\chapter{Aplikace Routhova kritéria}
\label{chap:3}



\section{Proudový konvejor}
\label{sec:3.1}

Obecně můžeme analogové stavební bloky rozdělit do dvou základních režimů. \linebreak A to, podle obr.\,\ref{fig:cc1}, na režim napěťový a proudový. Některé bloky ale mohou pracovat v obou zmíněných režimech, protože mají brány napěťové i proudové. Většinou je podle \cite{becvar} proudový konvejor trojbran, i když v dnešní době se již běžně pracuje \linebreak i s mnohobrany.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=.7\columnwidth]{obrazky/bloky.pdf}
\caption{Rozdělení analogových struktur podle pracovního režimu \cite{becvar}}
\label{fig:cc1}
\end{figure}

Jedná se o aktivní prvek, který lze rozdělit do skupin první (\( i_{\textind{Y}} = i_{\textind{X}} \)), druhé (\( i_{\textind{Y}} = 0 \)) a třetí (\( i_{\textind{Y}} = - i_{\textind{X}} \)) generace s jednoduchým nebo rozdílovým vstupem. V průběhu let byly navrhovány různé typy proudových konvejorů, případně jejich modifikace. Za vrchol můžeme považovat univerzální proudový konvejor, pomocí kterého jdou realizovat všechny známé typy proudových konvejorů. Aby se mohlo uvažovat již při návrhu obvodů s co největším počtem proudových konvejorů, byl navrhnut tzv.\,zobecněný proudový konvejor (GCC) zobrazený na obr.\,\ref{fig:cc2}. Podle \cite{koton} může být GCC popsán rovnicemi:
%
\begin{equation}
u_{\textind{X}} = a \times u_{\textind{Y}}, \qquad i_{\textind{Y}} = b \times i_{\textind{X}}, \qquad i_{\textind{Z}} = c \times i_{\textind{X}},
\label{eq:cc1}
\end{equation}

\noindent
%
přičemž koeficienty mohou nabývat hodnot \( a = \left\{ -1;1 \right\}, b = \left\{ -1;0;1 \right\}, c = \left\{ -1;1 \right\} \), případně lze k popisu použít související maticovou rovnici
%
\begin{equation}
\left[
\begin{array}{c}
u_{\textind{X}} \\
i_{\textind{Y}} \\
i_{\textind{Z}} 
\end{array}
\right]
%
=
%
\left[
\begin{array}{ccc}
0 & a & 0 \\
b & 0 & 0 \\
c & 0 & 0
\end{array}
\right]
%
\left[
\begin{array}{c}
i_{\textind{X}} \\
u_{\textind{Y}} \\
u_{\textind{Z}} 
\end{array}
\right].
\label{eq:cc2}
\end{equation}

GCC může být také interpretovaný obrázkem\,\ref{fig:cc2}.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=.5\columnwidth]{obrazky/gcc.pdf}
\caption{Schématická značka GCC \cite{koton}}
\label{fig:cc2}
\end{figure}

V kapitole \ref{sec:2.2} byl popsán přenos aktivního prvku jednopólovým modelem, jehož detailnější vyjádření lze najít například v \cite{sponar}. Pro reálnější vyjádření je ale vhodné popisovat přenos vyššími řády, v našem případě dvoupólovým modelem, kdy
%
\begin{equation}
\alpha = \frac{\alpha_{0}\omega_{\alpha}^{2}}{s^{2} + s \frac{\omega_{\alpha}}{Q} + \omega_{\alpha}^{2}}.
\label{eq:35}
\end{equation}

V tomto případě uvažujeme parametr \( Q = \sqrt{2} / 2 \), tedy použití Butterworthovy maximálně ploché modulové charakteristiky.



