FELCMANOVÁ, A. Celočíselné a racionální body na vybraných algebraických křivkách: algoritmy hledání a aplikace [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. 2025.
Autorka se v práci zabývá náročným tématem hledání celočíselných a racionálních bodů na algebraických křivkách. Téma vyžaduje netriviální průpravu z teorie čísel a z algebraické geometrie, což jsou disciplíny, s kterými se studenti oboru Matematické inženýrství prakticky nesetkávají; studentka zde pronikala do teorie samostatně a úsilí, které tomu věnovala, bylo vskutku nemalé. Předložila následně text, který splňuje všechny požadavky zadání. Po klasických výsledcích, jimiž jsou věty Lutzova-Nagellova a Mazurova, je objasněn algoritmus hledání slabé Mordellovy-Weilovy grupy. Teorie je vyložena srozumitelně, i když někdy poněkud hutně. Problematika je značně rozsáhlá a některé části bylo nutno až poněkud drasticky osekat, neboť by objem práce navýšily (například nebylo studováno Kummerovo párování pomocí kohomologií). Velmi dobře je zmapováno hledání racionálních bodů ve dvou systémech počítačové algebry: Magma a Sage. Hledání je použito na eliptických a hypereliptických křivkách s aplikacemi vy kryptografii a také na bicirkulárních kvartikách, což dává zajímavé výsledky v teorii rezonancí. Korespondence racionálních bodů na bicirkulárních kvartikách a eliptických křivkách dosud analyticky popsána nebyla a tento přínos autorky je vhodným základem pro odborný článek. Je náležité zdůraznit i vysokou samostatnost studentky při zpracování této práce. Z jejího textu lze vysledovat, že autorka má v obtížné problematice dobrý přehled a je schopna ji srozumitelně vyložit. Formálních nedostatků je minimum. Diplomovou práci Adély Felcmanové považuji za výbornou a doporučuji ji k obhajobě.
| Kritérium | Známka | Body | Slovní hodnocení |
|---|---|---|---|
| Splnění požadavků a cílů zadání | A | ||
| Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod | A | ||
| Vlastní přínos a originalita | A | ||
| Schopnost interpretovat dosažené výsledky a vyvozovat z nich závěry | A | ||
| Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii | A | ||
| Logické uspořádání práce a formální náležitosti | A | ||
| Grafická, stylistická úprava a pravopis | A | ||
| Práce s literaturou včetně citací | A | ||
| Samostatnost studenta při zpracování tématu | A |
V předložené diplomové práci jsou studovány metody umožňující nalézt celočíselné a racionální body na vybraných algebraických křivkách. Konkrétně jsou diskutovány následující tři případy: křivky eliptické, bicirkulární kvartiky a křivky hypereliptické. Je třeba zdůraznit, že samotné nastudování základních pojmů a známých výsledků vztahujících se k uvedené teorii je velmi obtížné a také časově náročné. Klíčovou roli v této teorii hraje pojem Mordellovy-Weilovy grupy a její vlastnosti. Po prostudování předložené diplomové práce jsem dospěl k následujícím závěrům. Cíle diplomové práce byly beze zbytku splněny. Práce má ve všech hodnocených kritériích velmi vysokou úroveň a svým obsahem přesahuje rámec vyučovaných předmětů studovaného oboru. Oceňuji zejména rozsáhlou příkladovou část práce, která prezentuje výpočty pomocí matematických softwarů Magma a SageMath. Dále je vhodné poznamenat, že studovaná teorie má řadu důležitých a praktických aplikací. Například celočíselné body ležící na eliptických křivkách mají využití v eliptické kryptografii. Je rovněž pozoruhodné, že racionální body ležící na bicirkulárních křivkách mají konkrétní fyzikální aplikace při studiu Rossbyho atmosférických vln. Práce obsahuje pouze drobné stylistické nedostatky, které však nesnižují vysokou úroveň předložené práce. Rovněž odkazy na výsledky jiných autorů mohly být uvedeny podrobněji. Seznam použité literatury není uveden v běžném lexikografickém uspořádání. Celkové hodnocení předložené diplomové práce je A.
| Kritérium | Známka | Body | Slovní hodnocení |
|---|---|---|---|
| Splnění požadavků a cílů zadání | A | ||
| Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod | A | ||
| Vlastní přínos a originalita | A | ||
| Schopnost interpretovat dosaž. výsledky a vyvozovat z nich závěry | A | ||
| Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii | A | ||
| Logické uspořádání práce a formální náležitosti | A | ||
| Grafická, stylistická úprava a pravopis | B | ||
| Práce s literaturou včetně citací | B |
eVSKP id 162398