HRABEC, M. Stabilita nelineárních mechanických soustav [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. 2024.

Posudek vedoucího

Opluštil, Zdeněk

Téma předložené diplomové práce je stabilita nelineárních mechanických soustav. Text je rozčleněn do sedmi kapitol, v nichž autor nejprve zavádí matematický aparát týkající se dané problematiky a poté zkoumá dva konkrétní modely Duffingův oscilátor a piezoelektrický vibrační mikrosběrač energie. Těžiště práce leží v páté a šesté kapitole, kde je diskutována stabilita řešení uvažovaných soustav resp. jejich chaotické chování. Požadavky a cíle diplomové práce byly splněny v plném rozsahu. Text je velmi dobře čitelný, logicky uspořádaný a přehledný. Vyskytuje se v něm několik překlepů, ty ale nepřesahují míru obvyklou pro práci takového rozsahu. Student projevil velkou schopnost samostatné práce a byl velmi aktivní při řešení uvažovaných problémů Autor se zabýval problematiku, která přesahuje látku základních kurzů matematického inženýrství. Pro kvalitativní analýzu uvažovaných systému z hlediska jejich stability používal bifurkace (tj. zkoumání změn chování řešení v závislosti na parametru) resp. Poincarého mapy. Pro vyšetřování chaotické chování hodnoty zase hodnoty Ljapunovových koeficientů. V diplomové práci bych ocenil, že byly aplikovány získané teoretické výsledky na některé reálné modely uvedené v disertační práci Ondřeje Rubeše, Nelineární alternativní zdroje (2022). Autor podrobně rozebral jejich chování v závislosti na změnách parametrů diferenciálních rovnic, kterými byly popsány. U vyšetřování chaotického chování bych pak vyzdvihl, že se student nespokojil pouze s detekcí chaosu na základě grafů (fázových portrétů), jak můžeme často vidět u „nematematických“ článků, ale určil hodnoty Ljapunovových koeficientů, které se k detekování chaosu používají v „matematické“ literatuře a jejich výpočet není snadný. V předložené práci bych dále vyzdvihl, že obsahuje velké množství ilustrativních příkladů a obrázků, které jednak přispívají k porozumění dané problematiky a potvrzují teoretické úvahy. Při numerických výpočtech (zejména při určení hodnot Ljapunovových koeficientů) a simulacích student také zvládnul netriviální práci s matematickým softwarem Matlab. Diplomovou práci doporučuji k obhajobě a hodnotím ji známkou A.

Posudek oponenta

Řehák, Pavel

Práce se zabývá analýzou stability (a souvisejících vlastností) nelineárních soustav obyčejných diferenciálních rovnic. Ty se zde objevují zejména jako modely mechanických či mechanicko-elektrických systémů. Velká pozornost je věnována připomenutí pojmů a tvrzení, které jsou pro tuto analýzu nezbytné. Mimo jiné se zmiňují pojmy jako singulární bod (včetně jeho klasifikace), bifurkace, Poincarého mapa, atraktor, Ljapunovův exponent a deterministický chaos. Jádrem práce je podrobná kvalitativní a numerická analýza uvedených systémů. Jsou nalezeny singulární body a při různé volbě vstupních parametrů jsou posuzovány jejich vlastnosti. Dále je předvedeno množství fázových portrétů pro různé situace. Je rovněž provedena bifurkační analýza a jsou vypočteny Ljapunovovy exponenty, pomocí nichž je v některých případech detekován chaos. V práci jsou přítomny četné numerické simulace, které byly prováděny v prostředí MATLAB. Text je členěn logicky, je přehledný a dobře se čte. Za velmi zdařilou považuji pasáž, kde jsou pečlivým způsobem zpracovány elementy teorie stability. Líbí se mi snaha o důkladný popis, ať už jde o úvahy obecné, či vázající se k vyšetřování konkrétních úloh. Velmi oceňuji i práci s českým jazykem a formulační schopnosti, kde takhle dobrý výstup zdaleka nebývá samozřejmostí. Dále je potřeba vyzdvihnout netriviální a přínosné zpracování numerických simulací. Práce obsahuje nedokonalosti, není jich však mnoho a především nejsou závažné. Níže uvádím jejich výběr. V charakteristice problematiky úkolu se píše, že v "některých případech je žádoucí, aby se systém choval nestabilně až chaoticky". V práci jsem nenašel vysvětlení, proč to je žádoucí. Nejsem si jist, zda tvrzení v úvodu, že "v chaotických systémech se dvě blízké trajektorie chovají po uplynutí krátkého časového okamžiku naprosto rozdílně" není příliš odvážné. Definice 2.1: diferencovatelná či spojitě diferencovatelná? Pozor na interval existence ve Větě 2.2 s ohledem na bod t_0 z počáteční podmínky. Str. 14: Druhým způsobem spočívá v znázornění řešení pomocí křivky zvaný trajektorie ... (nehezká formulace). V klasifikaci singulárních bodů se píše, že bod x(t) má nějakou vlastnost. Skutečně jde o bod? Nemíchal bych do české věty termín conserved quantity. Jakou normu máme na mysli v Definici 2.18? Nedokonalosti v množinových zápisech ve Větě 2.20. Kam jde d_0 v limitním výrazu uprostřed na str. 21? Nerozumím formulaci (str. 21) "Nyní uvedeme jeden z možných způsobů, jak lze u mechanických soustav docílit nelinearity." - totiž nelinearita je součástí již předchozího výkladu, ale především se čtenář ani v následujícím výkladu přesněji nedozví, jak se nelinearita v rovnici objevila. str. 31, 32, 46: Proč je součástí počátečních podmínek x'? str. 35: Co je cyklus s nekonečně velkou periodou? str. 40: Tvrzení, že pro hodnotu gama>1,15 se systém nebude chovat chaoticky, je učiněno pouze na základě numerických simulací, nebo to lze skutečně korektně dokázat? Některé odkazy na obrázky jsou nesprávné, např. dole na str. 45 nebo uprostřed na str. 45. Na str. 42, 45, 46 jsou zafixovány hodnoty parametrů - není však jasné, jestli mají tyto volby nějaké opodstatnění či interpretaci pro konkrétní model, nebbo jsou víceméně náhodně zvoleny. Str. 49: Co je velký atraktor? Zadané cíle byly naplněny. Posuzovanou DP považuji za zdařilou a rozhodně nadprůměrnou. Autor z různorodých (a zejména cizojazyčných) zdrojů nastudoval a s nezanedbatelným vlastním přínosem pečlivě zpracoval téma, které netriviálně přesahuje učivo základních kurzů. Diplomovou práci proto doporučuji k obhajobě a hodnotím stupněm B.

eVSKP id 157662