\newpage
\section{Analýza stability}
\label{sec:3.2}

Mějme postup výpočtu převzatý z \cite{yuce}.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=.8\columnwidth]{obrazky/moccc.pdf}
\caption{První řešené schéma s konvejory \cite{yuce}}
\label{fig:cc3}
\end{figure}

Díky použití standardního označení MOCCCII z obr.\,\ref{fig:cc3} můžeme definovat \linebreak následující vztahy:
%
\begin{equation}
I_{\textind{Y}} = 0,
\label{eq:17}
\end{equation}
%
\begin{equation}
I_{\textind{Z}k} = \pm \alpha_{k} I_{\textind{X}},
\label{eq:18}
\end{equation}
%
\begin{equation}
U_{\textind{X}} = U_{\textind{Y}} + R_{\textind{x}} I_{\textind{X}},
\label{eq:19}
\end{equation}

\noindent
%
kde plus nebo mínus \( \alpha_{k} \) pro (\( k = 1, 2, \ldots \)) v (\ref{eq:18}) označuje \( k \)-tý kladný nebo záporný (\( I_{\textind{Z}+} \ \mbox{nebo} \ I_{\textind{Z}-} \)) výstup MOCCCII. Frekvenčně závislý proudový zesilovací činitel \( \alpha_{k} \) je v ideálním případě roven jedné. Vnitřní odpor bipolární realizace MOCCCII je dán
%
\begin{equation}
R_{\textind{x}} = \frac{U_{\textind{T}}}{2 I_{\textind{0}}},
\label{eq:20}
\end{equation}

\noindent
%
kde \( U_{\textind{T}} \) je termální napětí a \( I_{\textind{0}} \) proud nastavující vnitřní odpor konvejoru. Zanalyzu- \linebreak jeme-li obvod, dostaneme následující přenosové funkce filtru:
%
\begin{equation}
\frac{I_{\textind{DP}}}{I_{\textind{in}}} = \frac{1}{D(s)},
\label{eq:21}
\end{equation}
%
\begin{equation}
\frac{I_{\textind{PP}}}{I_{\textind{in}}} = \frac{s C_{2} R_{\textind{x}2}}{D(s)},
\label{eq:22}
\end{equation}
%
\begin{equation}
\frac{I_{\textind{HP}}}{I_{\textind{in}}} = \frac{s^{2} C_{1} C_{2} R_{\textind{x}1} R_{\textind{x}2}}{D(s)}
\label{eq:23}
\end{equation}

\noindent
%
a \( D(s) \), jenž je dán
%
\begin{equation}
D(s) = s^{2} C_{1} C_{2} R_{\textind{x}1} R_{\textind{x}2} + s C_{2} R_{\textind{x}2} + 1.
\label{eq:24}
\end{equation}

Ve vztazích (\ref{eq:21})\,--\,(\ref{eq:24}) je \( R_{\textind{x}i} \) pro (\( i = 1, 2 \)) vnitřní odpor \( i \)-tého konvejoru. Parametry \( \omega_{\textind{0}} \) a \( Q \) daného filtru spočítáme jako
%
%
\begin{equation}
\omega_{\textind{0}} = \sqrt{\frac{1}{C_{1} C_{2} R_{\textind{x}1} R_{\textind{x}2}}},
\label{eq:25}
\end{equation}
%
\begin{equation}
Q = \sqrt{\frac{C_{1} R_{\textind{x}1}}{C_{2} R_{\textind{x}2}}}.
\label{eq:26}
\end{equation}

Bereme-li v potaz proudový zesilovací činitel \( \alpha \), přechází přenosové funkce filtru a jejich jmenovatel na
%
\begin{equation}
\frac{I_{\textind{DP}}}{I_{\textind{in}}} = \frac{\alpha_{11} \alpha_{22}}{D(s)},
\label{eq:27}
\end{equation}
%
\begin{equation}
\frac{I_{\textind{PP}}}{I_{\textind{in}}} = \frac{s C_{2} R_{\textind{x}2} \alpha_{12}}{D(s)},
\label{eq:28}
\end{equation}
%
\begin{equation}
\frac{I_{\textind{HP}}}{I_{\textind{in}}} = \frac{s^{2} C_{1} C_{2} R_{\textind{x}1} R_{\textind{x}2} + s C_{2} R_{\textind{x}2} (1 - \alpha_{13}) + \alpha_{11} (\alpha_{21} - \alpha_{23})}{D(s)},
\label{eq:29}
\end{equation}
%
\begin{equation}
D(s) = s^{2} C_{1} C_{2} R_{\textind{x}1} R_{\textind{x}2} + s C_{2} R_{\textind{x}2} + \alpha_{11} \alpha_{21}.
\label{eq:30}
\end{equation}

Zde \( \alpha_{ij} \) (\( i = 1, 2 \ \mbox{a} \ j = 1, 2, 3\)) reprezentuje proudový zesilovací činitel \( j \)-tého výstupu Z z \( i \)-tého MOCCCII.

