\chapter{Rekonstrukce}
\label{sec:recon}
Úkolem rekonstrukce je z předzpracovaného zkresleného signálu $y[k]$ získat signál~$\hat{c}[k]$, který se co nejvíce blíží původnímu ideálnímu dvouúrovňovému signálu $c[k]$. \footnote{Skutečné signály budou značeny bez symbolu stříšky (např. $c$), jejich odhady a rekonstrukce se stříškou (např. $\hat{c}$).}

Šířka proužků a mezer by měla být při rekonstrukci zachována, v opačném případě je komplikováno dekódování čárového kódu (neboť při dekódovaní je třeba rozlišit úzké a široké proužky a mezery). Rovněž vymizení nebo výskyt falešných proužků a mezer v rekonstruovaném signálu je krajně nežádoucí.

Některé rekonstrukční metody produkují signál, jehož hrany jsou stále mírně zaobleny. Tuto odlišnost mezi rekonstruovaným ($\hat{c}$) a původním ($c$) signálem lze přibližně popsat jako \emph{zbytkové konvoluční zkreslení},
\begin{align}
	\hat{c} \approx c \star h_\text{rez},
\end{align}
které je charakterizováno konvolučním jádrem $h_\text{rez}$.
Zbytkové konvoluční zkreslení je přípustné, pokud nezhoršuje rozlišení proužků a mezer a jejich šířek.

Dále popsané rekonstrukční metody budou pracovat se signály v časovém vyjádření. Symbol $\Omega$ bude značit definiční obor signálu (tj. přípustný rozsah argumentů funkce, kterou je signál vyjádřen).

\section{Prahování}
Samotné prahování k rekonstrukci nedostačuje, neboť v konvolučně zkresleném signálu je velmi obtížné detekovat hrany. Prahováním však lze použít k dokončení rekonstrukce, kdy již bylo konvoluční zkreslení z velké části odstraněno jinou metodou.

\section{Prostá dekonvoluce}
\label{sec:recon:plain-deconv}
Účinek konvoluce signálu s \zk{zkPSF} $h(t)$ je stejný jako průchod signálu tzv. \emph{zkreslujícím} lineárním filtrem s kmitočtovou charakteristikou $H(\J\omega)$,
\begin{align}
	Y(\J\omega) = C(\J\omega)H(\J\omega),	\quad H(\J\omega) = \mathcal{F}\{h(t)\}
\end{align}
kde $C(\J\omega)$ je spektrum nezkresleného a $Y(\J\omega)$ zkresleného signálu. Uvedené vztahy předpokládají spojité signály, pro diskrétní signály jsou vztahy analogické.

Působení zkreslujícího filtru lze kompenzovat \emph{inverzním} filtrem s kmitočtovou charakteristikou
\begin{align}
	G(\J\omega) = \frac{1}{\hat{H}(\J\omega)},	\quad \hat{H}(\J\omega) = \mathcal{F}\{\hat{h}(t)\}
\end{align}
přičemž $\hat{h}(t)$ je odhad \zk{zkPSF} (skutečná \zk{zkPSF} není zpravidla známa).

Prostá dekonvoluce není vhodná metoda, neboť inverzní filtr má zpravidla vysoký přenos na vysokých kmitočtech, a dochází tak k přílišnému zesilování šumu.

\section{Hledání inflexního bodu}
Hledání inflexního bodu je jednoduchá metoda, založená hledaní hran pomocí sledování derivací konvolučně zkresleného signálu. Lze ji realizovat i analogově \cite[kap.~6.5]{kadlcik-bbce}. Metoda je popsána rovněž v \cite{joseph-barcode-peak}.

\fig{img/inflection-principle}{Princip metody hledání inflexního bodu}{fig:inflection-principle}{1}

Metoda vyžaduje, aby \zk{zkPSF} $h(t)$ konvolučně zkreslujícího systému měla pouze jeden výrazný extrém, a to v počátku\footnote{Metoda pracuje správně, i když se extrém v počátku nenachází. Rekonstruovaný čárový kód poté bude pouze posunut v čase (bez jakékoli další deformace).}, a současně se jednalo o maximum ($\frac{\dif h(t)}{\dif t} = 0 \wedge h(t) \gg 0$ pouze pro $t = 0$).

