elektrického motoru\cite{matlab-motor}.
Tento model popisuje obecný elektrický točivý stroj v~momentové řídicí smyčce.
Tento blok bere v~úvahu také ztráty, ale protože nám nejsou známé, simuluji motor beze ztrát.
Vstupem do modelu je požadovaný točivý moment, otáčky motoru a napájecí napětí, výstupem je skutečný točivý moment a odebíraný proud, který odpovídá skutečnému odebíranému proudu i se ztrátami.

\section{Model hnaného kola}
\label{sec:kolo-hnane}

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[angle=90,height=\textheight]{obrazky/matlab/wheel-driven.png}
	\caption{Model hnaného kola}
	\label{obr:wheel-driven}
\end{figure}

\begin{table}
	\centering
	\caption{Vstupy do modelu hnaného kola}
	\label{tab:i-wheel-driven}
	\begin{tabular}{|l|l|l|}
		\hline
		číslo & název & popis \\ \hline
		1 & BattVolt & Napájecí napětí trakční baterie $\left[\unit{V}\right]$ \\ \hline
		2 & TrqCmd & Požadovaný točivý moment motoru $ \left[\unit{Nm}\right] $ \\ \hline
		3 & BrkPrs & Tlak brzdového systému $ \left[\unit{Pa}\right] $ \\ \hline
		4 & WhAng & Úhly zavěšení $ \left[\unit{rad};\unit{rad};\unit{rad}\right] $ \\ \hline
		5 & r & úhlová rychlost rotace karoserie kolem osy Z~$ \left[\unit{rad/s}\right] $ \\ \hline
		6 & gnd & Výška země $ \left[\unit{m}\right] $ \\ \hline
		7 & Fext & Zatěžovací síla pneumatiky $ \left[\unit{N}\right] $ \\ \hline
		8 & VhVel & vektor rychlosti karoserie v~bodě zavěšení $ \left[\unit{m/s}\right] $ \\ \hline
	\end{tabular}
\end{table}

\begin{table}
	\centering
	\caption{Výstupy do modelu hnaného kola}
	\label{tab:o-wheel-driven}
	\begin{tabular}{|l|l|l|}
		\hline
		číslo & název & popis \\ \hline
		1 & z~& Výška pneumatiky $ \left[\unit{m}\right] $ \\ \hline
		2 & Re & Efektivní poloměr pneumatiky $ \left[\unit{m}\right] $ \\ \hline
		3 & vz & Rychlost pneumatiky v~ose Z~$ \left[\unit{m/s}\right] $ \\ \hline
		4 & F & vektor reakční síly pneumatiky $ \left[\unit{N}\right] $ \\ \hline
		5 & M & vektor točivých momentů pneumatiky $ \left[\unit{Nm}\right] $ \\ \hline
		6 & alpha & úhel prokluzu pneumatiky $ \left[\unit{rad}\right] $ \\ \hline
		7 & Mmax & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}maximální moment, který je motor\\ schopný dodat při aktuálních otáčkách $ \left[\unit{Nm}\right] $ \end{tabular} \\ \hline
		8 & BattCurr & proud odebíraný z~baterie $ \left[\unit{A}\right] $ \\ \hline
		9 & w & úhlová rychlost otáčení kola $\left[\unit{rad/s}\right]$ \\ \hline
	\end{tabular}
\end{table}

Tento model popisuje kolo poháněné motorem.
Skládá se z~modelu pneumatiky popsaného v~kapitole \ref{sec:pneu}, modelu pohonné jednotky popsané v~kapitole \ref{sec:motor}, modelu převodovky a modelu poloosy.
Převodovka je modelovaná pouze jako převodový poměr s~účinností, bez momentu setrvačnosti, protože přesné hodnoty hmotnosti nebyly známy.
Poloosa je modelovaná torzním prvkem, který je zde spíše pro kompletnost modelu, protože výstupem z~momentu setrvačnosti motoru jsou otáčky, kdežto vstupem pro model pneumatiky je točivý moment.
Torzní prvek je zde právě pro převod otáček na točivý moment.
Vstupem do tohoto prvku jsou otáčky obou jeho konců, z~jejich rozdílu se spočítá zkrut.
Výstupem je síla, působící na obě strany tohoto prvku a je přímo úměrná tomuto zkrutu.
Torzní tuhost tohoto prvku jsem nastavil velmi vysoko, protože kroucení hřídele je nežádoucí, navíc mi kolegové zabývající se mechanikou řekli, že torzní tuhost poloos zanedbávají a přesný údaj nemají.
Pohled na kompletní model je na obrázku \ref{obr:wheel-driven}.

