\chapter{Stabilita}
\label{chap:1}

Je to jeden ze základních požadavků, které klademe na dynamický systém. Stabilita dynamického systému je schopnost vrátit systém po vyvedení z jeho rovnovážného stavu
vlivem poruchy nebo změny hodnoty dané veličiny do stavu původního nebo jiného, avšak opět rovnovážného. Jinak řečeno je stabilita schopnost obvodu udržet se v okolí
rovnovážného stavu nebo se do něj opětovně navracet po odeznění vnějších faktorů, které způsobují jeho vychýlení. \cite{tuma} Matematicky lze stabilitu definovat jako
%
\begin{equation}
	\lim_{t \rightarrow \infty} y(t)= 0.
	\label{eq:1}
\end{equation}

Z hlediska stability rozlišujeme systémy stabilní, na mezi stability a nestabilní. S tím, že systémy na mezi stability se považují za stabilní. Příklady průběhů jsou znázorněny na obr.\,\ref{fig:1}.

\begin{wrapfigure}{l}{0pt}
\includegraphics[width=.65\columnwidth]{obrazky/stabilita.pdf}
\caption{Příklady průběhů $ y(t) $ \cite{navratil}}
\label{fig:1}
\end{wrapfigure}

\noindent
%
1 -- nestabilní aperiodický systém (kladné reálné kořeny)

\noindent
%
2 -- nestabilní kmitavý \linebreak systém (kladná reálná část komplexně sdružených kořenů)

\noindent
%
3 -- systém na hranici stability (dva imaginární kořeny)

\noindent
%
4 -- stabilní kmitavý systém (záporná reálná část komplexně sdružených kořenů)

\noindent
%
5 -- stabilní aperiodický \linebreak systém (záporné reálné kořeny)

\begin{figure}[h]
\centering
\subfloat[průběh 1]{\includegraphics[width=.2\columnwidth]{obrazky/s1.pdf}}
\subfloat[průběh 2]{\includegraphics[width=.2\columnwidth]{obrazky/s2.pdf}}
\subfloat[průběh 3]{\includegraphics[width=.2\columnwidth]{obrazky/s3.pdf}}
\subfloat[průběh 4]{\includegraphics[width=.2\columnwidth]{obrazky/s4.pdf}}
\subfloat[průběh 5]{\includegraphics[width=.2\columnwidth]{obrazky/s5.pdf}}
\caption{Rozložení pólů v komplexní rovině pro průběhy podle obr.\,\ref{fig:1} \cite{navratil}}
\label{fig:1b}
\end{figure}




\section{Podmínky stability}
\label{sec:1.1}

Jedním z důležitých parametrů je \textbf{postačující podmínka stability}, která říká, že jakmile jsou všechny kořeny \( s_i \) jmenovatele přenosu v levé části komplexní roviny, tzn.~všechny póly mají zápornou reálnou část
%
\begin{equation}
\mbox{Re} \, s_i \leq 0 \qquad \mbox{pro} \qquad i = 1, \cdots, n,
\label{eq:2}
\end{equation}

\noindent
%
je lineární spojitý dynamický systém stabilní, viz obr.\,\ref{fig:2}.

Neméně důležitým parametrem je \textbf{Stodolova nutná podmínka stability}, pro jejíž splnění musíme zajistit, aby všechny koeficienty jmenovatele přenosu (polyno-mu) měly stejné znaménko a žádný z nich nebyl roven nule, resp.\,existovaly všechny koeficienty charakteristické rovnice.

Charakteristická rovnice, nebo také tzv.\,charakteristický mnohočlen, lze podle \cite{scevik} popsat vztahem
%
\begin{equation}
	P(s) = a_{n} s^{n} + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_{2} s^{2} + a_{1} s + a_{0},
	\label{eq:3}
\end{equation}
%
\noindent
%
kde \( \mbox{a}_i \) jsou konstanty vypočtené z počátečních podmínek.
%
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=.5 \columnwidth]{obrazky/oblast.pdf}
\caption{Oblasti komplexní roviny $ s $ \cite{scevik}}
\label{fig:2}
\end{figure}