Princip metody bude matematicky demonstrován na signálu $c(t)$, skládajícím se z jednoho širokého pulzu, tj. ze dvou hran vyskytujících se v okamžicích $t_\text{e1}$ a $t_\text{e2}$ (obr.~\ref{fig:inflection-principle}, případ \n{a}),
\begin{align}
	c(t) = U(t - t_\text{e1}) - U(t - t_\text{e2}).
\end{align}
Konvolučním zkreslením je obdržen signál
\begin{align}
	y(t)	&= (c \star y)(t) =	\cr
		&= \int_{-\infty}^\infty \left[U(\tau - t_\text{e1}) - U(\tau - t_\text{e2})\right]h(t - \tau) \,\dif t =	\cr
		&= \int_{\tau - t_\text{e1}}^\infty h(\tau)\,\dif\tau - \int_{\tau - t_\text{e2}}^\infty h(\tau)\,\dif\tau,	\label{eq:inflection-y}
\end{align}
konvoluci s časově posunutým jednotkovým skokem lze rozepsat na časově posunutou integraci. Derivace odstraní integraci a výsledkem je součet časově posunutých \zk{zkPSF},
\begin{align}
	\frac{\dif y(t)}{\dif t} = h(t - t_\text{e1}) - h(t - t_\text{e2}),	\label{eq:inflection-diff-y}
\end{align}
přičemž \emph{extrém získaného signálu značí výskyt hrany a znaménko extrému její polaritu}. Extrém se vyskytuje v místě, kde další derivace ($\frac{\dif^2y(t)}{\dif t^2}$) prochází nulou.

Výpočet derivací zvyšuje citlivost metody na šum (přenos derivátoru roste s kmitočtem o \qty{20}{dB/dek}), a proto je nezbytné přenos derivátorů na vysokých kmitočtech omezit.

Na obr.~\ref{fig:inflection-principle} (část \n{a}) je ukázka úspěšné rekonstrukce čárového kódu, zkresleného systémem s gaussovskou \zk{zkPSF}. Část \n{b}~obr.~\ref{fig:inflection-principle} zachycuje případ, kdy je šířka \zk{zkPSF} (vzhledem k šířce proužku) příliš velká -- okamžiky průchodu druhé derivace nulou a okamžiky výskytu hran v nezkresleném signálu se výrazně liší (v tomto případě má druhá derivace rozdílnou úroveň lokálního minima a maxima).

Amplituda první derivace určuje tzv. \emph{sílu hrany}. Je nezbytné ignorovat hrany s malou silou, neboť jsou ve skutečnosti způsobeny šumem \cite[s.~58]{shellhammer-novel-proc-barcodes}.

Výpočetní náročnost popsané metody je nízká -- nejvýše desítky tisíc operací součinu a součtu (pro vstupní signál o délce tisíc vzorků a derivování pomocí konvoluce s konvolučním jádrem o délce desítek vzorků).

\section{Variační metody}
\label{sec:recon:vari}
Základní myšlenkou variačních metod je rekonstrukci signálu formulovat jako optimalizační problém. Odchylka rekonstruovaného signálu od požadované podoby je kvantifikována jednou nebo více číselnými hodnotami, které jsou zvoleným optimalizačním algoritmem minimalizovány.

Popis variační metod bude doplněn o ukázky jejich použití při rekonstrukci signálu zkresleného (nebude-li uvedeno jinak) konvolucí s gaussovskou \zk{zkPSF} o rozptylu $\sigma$ vzorků a stejnosměrném přenosu $K_0$ a následným přidáním aditivního bílého šumu (konkrétní parametry zkreslení -- viz příslušné ukázky).