Model by se dal popsat následovně:
Motor generuje točivý moment, od kterého se odečte zatěžovací moment, a výsledný moment roztáčí setrvačnost rotoru motoru.
Tato setrvačnost poté přes převod roztáčí torzní prvek na jehož druhém konci je kolo.
Rozdíl rychlosti motoru a kola způsobí točivý moment, který působí na motor i kolo a roztáčí moment setrvačnosti kola.
Kolo poté vygeneruje síly a momenty v~závislosti na rozdílu obvodové rychlosti pneumatiky a rychlosti země.
Tyto síly a momenty poté působí na karoserii vozu přes model zavěšení.
K~modelu motoru jsem navíc přidal vyhledávací tabulku obsahující momentovou charakteristiku.
Ta slouží jako jeden ze vstupů pro omezení saturace v~systémech \acs{tcs} a \acs{esp}, které navrhuji v~této práci.

Model také obsahuje bloky \texttt{veh2tire} a \texttt{tire2veh}.
Blok \texttt{veh2tire} převádí vstupní veličiny ze souřadného systému podvozku do souřadného systému disku a \texttt{tire2veh} převádí výstupní veličiny zpět.

\section{Model nehnaného kola}

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=\linewidth]{obrazky/matlab/wheel-nondriven.png}
	\caption{Model nehnaného kola}
	\label{obr:wheel-nondriven}
\end{figure}

\begin{table}
	\centering
	\caption{Vstupy do modelu nehnaného kola}
	\label{tab:i-wheel-nondriven}
	\begin{tabular}{|l|l|l|}
		\hline
		číslo & název & popis \\ \hline
		1 & BrkPrs & Tlak brzdového systému $ \left[\unit{Pa}\right] $ \\ \hline
		2 & WhAng & Úhly zavěšení $ \left[\unit{rad};\unit{rad};\unit{rad}\right] $ \\ \hline
		3 & r & úhlová rychlost rotace karoserie kolem osy Z~$ \left[\unit{rad/s}\right] $ \\ \hline
		4 & gnd & Výška země $ \left[\unit{m}\right] $ \\ \hline
		5 & Fext & Zatěžovací síla pneumatiky $ \left[\unit{N}\right] $ \\ \hline
		6 & VhVel & vektor rychlosti karoserie v~bodě zavěšení $ \left[\unit{m/s}\right] $ \\ \hline
	\end{tabular}
\end{table}

\begin{table}
	\centering
	\caption{Výstupy do modelu nehnaného kola}
	\label{tab:o-wheel-noodriven}
	\begin{tabular}{|l|l|l|}
		\hline
		číslo & název & popis \\ \hline
		1 & z~& Výška pneumatiky $ \left[\unit{m}\right] $ \\ \hline
		2 & Re & Efektivní poloměr pneumatiky $ \left[\unit{m}\right] $ \\ \hline
		3 & vz & Rychlost pneumatiky v~ose Z~$ \left[\unit{m/s}\right] $ \\ \hline
		4 & F & vektor reakční síly pneumatiky $ \left[\unit{N}\right] $ \\ \hline
		5 & WhlM & vektor točivých momentů pneumatiky $ \left[\unit{Nm}\right] $ \\ \hline
		6 & alpha & úhel prokluzu pneumatiky $ \left[\unit{rad}\right] $ \\ \hline
		7& w & úhlová rychlost otáčení kola $\left[\unit{rad/s}\right]$ \\ \hline
	\end{tabular}
\end{table}

Tento model popisuje volně se otáčející kolo.
Vychází z~modelu hnaného kola z~kapitoly \ref{sec:kolo-hnane}, ale neobsahuje model motoru ani hřídele.
Je zde pouze vazba z~valivého odporu pneumatiky na vstup točivého momentu do modelu z~důvodu, který jsem popsal v~kapitole \ref{sec:pneu}.


