KOČENDOVÁ, A. Algoritmy mřížové kryptografie na okruzích s děliteli nuly [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. 2025.

Posudek vedoucího

Kureš, Miroslav

Autorka se v první kapitole věnuje popisu metod lineární algebry nad okruhy. Již nad obory integrity dochází ke značnému odchýlení od klasické teorie, o to je výraznější, jsou-li v okruzích připuštěny i dělitele nuly. Z iniciativy studentky se práce zabývá i nekomutativními okruhy, kde vznikají další problémy: například není dobře definován determinant. V kapitole je srozumitelně a pečlivě vyložena teorie a jsou uvedeny původní příklady. Ty považuji za cenný přínos autorky. Druhá kapitola práce je věnována zobecňování asymetrického mřížového kryptosystému GGH. Autorka se velmi dobře vypořádala jak s teoretickým popisem, tak se samotnou implementací. V prostředí Wolfram Mathematica vytvořila plně funkční mřížový kryptosystém nad duálními Hurwitzovými kvaterniony. U textu práce lze sledovat důkladnost a preciznost, formálních nedostatků je minimum. Práci považuji za výbornou. Během jejího zpracování vznikl i didaktický článek [6]. Je na zvážení, zda publikovat i článek odborný: systém GGH nad nekomutativními okruhy s děliteli nuly by podle mého názoru byl zajímavým příspěvkem ke třídě kryptosystémů řazených mezi postkvantové. Diplomovou práci Alžběty Kočendové doporučuji k obhajobě. 

Posudek oponenta

Pavlík, Jan

Práce se zabývá lineární algebrou nad netriviálním okruhem s jedničkou a studiem modulů nad touto strukturou. Ukazuje se, že takto vybavený okruh poskytuje dostatečné nástroje pro definici pojmů a odvození pravidel známých z lineární algebry nad polem. V případě komutativního okruhu můžeme odvodit pojmy jako jsou lineární nezávislost, báze, hodnost matice, determinant a dokázat známé věty jako je Cramerovo pravidlo a další. V mnohých případech jsou pojmy postaveny jiným způsobem, často jsou odvozeny od množiny ideálů určených maticí anihilátoru dané množiny. Této problematice je věnována první části první kapitoly. Druhá část se zabývá obecnější strukturou, kde upouštíme od přepokladu komutativity, což je výrazné omezení a neumožňuje snadnou definic determinantu. Druhá kapitola je pak věnována kryptosystému GGH, jeho základní verzi a zobecnění na Gaussovy a Hurwitzovy duální kvaterniony. Práce je napsána velmi pečlivě, přesto bych měl několik poznámek. Zejména obrat "Pokud - tak"  mi matematicky nepřijde úplně standardní a je tu přitom použit téměř v každé implikaci. Definici okruhu s 1 je zmíněna grupa, ne však multiplikativní monoid. Definice 1.5  a 1.6 logicky patří k sobě a daly by se spojit. Příklad a), na straně 17 nevysvětlují, jak dané jednotky najít.  Přímý součet na str. 19 v příkladu 1.21 je izomorfní s M, ne nutně roven, mělo by se ovšem vysvětlit, co vše se izomorfismem mělo zachovat. V důkazu 1.24 je uveden zvlášť případ dvojce 1,1, což ale proběhne stejně, jak pro jakékoliv jiné i,j, není nutno jej řešit odděleně. Matice je zásadním pojmem pro celou práci, není však v ní definována, což je obzvlášť problematické v důkazu Laplaceovy věty. Ten není veden správně, neboť zde nejsou ošetřeny nosné množiny permutací, což hraje roli, pokud l není rovno k. Proto rovnici det(A)= ... na str 25 takhle nemůžeme napsat. Příklad 1.56 - můžeme rovnou říct, že Q_1 =(I, O)? Důsledek 1.65  Nestačilo by napsat P=VQ=VTP a protože sloupce P jsou lin nezávislé, det(P) není 0, takže P je invertibilní a proto VT=I? Mimochodem použítí delta ve dvou významech v jednom důkazu je dost nešťastné. Na straně 53 je uvedeno že x_1 je lichý - proč? A v jakém smyslu pak nezáleží na čitateli druhého zlomku? 

eVSKP id 162416