\subsection{Základní princip}
Variační metody jsou použitelné jak pro spojité, tak diskrétní signály. Proto nebude v obecných vzorcích u symbolu signálu uváděna nezávisle proměnná (např. bude psáno pouze $y$ namísto $y(t)$ nebo $y[k]$).

Základní princip bude předveden na řešení obecné úlohy
\begin{align}
	y = \op{H}c,\: c =\;?,	\label{eq:recon:vari:general:problem}
\end{align}
tj. rekonstrukci signálu $c$, který byl zkreslen známým lineárním operátorem $\op{H}$ (na místě $\op{H}$ může být např. konvoluce s \zk{zkPSF}).

Odchylku rekonstruovaného signálu $\hat{c}$ od skutečnosti lze vyjádřit pomocí rezidua\footnote{Reziduum zde nelze definovat jako $r = \hat{c} - c$, neboť skutečný signál $c$ není znám.}
\begin{align}
	r = y - \op{H}\hat{c}.	\label{eq:recon:vari:general:r}
\end{align}
Pro variační metody je typické velikost rezidua kvantifikovat jedním reálným číslem, např. pomocí čtverce $L^2$ normy
\begin{align}
	E(\hat{c}) = E_\text{s}(\hat{c}),	\quad E_\text{s}(\hat{c}) = \norm{r}^2 = \norm{y - \op{H}\hat{c}}^2.	\label{eq:recon:vari:general:Es}
\end{align}
Pro reálné diskrétní signály je definice $L^2$ normy následující
\begin{align}
	\norm{x}^2 = \iprod{x}{x} = \sum_{i \in \Omega}x^2[i],	\quad x[i] \in \mathbb{R}.
\end{align}
Výhodou $L^2$ normy je její snadné derivování a rovněž ji lze zcela vyjádřit jako kvadratickou formu (skalární součin signálu se sebou samým).

Předpis \eqref{eq:recon:vari:general:Es} signálu (funkci) přiřazuje reálné číslo -- jedná se o tzv. \emph{funkcionál}. Zde je funkcionál analogií k energii (proto značení symbolem $E$, dolní index \uv{s} značí souvislost s rozdílem signálů).

Pro nezkreslený signál dosahuje funkcionál globálního minima
\begin{align}
	\hat{c} = c	\quad\Rightarrow\quad	E(\hat{c}) = \norm{y - \op{H}\hat{c}}^2 = \norm{\op{H}c - \op{H}c}^2 = 0.
\end{align}
Řešení úlohy \eqref{eq:recon:vari:general:problem} je formulováno jako minimalizace funkcionálu
\begin{align}
	\hat{c} = \op{H}^{-1}y = \argmin_{\hat{c}}E(\hat{c}),
\end{align}
což odpovídá aplikování invertovaného operátoru ($\op{H}^{-1}$) na zkreslený signál. Ne vždy je minimalizace jednoznačná.

Variační přístup má následující užitečné vlastnosti.
\begin{itemize}
	\item{Operátor inverzní k $\op{H}$ není třeba explicitně vyjadřovat.}
	\item{Funkcionál $E$ lze rozšířit o další funkcionály, tzv. \emph{regularizace}. Regularizace kvantifikují nesplnění požadavků na rekonstruovaný signál (rozumný počet hran, dvouúrovňovost, apod.), a napomáhají tak dosažení vhodného výsledku.}
\end{itemize}

\subsection{Prostá dekonvoluce}
Na místě lineárního operátoru v \eqref{eq:recon:vari:general:problem} se nachází konvoluce s odhadem $\hat{h}$ \zk{zkPSF} snímače,
\begin{align}
	y = c \star \hat{h}, \:c = \,?
\end{align}
úkolem je nalézt odhad $\hat{c}$ původního signálu $c$. Funkcionál \eqref{eq:recon:vari:general:Es} má nyní podobu
\begin{align}
	E_{cy}(\hat{c}, \hat{h}, y) = \norm{y - \hat{c} \star \hat{h}}^2.	\label{eq:recon:vari:plain:Ecy}
\end{align}
Prosté dekonvolování signálu $y$ odpovídá minimalizaci funkcionálu vzhledem k $\hat{c}$. Nevýhody prosté dekonvoluce již byly popsány v kap.~\ref{sec:recon:plain-deconv}. (Dolní index \uv{cy} naznačuje \uv{odchylku} mezi signály $\hat{c}$ a $y$.)

