Posudky závěrečné kvalifikační práce

Posudek vedoucího

Řehák, Pavel

Hlavními cíli práce bylo shromáždit a důkladně popsat vybrané pojmy a tvrzení funkcionální analýzy, a to především v kontextu prostorů funkcí definovaných na časových škálách. Pro tento účel měl být vytvořen i stručný a výstižný přehled kalkulu na časových škálách (zahrnující i teorie různých typů integrálů). Tyto poznatky měly být dále využity při studiu kvalitativních vlastností nelineárních dynamických rovnic, které sjednocují rovnice diferenciální a diferenční. Bez pochybností mohu konstatovat, že všechny cíle práce byly naplněny. Text (který je v anglickém jazyce) je navíc zpracován pečlivě, čtivě a má logickou strukturu. Je potřeba zdůraznit, že např. důkazy různých základních vlastností prostorů funkcí na časových škálách (jako je třeba úplnost či relativní kompaktnost) bývají v odborné literatuře velmi často (až nekorektním způsobem) odbyty, přestože se tyto vlastnosti pak dále využívají. Diplomant se mj. soustředil na důkladný a korektní popis právě těchto případů. V této souvislosti je v práci uvedeno množství pozorování, která jsou způsobem zpracování prakticky nová. Nová je i většina výsledků týkajících se analýzy dynamických rovnic. Velmi oceňuji autorův aktivní a samostatný přístup při zpracování těchto pasáží. Kladně hodnotím také snahu o vyhnutí se bezduchému přebírání informací z odborné literatury (jako se třeba nabízelo v kapitole o kalkulu na časových škálách). I tato část byla zpracována s jistou dávkou invence a se zjevnou snahou o hlubší porozumění. Text obsahuje pár překlepů a nepřesností; tyto však nemají závažný charakter. Posuzovanou diplomovou práci považuji za zdařilou a nadprůměrnou. Autor nastudoval a vstřebal množství literatury a s nemalým vlastním přínosem zpracoval téma, které v mnoha ohledech značně překračuje učivo standardních kurzů. Vzhledem k uvedeným skutečnostem doporučuji diplomovou práci k obhajobě a hodnotím stupněm A.

Dílčí hodnocení
Kritérium	Známka	Body	Slovní hodnocení
Splnění požadavků a cílů zadání	A
Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod	A
Vlastní přínos a originalita	A
Schopnost interpretovat dosažené výsledky a vyvozovat z nich závěry	A
Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii	A
Logické uspořádání práce a formální náležitosti	A
Grafická, stylistická úprava a pravopis	A
Práce s literaturou včetně citací	A
Samostatnost studenta při zpracování tématu	A

Navrhovaná známka: A

Posudek oponenta

Šremr, Jiří

V práci jsou ukázány základní vlastnosti kalkulu na časových škálách, zejména otázky derivace a integrace různého typu. Jsou diskutovány podobnosti i odlišnosti s běžným kalklulem na reálné ose. Podrobněji je pak studován prostor rd-spojitých funkcí na ohraničeném intervalu a prostor ohraničených spojitých funkcí na intervalu neohraničeném. Získané poznatky jsou následně použity k důkazu existence a jednoznačnosti řešení jedné nelineární dynamické rovnice na časové škále splňujícího požadované vlastnosti. Práce je sepsána srozumitelně, text se dobře čte, upořádání je vhodné k dosažení vytyčených cílů. Téma je dosti náročné, student ho však dle mého názoru dobře zvládl a sepsal ucelený matematický text. V práci jsem nalezl několik nepřesností a formulací, které by bylo podle mého názoru možné napsat trochu lépe, např. * str. 17: Zobrazení $m_1$ definované na systému množin $\mathcal{F}_1$ je pouze konečně aditivní, neboť systém $\mathcal{F}_1$ není uzavřený vzhledem ke spočetnému sjednocení. Tuto pasáž je možné lehce opravit a to několka různými způsoby v závislosti na potřebných vlastnostech konstruovaného objektu. * V kapitole 3.2.3 mi chybí tvrzení potřebné v důkazu Věty 6.1.1, že každá rd-spojitá funkce je Lebesgueovsky integrovatelná ve smyslu konstrukce v této kapitole prezentované. Pokud něco správně nevidím a toto tvrzení není potřeba, prosím o vyjasnění situace v rámci dotazu č. 1. * V kapitole 3.2.3 by se mohla objevit tvrzení ohledně nezápornosti integrálu z nezáporné funkce a "přechodu absolutní hodnoty pod znak integrálu", neboť jsou mlčky používaná v důkazu věty 6.1.1. * Pozor na limitní přechody v nerovnostech, určitě víte, že ostré nerovnosti mohou limitním přechodem přejít v rovnost (viz. např. str. 24, řádek 11 zdola). * V důkazu věty 6.1.1 zavádíte integrální operátor $T$ "s nekonečny v horních mezích". Nebylo by špatné zmínit, že z předpokladů věty vyplývá, že je tento operátor definován korektně. Tyto připomínky však nemají žádný vliv na úroveň práce. Vzhledem k výše uvedenému a k faktu, že se jedná o skutečně netriviální téma, doporučuji práci k obhajobě a hodnotím stupněm A.

Dílčí hodnocení
Kritérium	Známka	Body	Slovní hodnocení
Splnění požadavků a cílů zadání	A
Postup a rozsah řešení, adekvátnost použitých metod	A
Vlastní přínos a originalita	A
Schopnost interpretovat dosaž. výsledky a vyvozovat z nich závěry	A
Využitelnost výsledků v praxi nebo teorii	A
Logické uspořádání práce a formální náležitosti	A
Grafická, stylistická úprava a pravopis	A
Práce s literaturou včetně citací	A

Navrhovaná známka: A

Otázky

Není-li v důkazu Věty 6.1.1 potřeba tvrzení, že každá rd-spojitá funkce je Lebesgueovsky integrovatelná ve smyslu konstrukce prezentované v kapitole 3.2.3, prosím o vyjasnění situace.
V textu používáte pojem delta diferencovatelnosti funkce ve smyslu existence delta derivace. Jsou opravdu tyto pojmy ekvivalentní stejně tak, jak je tomu pro funkce jedné proměnné na reálné ose.
Na str. 36 tvrdíte, že má-li delta derivace funkce $y$ limitu $L$, pak $y(t)~Lt$. Můžete prosím ukázat, že je tomu opravdu tak pro libovolnou shora neohraničenou časovou škálu?