OBRÁTIL, Š. Vyšetřování stability numerických metod pro diferenciální rovnice se zpožděným argumentem [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. 2019.

Posudek vedoucího

Tomášek, Petr

Předložená diplomová práce se věnuje numerickému řešení diferenciálních rovnic se zpožděným argumentem. Především je rozpracována tématika aspektů stability pro diferenciální rovnice s proporcionálním zpožděním. Student v práci uvádí přehled základních druhů stability numerických formulí v návaznosti na stabilitu testovacích rovnic. Těžiště práce spočívalo v numerické analýze a srovnání vybraných numerických přístupů na testovací rovnici pantografu. Byly formulovány závěry komentující některá specifika studované úlohy. Mimo jiné student na základě z literatury známých výsledků odvodil omezení na parametry kvazigeometrické sítě tak, aby lokální diferenční schéma vykazovalo stabilní charakter v rámci řešeného intervalu v případech, kdy se od určitého okamžiku stává numerická formule z podstaty nestabilní. Práce vykazuje adekvátní rešeršní přípravu a je podpořena přiloženou sérií funkcí a skriptů, na kterých je uvedená numerická analýza založena a která ilustruje jednotlivé diskutované případy. Student při práci prokázal své schopnosti samostatného tvůrčího uvažování a schopnosti realizovat a analyzovat matematické modely v prostředí Matlab. Práce obsahuje pouze několik pravopisných chyb. Celkově práce působí logicky uspořádaně a závěry jsou jasně formulovány. S ohledem na výše uvedené hodnotím práci A/výborně.

Posudek oponenta

Jánský,, Jiří

Práce je členěna do pěti kapitol. Po úvodu se student v druhé kapitole věnuje teorii zpožděných diferenciálních rovnic. Na závěr kapitoly jsou rovněž zmíněny některé technické aplikace těchto rovnic. Ve třetí kapitole se student věnuje popisu numerických metod pro řešení diferenciálních rovnic se zpožděním včetně popisu typů stability těchto metod. Ve čtvrté kapitole jsou popsány hlavní výsledky. Je zde vyřešena rovnice pantografu, při pevně daných koeficientech, pomocí různých numerických metod popsaných v kapitole tři. Dotyčné metody jsou zde také podrobně okomentovány. V práci jsem nalezl následující nepřesnosti: • Odkazy na literaturu jsou mnohde nedostatečné. Například v kapitole 2. 3., při popisu metody kroků, není ani jeden. V kapitole 3. 2. jsem nalezl jen dva. Jeden na řádku 21^13 a jeden na řádku 25_2. Není z nich však patrno, jestli všechny zde popsané metody jsou brány zrovna z těchto zdrojů, či některé byly převzaty odjinud. Podobně zde není explicitně napsáno, že podmínka (4.13) byla převzata z literatury, zatímco podmínka (4.14) byla studentem samostatně odvozena. • Nenalezl jsem v textu nikde citace publikací s čísly [5,9,10,17,18,22]. • Na řádku 4_2 je chybně vyznačen interval . Například pro q=1/2 a t_0=1/2 by počáteční podmínka (2.3) nebyla definována na dostatečně velkém intervalu. Navíc za výrazem t_0>0 nepatří tečka. • Ve výrazu (2.20) nejsou vysvětleny použité symboly. (Minimálně zde chybí odkaz na stranu 49, kde je jen velmi stručně uveden jejich význam.) • V textu je uvedeno, že Obrázek 2.1 ilustruje oblast asymptotické stability pro případ, kdy jsou koeficienty rovnice komplexní. Obrázek 2.1 je však, bez jakéhokoliv upozornění, vykreslen za předpokladu reálných koeficientů. • Koeficienty rovnice (4.1) uvažuje komplexní. Přesto bez upozornění, v rovnici (4.2) podle věty na řádku 27_7 a podle příslušných obrázků na straně 28, patrně uvažuje koeficient b reálný. • Symbol f je na prvních pěti stranách užíván zcela bez vysvětlení. Ve vztahu (2.1) má význam komplexní funkce n+1 proměnných. Ve vztahu na řádku 4_10 má význam vektorové komplexní funkce k+l+2 proměnných a ve vztahu (2.5) je použit jako celočíselný index udávající počet intervalů. (Toto použití bylo patrně převzato z literatury.) Význam symbolu f je popsán až na straně 8. • Ve vztahu (3.9) v zápisu k=, 1, 2, … přebývá čárka. • Na řádku 11^3 by bylo dobré zopakovat, že nestacionární čtvercové matice A, B řádu d uvažuje komplexní. (Pro toho, kdo si to nepamatuje ze strany 4.) • V horní části Tabulek 4.1 a 4.2 by bylo u kvazi-geometrické sítě logičtější nemít konstantní délku intervalů. Myslím, že to byl záměr autora, avšak neznalého čtenáře, snažícího se pochopit princip této metody, to dost mate. I přes výše uvedené nedostatky student prokázal plné pochopení všech metod o kterých psal. Tyto metody nejen srovnal a pečlivě okomentoval, ale také funkčně implementoval v programech v Matlabu. Přes větší počet nepřesností je vidět, že se student v problematice velmi dobře orientuje.

eVSKP id 116749