\subsection{Prostá slepá dekonvoluce}
V úloze \eqref{eq:recon:vari:general:problem} nyní vystupují dvě neznámé -- původní signál a \zk{zkPSF},
\begin{align}
	y = c \star h, \:c = \,?, h = \,?.
\end{align}
úlohou je minimalizace funkcionálu \eqref{eq:recon:vari:plain:Ecy}, nyní však současně vzhledem k $\hat{c}$ a $\hat{h}$.

Minimalizace nemusí vést ke správnému výsledku. Sice pro původní signál a \zk{zkPSF} funkcionál dosahuje globálního minima, což lze dokázat následovně
\begin{align}
	\hat{c} = c \;\wedge\; \hat{h} = h	\quad\Rightarrow\quad	E_{cy}(\hat{c}, \hat{h}, y) = \norm{y - \hat{c}\star\hat{h}}^2 = \norm{\hat{c}\star\hat{h} - \hat{c}\star\hat{h}}^2 = 0,
\end{align}
nicméně globálního minima je dosaženo i v případě, kdy je za rekonstruovaný signál $\hat{c}$ dosazen signál zkreslený $y$ a \zk{zkPSF} $\hat{h}$ je mylně odhadnuta jako jednotkový impulz $\delta$,
\begin{align}
	\hat{c} = y \;\wedge\; \hat{h} = \delta	\quad\Rightarrow\quad	E_{cy}(\hat{c}, \hat{h}, y) = \norm{y - \hat{c}\star\hat{h}}^2 = \norm{y - y\star{}\delta}^2 = \norm{y - y}^2 = 0.
\end{align}
Prostá slepá dekonvoluce je nejednoznačná úloha a současně trpí stejnými problémy je prostá dekonvoluce.

\subsection{Tikhonova regularizace a regularizace diferencí}
\label{sec:recon:tikhonov-diff}
Obvyklým problémem při řešení úlohy \eqref{eq:recon:vari:general:problem} je výrazné zesilování určitých částí (zpravidla vysokých kmitočtů) signálu $y$ a s nimi spojeným šumem. Možným řešením je funkcionál \eqref{eq:recon:vari:general:Es} doplnit o \emph{Tikhonovu regularizaci} $E_\text{tk}(\hat{c})$, která lineárním operátorem $\op{D}$ vybírá z rekonstruovaného signálu $\hat{c}$ zmiňované problematické části a zjišťuje jejich energii.
\begin{align}
	E(\hat{c})	&= E_\text{s}(\hat{c}) + E_\text{tk}(\hat{c}),	& E_\text{tk}(\hat{c})	&= \norm{\op{D}\hat{c}}^2	\label{eq:recon:vari:tk:principle}
\end{align}

Aby regularizace mírnila zesilování vysokých kmitočtů, bude na místě $\op{D}$ použita diference\footnote{Diference se použije při práci s diskrétními signály. V případě spojitých signálu je vhodná např. derivace.},
\begin{align}
	E_\text{dif}(\hat{c}) = \norm{\Delta\hat{c}}^2.	\label{eq:recon:vari:tk:dif}
\end{align}
Tento funkcionál bude dále nazýván \emph{regularizace diferencí}.

Na obr.~\ref{fig:recon:vari:tk:vari-dif} je ukázka dekonvoluce konvolučně zkresleného a zašuměného signálu. Dekonvoluce je provedena minimalizací funkcionálu
\begin{align}
	E(\hat{c})	&= E_{cy}(\hat{c}, h, y) + \lambda_\text{dif}E_\text{dif}(\hat{c}),	\quad \lambda_\text{dif} \geq 0,
\end{align}
kde regularizační koeficient $\lambda_\text{dif}$ řídí míru vlivu regularizace. Minimalizace funkcionálu $E_{cy}(\hat{c})$ zvýrazňuje vysoké kmitočty, $E_\text{dif}(\hat{c})$ je naopak potlačuje -- společné působení je ekvivalentní k dolní propusti s případným převýšením přenosu na středních kmitočtech (převýšení se projevuje překmity při $\lambda_\text{dif} = 10^{-4}$ a $\lambda_\text{dif} = 10^{-3}$).