Kontrola stability spočívá v určení rozložení kořenů charakteristické rovnice \linebreak
v komplexní rovině. Pokud můžeme kořeny vyčíslit, použijeme Stodolovu nutnou podmínku stability a postačující
podmínku stability. Jinak používáme pravidla, díky kterým lze rozhodnout o stabilitě i bez
přímého výpočtu kořenů. Tato pravidla se nazývají kritéria stability. V následujících
odstavcích jsou uvedena některá z často používaných. \cite{tuma}



\chapter{Kritéria stability}
\label{chap:2}

\noindent
%
\textbf{Algebraická:}

\noindent
%
Nemohou se použít při vyšetřování stability systémů s dopravním zpožděním.

\begin{enumerate}

\item Hurwitzovo (kapitola \ref{sec:2.1})
\item Routhovo (kapitola \ref{sec:2.2})
\item Routh-Shurovo (kapitola \ref{sec:2.3})

\end{enumerate}

\noindent
%
\textbf{Geometrická:}

\noindent
%
Někdy též frekvenční. Jsou pracnější, neurčují však pouze stav stability, ale
poskytují též informace o míře stability.

\begin{enumerate}

\item Nyquistovo (kapitola \ref{sec:2.4})
\item Michajlovo-Leonhardovo (kapitola \ref{sec:2.5})

\end{enumerate}



\section{Hurwitzovo kritérium stability}
\label{sec:2.1}

Platí zde tzv. Stodolova nutná podmínka stability (kap. \ref{sec:1.1}). Je-li charakteristický mnohočlen řádu \( n \leq 2 \), Stodolova podmínka přechází v nutnou a postačující podmínku stability. V opačném případě je nutno sestrojit z koeficientů charakteristické rovnice Hurwitzův determinant \( n \)-tého stupně ve tvaru
%
\begin{eqnarray}
\matice{H}_{n-1} =
\left|
\begin{array}{ccccc}
a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} &\cdots & 0\\
a_{n} & a_{n-2} & a_{n-4} &\cdots & 0\\
0 & a_{n-1} & a_{n-3} &\cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots& \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 &\cdots & a_0\\
\end{array}
\right|.
\label{eq:7}
\end{eqnarray}

Hlavní rohové subdeterminanty jsou
%
\begin{equation}
\matice{H}_1 = a_{n-1}, \matice{H}_2 = \left|
\begin{array}{cc}
a_{n-1} & a_{n-3} \\
a_{n} & a_{n-2} \\
\end{array}
\right|, 
\matice{H}_3 = \left|
\begin{array}{ccc}
a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} \\
a_{n} & a_{n-2} & a_{n-4} \\
0 & a_{n-1} & a_{n-3} \\
\end{array}
\right|, \cdots , \matice{H}_n = a_0 \matice{H}_{n-1}.
\label{eq:8}
\end{equation}

Podle Hurwitzova kritéria je systém stabilní právě tehdy, když hlavní subdeterminanty jsou kladné,
%
\begin{equation}
\matice{H}_i > 0 \qquad \mbox{pro} \qquad i = 2, \cdots , n-1.
\label{eq:9}
\end{equation}

První a poslední rohový subdeterminant se počítat nemusí, protože je-li splněna
Stodolova podmínka, jsou dané subdeterminanty vždy kladné. Pokud je jeden z rohových subdeterminantů roven nule, systém se pak nachází na kmitavé mezi stability, tzn.\,charakteristická rovnice má dvojici ryze imaginárních kořenů. Je-li ale koeficient charakteristické rovnice \( a_0 = 0 \) a všechny
rohové subdeterminanty jsou kladné, systém je na nekmitavé mezi stability, tzn.\,char. rovnice má nulový kořen.~\cite{tuma}



\section{Routhovo kritérium stability}
\label{sec:2.2}

Opět se jedná o algebraické kritérium, které ke svému výpočtu využívá charakteristickou rovnici. Vychází z něj Routh-Schurovo kritérium stability (kap. \ref{sec:2.3}).