Z důvodů zmíněných v kap.\,\ref{sec:2.2} přechází \( D(s) \) na
%
\begin{equation}
D(s) = s^{2} C_{1} C_{2} R_{\textind{x}1} R_{\textind{x}2} + s C_{2} R_{\textind{x}2} + \frac{\alpha_{11_{0}}}{1 + \tau_{1} s}
\frac{\alpha_{21_{0}}}{1 + \tau_{2} s}.
\label{eq:31}
\end{equation}

Přijmeme-li identičnost konvejorů, pak můžeme nahradit \( \tau_{1} = \tau_{2} = \tau \). Pak dále \( \alpha_{11_{0}} = \alpha_{21_{0}} = \alpha_{0} \).
Při \( D(s) = 0 \) ze vztahu (\ref{eq:31}) je výsledkem rovnice čtvrtého řádu
%
\begin{equation}
\tau^{2} s^{4} + \left ( 2 \tau + \frac{\omega_{0}}{Q} \tau^{2} \right ) s^{3} + \left ( 1 + \frac{\omega_{0}}{Q} 2 \tau \right ) s^{2} + \frac{\omega_{0}}{Q} s +
\omega_{0}^{2} \alpha_{0}^{2} = 0.
\label{eq:32}
\end{equation}

Routhovo kritérium stability může být použito podle kap.\,\ref{sec:2.2} následovně:
%
\begin{equation}
\begin{array}{ccccc}
s^{4} &  & \tau^{2} & 1 + \frac{\omega_{0}}{Q} 2 \tau & \omega_{0}^{2} \alpha_{0}^{2}, \\ 
s^{3} &  & 2 \tau + \frac{\omega_{0}}{Q} \tau^{2} & \frac{\omega_{0}}{Q}, &  \\
s^{2} &  & B & \omega_{0}^{2} \alpha_{0}^{2}, &  \\
s^{1} &  & C, &  &  \\
s^{0} &  & \omega_{0}^{2} \alpha_{0}^{2}. &  &  \\
\end{array}
\label{routh}
\end{equation}

Je známo, že výrazy \( B \ \mbox{a} \ C \) z (\ref{routh}) by měly být kladná reálná čísla, aby systém byl stabilní. Tedy
%
\begin{equation}
B = \frac{ \left ( 1 + \frac{\omega_{0}}{Q} 2 \tau \right ) \left ( 2 \tau + \frac{\omega_{0}}{Q} \tau^{2} \right ) - \frac{\omega_{0}}{Q} \tau^{2} }
{ 2 \tau + \frac{\omega_{0}}{Q} \tau^{2} } > 0,
\label{eq:33}
\end{equation}

\begin{equation}
C = \frac{ \frac{\omega_{0}}{Q} B - \omega_{0}^{2} \alpha_{0}^{2} \left ( 2 \tau + \frac{\omega_{0}}{Q} \tau^{2} \right ) }
{ B } > 0.
\label{eq:34}
\end{equation}

Z posledních dvou vztahů je vidět, že čím máme menší \( Q \ \mbox{a} \ \omega_{0} \) a větší \( \omega_{\textind{\alpha}i} \ \mbox{pro} \) \linebreak \( (i = 1, 2) \) pro zapojení na obr.\,\ref{fig:cc3}, tím stabilnější filtr získáme.

Z důvodů zmíněných v kap.\,\ref{sec:3.1} můžeme při vytváření charakteristické rovnice s přenosem aktivního prvku popsaným druhým řádem využít rovnic (\ref{eq:35}) a (\ref{eq:31}). Získáme tvar
%
\begin{equation}
D(s) = s^{2} C_{1} C_{2} R_{\textind{x}1} R_{\textind{x}2} + s C_{2} R_{\textind{x}2} + \frac{\alpha_{11_{0}}\omega_{\alpha 1}^{2}}{s^{2} + s \frac{\omega_{\alpha 1}}{Q} + \omega_{\alpha 1}^{2}}\frac{\alpha_{21_{0}}\omega_{\alpha 2}^{2}}{s^{2} + s \frac{\omega_{\alpha 2}}{Q} + \omega_{\alpha 2}^{2}}.
\label{eq:36}
\end{equation}