\fig{sim/vari-dif}{Ukázka dekonvoluce s regularizací diferencí}{fig:recon:vari:tk:vari-dif}{1}

Doplnění dekonvoluce o samotnou regularizaci diferencí nevede k příliš účinné rekonstrukční metodě -- na rekonstruovaném signálu je patrné výrazné zbytkové konvoluční zkreslení, případně doprovázené nízkofrekvenčním šumem.
\clearpage%%%

\subsection{Regularizace totální variací}
Pro diskrétní signály je definice totální variace následující\footnote{Při práci se spojitými signály se sumace nahradí integrací},
\begin{align}
	E_\text{tv}(\hat{c})	&= \sum_{k \in \Omega{}}\big|(\Delta\hat{c})[k]\big|.	\label{eq:recon:vari:tv}
\end{align}
Geometrickým významem totální variace je dráha, kterou urazí projekce vzorků na vertikální osu grafu signálu (obr.~\ref{fig:recon:vari:tv:geometric}).

\fig{img/tv-geometric}{Geometrický význam totální variace}{fig:recon:vari:tv:geometric}{1}
Regularizace totální variací potlačuje kolísání okamžité hodnoty rekonstruovaného signálu $\hat{c}$, čímž se signál stává po částech konstantní (čárový kód je rovněž po částech konstantní signál).

Obr.~\ref{fig:recon:vari:tv:vari-tv} znázorňuje výsledky dekonvoluce s regularizací totální variací. Dekonvoluce je zde formulována jako minimalizace funkcionálu
\begin{align}
	E(\hat{c})	&= E_{cy}(\hat{c}, h, y) + \lambda_\text{tv}E_\text{tk}(\hat{c}),	\quad \lambda_\text{tv} > 0,	\label{eq:recon:vari:tv:deconv}
\end{align}
kde $y$ je konvolučně zkreslený a zašuměný signál. Míra vlivu regularizace je řízena regularizačním koeficientem $\lambda_\text{tv}$ -- již při malých hodnotách $\lambda_\text{tv}$ se v rekonstruovaném signálu objevují konstantní úseky, s rostoucím $\lambda_\text{tv}$ jsou potlačeny i výrazné nízkofrekvenční zákmity (pozůstatek šumu) a signál stává více dvouúrovňovým.

\fig{sim/vari-tv}{Ukázka dekonvoluce s regularizací totální variací}{fig:recon:vari:tv:vari-tv}{1}

\clearpage%%%

\subsection{Regularizace dvoujámovou funkcí}
Dvoujámová (\en{double-well}) funkce je definována předpisem \cite[s.~129]{selim-blind-deconv-barcode}
\begin{align}
	W(x) = x^2(x - 1)^2,
\end{align}
název \emph{dvoujámová} je odvozen od dvou globálních minim (pro $x = 0$ a $x = 1$, viz obr.~\ref{fig:recon:vari:W}).

\fig{img/W}{Graf dvoujámové funkce}{fig:recon:vari:W}{1}

Pro diskrétní signály je regularizace dvoujámovou funkcí definována jako aplikace funkce na každý vzorek signálu a následný součet funkčních hodnot,
\begin{align}
	E_W(\hat{c}) = \sum_{k \in \Omega} W\!\left(\hat{c}[k]\right).	\label{eq:recon:vari:W:W}
\end{align}
Regularizace je nulová pouze pro signály, jejichž okamžitá hodnota nabývá $0$ nebo $1$ (obr.~\ref{fig:theory:barcode-as-a-signal}), a lze ji považovat za penalizaci za odchylku od dvouúrovňovosti. Regularizace dvoujámovou funkcí na rekonstruovaný signál působí jako omezující zesilovač (v krajním případě se efekt blíží prahování).