Routhovo kritérium stability je známá metoda k vyšetřování stability charakteristik filtrů. Při použití tohoto testování se uvažuje jednopólový model pro každý \linebreak z proudových zesilovacích činitelů \( \alpha_{11} = \alpha_{11_{0}} / (1 + \tau_{1} s) \ \mbox{a} \ \alpha_{21} = \alpha_{21_{0}} / (1 + \tau_{2} s) \). \linebreak Ty jsou následně dosazeny do jmenovatele \( D(s) \) ve vztahu (\ref{eq:30}). Póly jsou závislé na způsobu výroby obvodu. Definujme tedy \( \omega_{\textind{\alpha}1} = 1 / \tau_{1} \ \mbox{a} \ \omega_{\textind{\alpha}2} = 1 / \tau_{2} \), jež korespondují s \( \alpha_{11} \ \mbox{a} \ \alpha_{21} \). V blízkosti jedničky se nachází \( \alpha_{11_{0}}  \ \mbox{a} \ \alpha_{21_{0}} \), které odpovídají stejnosměrnému proudovému zesílení \( \alpha_{11} \ \mbox{a} \ \alpha_{21} \). \cite{yuce} Řešení více probíráno v kap.\,\ref{sec:3.2}.

Routhovo kritérium stability nám říká, zda-li jsou nebo nejsou kořeny charakteristické rovnice stabilní bez toho, aniž bychom je museli vyčíslovat.
Kritérium se používá pouze na polynomy s konečným počtem kořenů. Při použití na systém, který chceme zkoumat, můžeme získat informace o stabilitě přímo z koeficientů charakteristické rovnice. \cite{ogata} Nejprve je ale třeba mít mnohočlen ve tvaru
%
\begin{equation}
a_{0} s^{n} + a_{1} s^{n-1} + \cdots + a_{n-1} s + a_{n} = 0,
\label{eq:9b}
\end{equation}

\noindent
%
kde všechny koeficienty jsou reálné a předpokládáme, že \( a_{n} \neq 0 \).

Jestliže jsou všechny koeficienty kladné (v opačném případě nemusíme dále \linebreak pokračovat v řešení), setřídíme je v řádcích a sloupcích následovně:

\begin{displaymath}
\begin{array}{ccccccc}
s^{n} &  & a_{0} & a_{2} & a_{4} & a_{6} & \cdots \\
s^{n-1} &  & a_{1} & a_{3} & a_{5} & a_{7} & \cdots \\
s^{n-2} &  & b_{1} & b_{2} & b_{3} & b_{4} & \cdots \\
s^{n-3} &  & c_{1} & c_{2} & c_{3} & c_{4} & \cdots \\
s^{n-4} &  & d_{1} & d_{2} & d_{3} & d_{4} & \cdots \\
\vdots &  & \vdots & \vdots &  &  &  \\
s^{2} &  & e_{1} & e_{2} &  &  &  \\
s^{1} &  & f_{1} &  &  &  &  \\
s^{0} &  & g_{1} &  &  &  & 
\end{array}
\end{displaymath}

Když jsou všechny koeficienty \( a \) záporné, můžeme obě strany rovnice vynásobit \( - 1 \) a tím je převést do kladných hodnot. Nyní se dají postupně začít vyčíslovat koeficienty v jednotlivých řádcích. 

\begin{align*}
    b_{1} &= \frac{a_{1} a_{2} - a_{0} a_{3}}{a_{1}} \\
    b_{2} &= \frac{a_{1} a_{4} - a_{0} a_{5}}{a_{1}} \\
    b_{3} &= \frac{a_{1} a_{6} - a_{0} a_{7}}{a_{1}} \\
    			& \ \,\vdots
\end{align*}

Výpočet koeficientů \( b \) pokračuje do té doby, dokud zbývající nejsou samé nuly. Stejný princip výpočtu se dá využít i na koeficienty \( c, d, e \), atd. Například:

\begin{align*}
    c_{1} &= \frac{b_{1} a_{3} - a_{1} b_{2}}{b_{1}} \\
    c_{2} &= \frac{b_{1} a_{5} - a_{1} b_{3}}{b_{1}} \\
    c_{3} &= \frac{b_{1} a_{7} - a_{1} b_{4}}{b_{1}} \\
    			& \ \,\vdots
\end{align*}