Přijmeme-li opět identičnost konvejorů, pak můžeme nahradit \( \omega_{\alpha 1} = \omega_{\alpha 2} = \omega_{\alpha} \), \( \alpha_{11_{0}} = \alpha_{21_{0}} = \alpha_{0} \) a zjednodušit na tvar
%
\begin{equation}
D(s) = s^{2} C_{1} C_{2} R_{\textind{x}1} R_{\textind{x}2} + s C_{2} R_{\textind{x}2} + \left(\frac{\alpha_{0}\omega_{\alpha}^{2}}{s^{2} + s \frac{\omega_{\alpha}}{Q} + \omega_{\alpha}^{2}}\right)^2.
\label{eq:37}
\end{equation}

Nyní uvažujeme obvod znázorněný na obr.\,\ref{fig:cc4}.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=.8\columnwidth]{obrazky/moccc2.pdf}
\caption{Druhé řešené schéma s konvejory \cite{yuce}}
\label{fig:cc4}
\end{figure}

Pro tento obvod jsou odpovídající parametry následující
%
\begin{equation}
\frac{I_{\textind{DP}}}{I_{\textind{in}}} = \frac{\omega_0^{2}\alpha_{21}}{D(s)},
\label{eq:38}
\end{equation}
%
\begin{equation}
\frac{I_{\textind{PP}}}{I_{\textind{in}}} = \frac{C_{1}}{C_{2}} \frac{s \frac{\omega_0}{Q} \alpha_{12}}{D(s)},
\label{eq:39}
\end{equation}
%
\begin{equation}
\frac{I_{\textind{PZ}}}{I_{\textind{in}}} = - \frac{s^{2} + s \frac{\omega_0}{Q} \left(1 - \frac{C_1}{C_2} \alpha_{11} \right) + \omega_0^{2}\alpha_{22}}{D(s)}.
\label{eq:40}
\end{equation}

Mějme charakteristickou rovnici
%
\begin{equation}
D(s) = s^{2} + s \frac{\omega_0}{Q} + \omega_0^{2}\alpha_{22}
\label{eq:41}
\end{equation}

\noindent
%
se stejně vyjádřenými parametry \( \omega_0 \) a \( Q \) jako v (\ref{eq:25}), resp.\,(\ref{eq:26}). Při nahrazení \( \alpha_{22} \) jednopólovým modelem přenosu
\( \alpha_0/(1 + s\tau) \) a \( D(s) = 0 \) dostáváme rovnici třetího řádu
%
\begin{equation}
s^3\tau + s^2 \left(1 + \frac{\omega_0}{Q} \tau \right) + s \frac{\omega_0}{Q} + \omega_0^2 \alpha_0 = 0,
\label{eq:42}
\end{equation}

\noindent
%
na kterou se Routhovo kritérium použije následovně:
%
\begin{equation}
\begin{array}{cccc} 
s^{3} &  & \tau & \frac{\omega_{0}}{Q}, \\
s^{2} &  & 1 + \frac{\omega_0}{Q} \tau & \omega_0^2 \alpha_0, \\
s^{1} &  & B, & \\
s^{0} &  & C. & \\
\end{array}
\label{routh2}
\end{equation}

Aby byl systém stabilní, musí prvky \( B \mbox{ a } C \) splňovat podmínky
%
\begin{equation}
\frac{\omega_0}{Q} + \left(\frac{\omega_0}{Q} \right)^2 \tau - \omega_0^2 \alpha_0 \tau > 0
\label{eq:43}
\end{equation}

\noindent
%
a
%
\begin{equation}
\omega_0^2 \alpha_0 > 0.
\label{eq:44}
\end{equation}

Při zavedení zobecněného dvoupólového modelu přenosu aktivního prvku (viz kap.\,\ref{sec:3.1}) do tohoto příkladu, obdržíme
%
\begin{equation}
D(s) = s^{2} + s \frac{\omega_0}{Q} + \omega_0^{2}\frac{\alpha_{0}\omega_{\alpha}^{2}}{s^{2} + s \frac{\omega_{\alpha}}{Q} + \omega_{\alpha}^{2}}.
\label{eq:45}
\end{equation}