Ragularizace má následující nevýhody.
\begin{itemize}
	\item{Tendence k zesilování šumu (a následná tvorba nadbytečných hran v rekonstruovaném signálu).}
	\item{Výskyt hystereze. Případný potřebný přesun vzorku rekonstruovaného signálu mezi hodnotami $0$ a $1$ je komplikován lokálním maximem funkce $W(x)$ v bodě $x = 0{,}5$. Především při minimalizaci funkcionálu metodou nejstrmějšího sestupu tak může signál \uv{uváznout} na nevhodném průběhu (viz obr.~\ref{fig:recon:vari:W:vari-W}).}
	\item{Mimo interval $\left<0, 1\right>$ je růst funkční hodnoty dvoujámové funkce rapidní (asymptoticky se blíží $x^4$) a funkci lze přirovnat k nelineárnímu zesilovači s \emph{vysokým} ziskem. Iterativní algoritmy pro minimalizaci funkcionálu se mohou stát nestabilními.}
\end{itemize}
Výskyt hystereze demonstruje obr.~\ref{fig:recon:vari:W:vari-W} (zkreslený signál vznikl konvolucí nezkresleného signálu s gaussovskou \zk{zkPSF} a přidáním bílého šumu). Rekonstruovaný signál vznikl minimalizací funkcionálu
\begin{align}
	E(\hat{c})	&= E_{cy}(\hat{c}, h, y) + \lambda_W{}E_W(\hat{c}),	\quad \lambda_W > 0,
\end{align}
přičemž minimalizace proběhla iterativně metodou nejstrmějšího sestupu. Oba rekonstruované signály na obr.~\ref{fig:recon:vari:W:vari-W} se liší pouze počátečním odhadem rekonstruovaného signálu (nejdříve byl odhadnut jako nulový, poté jako náhodný s rozkmitem od $0$ do~$1$). Hystereze zde způsobila že při použití náhodného odhadu minimalizace uvázla na nevhodném lokálním minimu (tj. signál se zákmity).

\fig{sim/vari-W}{Ukázka dekonvoluce s regularizací dvoujámovou funkcí}{fig:recon:vari:W:vari-W}{1}

Regularizace dvoujámovou funkcí výrazně napomáhá dekonvoluci, její nevýhody je však nutno potlačit volbou malého koeficientu $\lambda_W$ nebo přidáním regularizace diferencí.

\subsection{Dekonvoluce}
\label{sec:recon:alg:deconv}
Dekonvoluce probíhá jako minimalizace funkcionálu
\begin{align}
	E(\hat{c})	&= E_{cy}(\hat{c}, \hat{h}, y) + \lambda_\text{dif}E_\text{dif}(\hat{c}) + \lambda_W{}E_W(\hat{c}).	\label{eq:recon:alg:deconv:E}
\end{align}
Základem je prostá dekonvoluce (funkcionál $E_{cy}(\hat{c}, \hat{h}, y)$). Regularizace $E_W(\hat{c})$ dvoujámovou funkcí podporuje dvouúrovňovost rekonstruovaného signálu, zatímco regularizace $E_\text{dif}(\hat{c})$ diferencí potlačuje šum a zákmity.

\fig{sim/vari-dif-W}{Ukázka dekonvoluce s regularizací diferencí a dvoujámovou funkcí}{fig:recon:alg:vari-dif-W}{1}

\emph{Samotná} dekonvoluce byla otestována signálem zkresleným konvolucí s gaus\-sovskou \zk{zkPSF} a přidáním aditivního bílého šumu. Výsledek dekonvoluce pro různé kombinace hodnot regularizačních koeficientů je na obr.~\ref{fig:recon:alg:vari-dif-W} (pro srovnání viz \cite[obr.~2]{selim-blind-deconv-barcode}). Minimalizace funkcionálu proběhla metodou nejstrmějšího sestupu, jako počáteční odhad rekonstruovaného signálu byl použit bílý šum s rozkmitem $0$ -- $1$, aby byla odhalena tendence k hysterezi (zákmity v případě $\lambda_W = 10^{-2}$, $\lambda_\text{dif} = 10^{-4}$).