\section{Routh-Schurovo kritérium stability}
\label{sec:2.3}

V tomto algebraickém kritériu opět vycházíme z charakteristické rovnice. Podle daného algoritmu
provádíme postupnou redukci charakteristické rovnice na rovnici nižšího stupně, až se
dostaneme ke kvadratické rovnici. Podle Routh-Schurova kritéria je systém stabilní právě
tehdy, když se při redukci neobjeví záporné koeficienty a poslední tři koeficienty
výsledné rovnice jsou kladné. Koeficienty seřadíme buď od nejvyšších nebo nejnižších
mocnin a označíme si sudé koeficienty v pořadí. Každý sudý koeficient násobíme
podílem prvních dvou a napíšeme pod předcházející řadu posunutý o člen vlevo. Výslednou řadu, která má členy vždy ob jeden předcházející řady, odečteme právě od řady nad ní. Výsledná řada koeficientů je pak o první člen kratší (snížil se stupeň předchozí rovnice).
Stejným postupem pokračujeme, dokud \linebreak z charakteristické rovnice nezbude pouze rovnice druhého stupně -- tři koeficienty.~\cite{tuma}

Výpočet lze znázornit schématem:
%
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccccccccccc}
a_n & & \underline{a_{n-1}} & a_{n-2} & & \underline{a_{n-3}} & a_{n-4} & & \underline{a_{n-5}} & \cdots \\ % & \left/ \left( \frac{a_n}{a_{n-1}} \right) \right.
& \swarrow & & & \swarrow & & & \swarrow & & & \\
\frac{a_n}{a_{n-1}} a_{n-1} & & & \frac{a_n}{a_{n-1}} a_{n-3} & & & \frac{a_n}{a_{n-1}} a_{n-5} & & & \\ % &
\hline
0 &  & a_{n-1} & \underline{a_{n-2} - \frac{a_n}{a_{n-1}} a_{n-3}} & & a_{n-3} & \underline{a_{n-4} - \frac{a_n}{a_{n-1}} a_{n-5}} & & a_{n-5} & \cdots \\ % &
& & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & &
\end{array}
\label{schema}
\end{displaymath}

Toto kritérium je účelné použít obzvláště tehdy, když máme koeficienty charakteristické rovnice
vyjádřeny číselně. Stodolova podmínka (kap.\,\ref{sec:1.1}) je v tomto případě podmínkou nutnou.



\section{Nyquistovo kritérium stability}
\label{sec:2.4}

Je to kmitočtové kritérium, které rozhoduje o stabilitě zpětnovazebního obvodu na základě průběhu
kmitočtové charakteristiky otevřeného zpětnovazebního obvodu. Tuto charakteristiku lze určit
analyticky nebo i experimentálně, což při vyšetřování stability pomocí Nyquistova
kritéria zvýhodňuje toto kritérium v porovnání s ostatními kritérii stability. Další výhodou je, že ho lze použít i pro zpětnovazební obvod s dopravním zpožděním. \cite{tuma}

Charakteristická rovnice uzavřeného zpětnovazebního obvodu je dána vztahem
%
\begin{equation}
N(s) = 1 + G_0(s) = 0,
\label{eq:10}
\end{equation}

\noindent
%
kde \( G_0(s) \) je přenos otevřeného regulačního obvodu.

Nyquistovo kriterium stability pro stabilní otevřený zpětnovazební obvod zní: \linebreak \uv{Je-li otevřený zpětnovazební obvod stabilní, pak uzavřený zpětnovazební obvod bude
stabilní pravě tehdy, když amplitudo-fázová kmitočtová charakteristika otevřeného zpětnovazebního obvodu \( G_0( \mbox{j} \omega ) \) neobklopuje kritický bod
\( [ -1, \mbox{j}0 ] \).}

\begin{figure}[h]
\centering
\subfloat[stabilní systém]{\includegraphics[width=.3\columnwidth]{obrazky/obr1.pdf}}
\subfloat[systém na mezi stability]{\includegraphics[width=.3\columnwidth]{obrazky/obr2.pdf}}
\subfloat[nestabilní systém]{\includegraphics[width=.3\columnwidth]{obrazky/obr3.pdf}}
\caption{Příklady průběhů amplitudo-fázové kmitočtové charakteristiky \cite{tuma}}
\label{fig:3}
\end{figure}

