KOSÍK, J. Funkcionální analýza na časových škálách a její aplikace v teorii dynamických rovnic [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. 2023.
Hlavními cíli práce bylo shromáždit a důkladně popsat vybrané pojmy a tvrzení funkcionální analýzy, a to především v kontextu prostorů funkcí definovaných na časových škálách. Pro tento účel měl být vytvořen i stručný a výstižný přehled kalkulu na časových škálách (zahrnující i teorie různých typů integrálů). Tyto poznatky měly být dále využity při studiu kvalitativních vlastností nelineárních dynamických rovnic, které sjednocují rovnice diferenciální a diferenční. Bez pochybností mohu konstatovat, že všechny cíle práce byly naplněny. Text (který je v anglickém jazyce) je navíc zpracován pečlivě, čtivě a má logickou strukturu. Je potřeba zdůraznit, že např. důkazy různých základních vlastností prostorů funkcí na časových škálách (jako je třeba úplnost či relativní kompaktnost) bývají v odborné literatuře velmi často (až nekorektním způsobem) odbyty, přestože se tyto vlastnosti pak dále využívají. Diplomant se mj. soustředil na důkladný a korektní popis právě těchto případů. V této souvislosti je v práci uvedeno množství pozorování, která jsou způsobem zpracování prakticky nová. Nová je i většina výsledků týkajících se analýzy dynamických rovnic. Velmi oceňuji autorův aktivní a samostatný přístup při zpracování těchto pasáží. Kladně hodnotím také snahu o vyhnutí se bezduchému přebírání informací z odborné literatury (jako se třeba nabízelo v kapitole o kalkulu na časových škálách). I tato část byla zpracována s jistou dávkou invence a se zjevnou snahou o hlubší porozumění. Text obsahuje pár překlepů a nepřesností; tyto však nemají závažný charakter. Posuzovanou diplomovou práci považuji za zdařilou a nadprůměrnou. Autor nastudoval a vstřebal množství literatury a s nemalým vlastním přínosem zpracoval téma, které v mnoha ohledech značně překračuje učivo standardních kurzů. Vzhledem k uvedeným skutečnostem doporučuji diplomovou práci k obhajobě a hodnotím stupněm A.
Kritérium | Známka | Body | Slovní hodnocení |
---|---|---|---|
Splnění požadavků a cílů zadání | A | ||
Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod | A | ||
Vlastní přínos a originalita | A | ||
Schopnost interpretovat dosažené výsledky a vyvozovat z nich závěry | A | ||
Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii | A | ||
Logické uspořádání práce a formální náležitosti | A | ||
Grafická, stylistická úprava a pravopis | A | ||
Práce s literaturou včetně citací | A | ||
Samostatnost studenta při zpracování tématu | A |
V práci jsou ukázány základní vlastnosti kalkulu na časových škálách, zejména otázky derivace a integrace různého typu. Jsou diskutovány podobnosti i odlišnosti s běžným kalklulem na reálné ose. Podrobněji je pak studován prostor rd-spojitých funkcí na ohraničeném intervalu a prostor ohraničených spojitých funkcí na intervalu neohraničeném. Získané poznatky jsou následně použity k důkazu existence a jednoznačnosti řešení jedné nelineární dynamické rovnice na časové škále splňujícího požadované vlastnosti. Práce je sepsána srozumitelně, text se dobře čte, upořádání je vhodné k dosažení vytyčených cílů. Téma je dosti náročné, student ho však dle mého názoru dobře zvládl a sepsal ucelený matematický text. V práci jsem nalezl několik nepřesností a formulací, které by bylo podle mého názoru možné napsat trochu lépe, např. * str. 17: Zobrazení $m_1$ definované na systému množin $\mathcal{F}_1$ je pouze konečně aditivní, neboť systém $\mathcal{F}_1$ není uzavřený vzhledem ke spočetnému sjednocení. Tuto pasáž je možné lehce opravit a to několka různými způsoby v závislosti na potřebných vlastnostech konstruovaného objektu. * V kapitole 3.2.3 mi chybí tvrzení potřebné v důkazu Věty 6.1.1, že každá rd-spojitá funkce je Lebesgueovsky integrovatelná ve smyslu konstrukce v této kapitole prezentované. Pokud něco správně nevidím a toto tvrzení není potřeba, prosím o vyjasnění situace v rámci dotazu č. 1. * V kapitole 3.2.3 by se mohla objevit tvrzení ohledně nezápornosti integrálu z nezáporné funkce a "přechodu absolutní hodnoty pod znak integrálu", neboť jsou mlčky používaná v důkazu věty 6.1.1. * Pozor na limitní přechody v nerovnostech, určitě víte, že ostré nerovnosti mohou limitním přechodem přejít v rovnost (viz. např. str. 24, řádek 11 zdola). * V důkazu věty 6.1.1 zavádíte integrální operátor $T$ "s nekonečny v horních mezích". Nebylo by špatné zmínit, že z předpokladů věty vyplývá, že je tento operátor definován korektně. Tyto připomínky však nemají žádný vliv na úroveň práce. Vzhledem k výše uvedenému a k faktu, že se jedná o skutečně netriviální téma, doporučuji práci k obhajobě a hodnotím stupněm A.
Kritérium | Známka | Body | Slovní hodnocení |
---|---|---|---|
Splnění požadavků a cílů zadání | A | ||
Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod | A | ||
Vlastní přínos a originalita | A | ||
Schopnost interpretovat dosaž. výsledky a vyvozovat z nich závěry | A | ||
Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii | A | ||
Logické uspořádání práce a formální náležitosti | A | ||
Grafická, stylistická úprava a pravopis | A | ||
Práce s literaturou včetně citací | A |
eVSKP id 145714