Vhodné regularizační koeficienty lze určit na základě požadavků dané metody minimalizující funkcionál (metoda nejstrmějšího sestupu např. vyžaduje výskyt pouze jednoho lokálního minima) nebo experimentálně. Rovněž lze pro regularizační koeficienty odhadnout různá pravidla (např. snížení vzorkovacího kmitočtu na polovinu vyžaduje snížení koeficientu $\lambda_\text{dif}$ na čtvrtinu, z důvodu přítomnosti druhé mocniny v \eqref{eq:recon:vari:tk:dif}).

\clearpage%%%
\subsection{Slepá dekonvoluce}
\label{sec:recon:blind-deconv}
Dekonvoluce popsaná v kap.~\ref{sec:recon:alg:deconv} vyžaduje znalost \zk{zkPSF}, což ve skutečnosti nelze splnit. Kompenzace stejnosměrného přenosu \zk{zkPSF} je již zajištěna, nicméně šířka \zk{zkPSF} je odhadnuta pouze přibližně.

Dekonvoluce, při níž není \zk{zkPSF} zcela známa, se označuje termínem \emph{slepá dekonvoluce} (\en{blind deconvolution}).

Skutečnou šířku \zk{zkPSF} $\hat{\sigma}$ lze najít následovně. Pro určitý odhad šířky $\sigma$ je vytvořena \zk{zkPSF} $\hat{h}[k]$, která je použita ve funkcionálu \eqref{eq:recon:alg:deconv:E}. Výsledkem minimalizace funkcionálu je signál
\begin{align}
	\hat{c}			&= \argmin_{\hat{c}} E(\hat{c}),
\end{align}
který je dále prahován, a to jak tvrdě ($\hat{c}_\text{bin}[k]$), tak měkce ($\hat{c}_\text{thr}[k]$, funkcí arkus tanges, jež je posunuta a její strmost upravena složením s lineární funkcí),
\begin{align}
	\hat{c}_\text{bin}[k]	&= \bin\hat{c}[k],	\quad \bin{}x = \begin{cases}
		0	& x < 0{,}5		\\
		1	& x \geq 0{,}5		\\
	\end{cases},	\label{eq:recon:blind-deconv:bin}	\\
	\hat{c}_\text{thr}[k]	&= \frac{1}{\pi}\tg^{-1}\left[20\left(\hat{c}[k] - \frac{1}{2}\right)\right] - \frac{1}{2}
\end{align}
Poté je funkcionálem vyhodnocena energie rozdílu mezi zkresleným signálem $y[k]$ a~prahovaným signálem, který byl opětovně konvolučně zkreslen odhadnutou \zk{zkPSF},
\begin{align}
	E_{{cy}_\text{bin}}	&= E_{cy}(\hat{c}_\text{bin}, \hat{h}, y),	\\
	E_{{cy}_\text{thr}}	&= E_{cy}(\hat{c}_\text{thr}, \hat{h}, y),
\end{align}
závislost energie na odhadu $\hat{\sigma}$ šířky \zk{zkPSF} je znázorněna na obr.\ref{fig:recon:alg:blind-deconv-dev}, dosahuje globálního minima pro odhad blížící se skutečné hodnotě ($\hat{\sigma} \approx \sigma$). V případě měkkého prahování je závislost méně zvlněná, nicméně globální minimum nastává pro odhad šířky \zk{zkPSF} nižší, než je skutečná hodnota (neboť mírně zaoblené hrany ponechané měkkým prahováním se podobají konvolučnímu zkreslení).

\fig{sim/blind-deconv-dev}{Závislost energie rozdílu mezi zkresleným signálem a konvolučně zkresleným rekonstruovaným signálem na odhadnuté šířce PSF}{fig:recon:alg:blind-deconv-dev}{1}