Nyquistovo kriterium stability pro nestabilní otevřený zpětnovazební obvod zní: \linebreak \uv{Je-li otevřený zpětnovazební obvod nestabilní a má "`x"' nestabilních kořenů, pak uzavřený zpětnovazební obvod bude stabilní pravě tehdy, když amplitudo-fázová kmitočtová charakteristika otevřeného zpětnovazebního obvodu obklopí kriticky bod
\( [ -1, \mbox{j}0 ] \ \mbox{x}/2 \) krát.}

\begin{figure}[ht]
\centering
\subfloat[stabilní systém]{\includegraphics[width=.3\columnwidth]{obrazky/obr3x.pdf}}
\subfloat[systém na mezi stability]{\includegraphics[width=.3\columnwidth]{obrazky/obr2.pdf}}
\subfloat[nestabilní systém]{\includegraphics[width=.3\columnwidth]{obrazky/obr1.pdf}}
\caption{Příklady průběhů amplitudo-fázové kmitočtové charakteristiky \cite{tuma}}
\label{fig:4}
\end{figure}

V případě, že určujeme stabilitu lineárních zpětnovazebních obvodů a otevřený zpětnovazební obvod je stabilní, můžeme
použít analytické formulace Nyquistova kritéria. To spočívá v určení modulu a fáze
kmitočtového přenosu otevřeného zpětnovazebního obvodu nebo v určení reálné a imaginární části kmitočtového
přenosu otevřeného zpětnovazebního obvodu. \cite{tuma}

Uzavřený zpětnovazební obvod bude stabilní právě tehdy, když
%
\begin{equation}
\arg G_0 ( \mbox{j} \omega) = - \pi \qquad \Rightarrow \qquad \bmod{ G_0 ( \mbox{j} \omega) } < 1
\label{eq:11}
\end{equation}

	%\noindent
	%resp.
%
	%\begin{equation}
	%\arg G_0 ( \mbox{j} \omega_k) = - \pi \qquad \Rightarrow \qquad L (\omega_k) < 0
	%\label{eq:12}
	%\end{equation}

\noindent
nebo
%
\begin{equation}
\mbox{Im} \left\{ G_0 ( \mbox{j} \omega) \right\} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \mbox{Re} \left\{ G_0 ( \mbox{j} \omega) \right\} > - 1.
\label{eq:13}
\end{equation}



\section{Michajlovo-Leonhardovo kritérium stability}
\label{sec:2.5}

Vychází se z charakteristické rovnice uzavřeného obvodu (\ref{eq:10}). O stabilitě systému se rozhoduje
z průběhu tzv. Michajlovy křivky \( F ( \mbox{j} \omega ) \), kterou dostaneme dosazením komplexního kmitočtu \( \mbox{j} \omega \)
za komplexní proměnnou \uv{\( s \)} do polynomu \( F ( s ) \), platí \( ( s ) = \mbox{j} \omega \).
%
\begin{equation}
F ( \mbox{j} \omega ) = \left[ F ( s ) \right]_{s=\textind{j}\omega} = f_{n} ( \mbox{j} \omega )^{n} + f_{n-1} ( \mbox{j} \omega )^{n-1} +
\cdots + f_{1} \omega + f_{0} = U ( \omega ) + \mbox{j} V ( \omega )
\label{eq:14}
\end{equation}

\noindent
%
při podmínce: \( \omega \in \left\langle 0, \infty \right) \)

\begin{equation}
U ( \omega ) = f_{0} - f_{2} \omega^{2} + f_{4} \omega^{4} + \cdots
\label{eq:15}
\end{equation}

\begin{equation}
V ( \omega ) = f_{1} \omega - f_{3} \omega^{3} + f_{5} \omega^{5} + \cdots
\label{eq:16}
\end{equation}

	%\begin{figure}[h]
	%\centering
	%\includegraphics[width=.9\columnwidth]{obrazky/michajl.jpg}
	%\caption{Průběhy Michajlovových křivek pro různé případy}
	%\label{fig:5}
	%\end{figure}

Polynom \( F ( s ) \) je stabilní, pokud Michajlova křivka obchází bod \( [ 0, \mbox{j}0 ] \) v kladném smyslu, tj. proti směru hodinových ručiček. \cite{tuma}