\chapter{Automatizace analýzy stability}
\label{chap:4}



\section{Program s uživatelským rozhraním}
\label{sec:4.1}

V této kapitole je předvedeno uživatelské rozhraní programu pro testování stability daného systému, jsou stručně vysvětleny jeho jednotlivé části a popsáno, co může uživatel od programu čekat, případně, jaké má možnosti. Následující popis odpovídá jednotlivým blokům schématu programu z obr.\,\ref{fig:blok}.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=\columnwidth]{obrazky/gui.png}
\caption{Náhled uživatelského rozhraní}
\label{fig:gui}
\end{figure}

\noindent
%
\textbf{Blok 1:}

\noindent
%
Odpovídá prvnímu kroku, ve kterém uživatel do patřičných vstupních polí nejprve zadá charakteristickou rovnici. Je zde možno zadat jakýkoliv řetězec s tím, že přenosy aktivního prvku musí být označeny malým nebo velkým písmenem "`A"' \linebreak a jednociferným číselným označením, např.\,"`A6, a0"', apod. Program umí pracovat \linebreak v rozmezí číselného označení 0\,--\,9. Tedy s deseti současně zadanými přenosy.

\noindent
%
\textbf{Blok 2:}

\noindent
%
Jedná se o druhý krok. Zde si uživatel může vybrat, jaký pólový model (řád modelování) přenosu chce použít při výpočtu. Doposud zadané hodnoty potvrdí tlačítkem.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=.7\columnwidth]{obrazky/diagram.pdf}
\caption{Principielní postup prováděných úkonů}
\label{fig:blok}
\end{figure}
%
%\begin{program}
%	\lstinputlisting[frame=single]{program/program1.txt}
%	\vspace{-14pt}
%	\caption{Symbolická deklarace proměnných}
%	\label{prog:1}
%\end{program}
%
%\begin{program} % bez rámečku
%	\begin{lstlisting}
%		for i = 5...
%	\end{lstlisting}
%	\vspace{-14pt}
%	\caption{bla}
%	\label{prog:test2}
%\end{program}
%
\noindent
%
\textbf{Blok 3:}

\noindent
%
Třetí krok, který obsahuje hned několik součástí, indikuje, kolik bylo nalezeno členů \( \alpha \) potřebných k výpočtu, poskytuje uživateli vstupní pole pro zadání hodnoty nalezených členů, dále se pak kliknutím na tlačítko provádí na pozadí mezivýpočet, který například upravuje charakteristickou rovnici na patřičný tvar. Při použití prvního způsobu řešení pak odpovídá (\ref{eq:32}). Tento krok taktéž zobrazuje generovaná pole \linebreak v závislosti na počtu členů \( \alpha \) v daných částech charakteristické rovnice potvrzených \linebreak v bloku 2. Prvotní myšlenka byla taková, že si bude moci uživatel zadat pro všechny nalezené přenosy rozdílné hodnoty a tím docílit přesnějšího výpočtu. Tohle se ale ukázalo ve verzi Matlabu, ve které byl program vytvářen, s přihlédnutím na způsob programování, neproveditelné.

\noindent
%
\textbf{Blok 4:}

\noindent
%
Skládá se z kroků 4\,--\,7. Každý krok odpovídá jedné veličině, přičemž si uživatel může zvolit, kterou z nich dá na osu, případně na jakou, a jaké veličiny mají zůstat fixní. Při potřebě zadávání hodnot tzv.\,"'deset na několikátou"', lze bez problémů využít zápisu s použitím písmenka "`e"'. Například tedy "`1e6 nebo 3.5e-9"'.

\newpage
\noindent
%
\textbf{Blok 5:}

\noindent
%
Je to osmý krok plnící pouze jednu funkci. A to zjišťování zadané hodnoty v poli "`Počet bodů:"', která určuje řád vykreslované matice. Zadá-li se tedy hodnota deset, matice bude mít rozměry \( 10\times10 \), tudíž se bude počítat sto hodnot. Například při zadání hodnoty "`\(300\)"', se každý graf vykresloval přibližně hodinu. Pro srovnání, \linebreak s hodnotou "`\(10\)"' vše trvalo kolem čtyř sekund. Program během výpočtu zobrazuje hodnotu, na které se zrovna nachází a na konci každého výpočtu vypíše čas, který uplynul od započetí výpočtu až po vykreslení.

\noindent
%
\textbf{Blok 6:}

\noindent
%
Závěrečný devátý krok. Asi nejkomplexnější z hlediska ověřování a kontroly vstupních parametrů a podmínek k výpočtu. Po stisknutí tlačítka vyhodnocuje data z většiny předešlých bloků (kroků), mimo jiné aplikuje Routhův algoritmus a následně, při dodržení kritérií, vykresluje maticovou plochu vyplněnou výsledky do grafu. Vykreslování stojí na principu nastavení výchozích hodnot jednotlivých prvků matice na nuly (černá nestabilní oblast) a při dodržení podmínky stability se prvky mění na jedničky (bílá stabilní oblast). Kompletní výpis kódu je uveden v příloze \ref{prilohaA}.
%
\begin{program}
	\lstinputlisting[frame=single]{program/program1.txt}
	\vspace{-14pt}
	\caption{Ukázka části Routhova algoritmu}
	\label{prog:1}
\end{program}



\newpage

\section{Grafické výstupy}
\label{sec:4.2}

V této části jsou uvedeny výsledné grafy. První tři jsou pro první způsob řešení vycházející z obr.\,\ref{fig:cc3}, další dva pak pro druhý způsob řešení korespondující s obr.\,\ref{fig:cc4}. Všechny grafy zobrazují výsledky při modelovaní koeficientů \( \alpha \) prvním řádem. 

Oblast stability v závislosti na \( \omega_{0} \ \mbox{a} \ \alpha_{0} \ \mbox{při} \ \omega_{\alpha} = 10^{7}\,\mbox{rad/s a} \ Q = 5 \).
%
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=.72\columnwidth]{obrazky/alfa0_omega0_1.png}
\caption{Graf závislosti $ \alpha_{0} \ \mbox{na} \ \omega_{0} $ pro první způsob řešení}
\label{graf:1}
\end{figure}

Oblast stability v závislosti na \( Q \ \mbox{a} \ \alpha_{0} \ \mbox{při} \ \omega_{\alpha} = 10^{7}\,\mbox{rad/s a} \ \omega_{0} = 5\,\times\,10^{5}\,\mbox{rad/s} \).
%
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=.72\columnwidth]{obrazky/alfa0_Q_1.png}
\caption{Graf závislosti $ \alpha_{0} \ \mbox{na} \ Q $ pro první způsob řešení}
\label{graf:2}
\end{figure}

\newpage

Oblast stability v závislosti na \( \omega_{0} \ \mbox{a} \ Q \ \mbox{při} \ \alpha_{0} = 1 \ \mbox{a} \ \omega_{\alpha} = 10^{7}\,\mbox{rad/s} \).
%
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=.72\columnwidth]{obrazky/Q_omega0_1.png}
\caption{Graf závislosti $ Q \ \mbox{na} \ \omega_{0} $ pro první způsob řešení}
\label{graf:3}
\end{figure}

Oblast stability v závislosti na \( Q \ \mbox{a} \ \alpha_{0} \ \mbox{při} \ \omega_{\alpha} = 10^{7}\,\mbox{rad/s a} \ \omega_{0} = 5\,\times\,10^{5}\,\mbox{rad/s} \).
%
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=.72\columnwidth]{obrazky/alfa0_Q_2.png}
\caption{Graf závislosti $ \alpha_{0} \ \mbox{na} \ Q $ pro druhý způsob řešení}
\label{graf:4}
\end{figure}

\newpage

Oblast stability v závislosti na \( \omega_{0} \ \mbox{a} \ Q \ \mbox{při} \ \alpha_{0} = 1 \ \mbox{a} \ \omega_{\alpha} = 10^{7}\,\mbox{rad/s} \).
%
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=.72\columnwidth]{obrazky/Q_omega0_2.png}
\caption{Graf závislosti $ Q \ \mbox{na} \ \omega_{0} $ pro druhý způsob řešení}
\label{graf:5}
\end{figure}

