ŠÁRAIOVÁ, K. Model epidemie pomocí soustavy diferenciálních rovnic neceločíselného řádu [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. 2023.

Posudek vedoucího

Nechvátal, Luděk

Téma práce spadá do oblasti matematického modelovaní biologických procesů. Inspirací byl článek [Diethelm, 2013], který ukazuje, že jeden z klasických matematických modelů horečky dengue může být výrazně vylepšen tím, že na levé straně soustavy připustíme derivaci neceločíselného řádu (v tomto případě Caputovu). Tento řád pak slouží jako další "ladící" parametr modelu. Cílem práce bylo ověřit, zda lze analogický postup aplikovat na epidemii horečky dengue na Madeiře z přelomu let 2012 a 2013. Cíle práce byly ve větší míře splněny, nicméně, téma bylo možné uchopit výrazně lépe. Text působí nekonzistentním dojmem, obsahuje mnohé pojmy, které následně nejsou vůbec využity, naopak mnohem důležitější pojmy zcela chybí. Chybí také (kritická) diskuze vzhledem k alternativním modelům horečky dengue. Samotná analýza jak klasického, tak zlomkového modelu je pak vyloženě ošizena. Celkovému dojmu nepomáhají ani faktické chyby v tvrzeních či nepřesnosti v definicích, nedovysvětlené pojmy, nejednotnost ve značení, nepříliš dobrá logická návaznost, atp. Formální stránku si také umím představit lepší (např. jsou číslovány vztahy, na které se poté neodkazuje). Na obhajobu studentky lze uvést, že nebyla jednoduchá fáze identifikace parametrů modelu, která zapříčinila značné zdržení. To lze přičíst mimo jiné faktu, že na Madeiře nebyla horečka dengue do uvedené doby zaznamenána, nezkušenost příslušných orgánů tak následně vedla k některým metodickým problémům se zpracováním a interpretací získaných dat. V tomto ohledu se ukázal nápomocný článek [Rodrigues et al., 2015], který však pracuje s jiným (řízeným) modelem horečky dengue, a z hlediska poskytnutých parametrů obsahuje "slepá" místa. Zejména nevysvětluje, jakým způsobem se získala data o populaci komárů. Přitom se zdá, že tento faktor je naprosto klíčový (alespoň pro námi studovaný model). K úloze tedy bylo potřeba přistoupit jako k identifikační, kdy se některé parametry dohledávaly tak, aby se minimalizoval rozdíl mezi časovou řadou nakažených a napočítaným (numerickým) řešením.

Posudek oponenta

Šremr, Jiří

V práci je ukázáno možné použití soustav diferenciálních rovnic neceločíselného řádu při modelování šíření horečky dengue. Téma práce je velmi zajímavé. Kromě potřeby nastudovat základy netriviální teorie diferenciálních rovnic neceločíselných řádů nabízí také možnost využití numerických simulací k vytvoření základní představy o tom, jak řešení závisí na řádech jednotlivých derivací. Bohužel se mi zdá, že autorka ani jedné z těchto možností zcela nevyužila. Spoustu práce v numerických simulacích určitě odvedla, přijde mi však, že text v bakalářské práci (jak v teoretické, tak i praktické části) by potřeboval ještě několik iterací. K práci mám zejména následující poznámky: 1. Teoretická část práce bohužel poněkud postrádá potřebnou matematickou přesnost. Vyskytuje se v ní mnoho nepřesností a nevhodných formulací, ale také několik podstatných chyb (např. co značí $x(t)$ v Definici 2.6; v předpokladu $\mu\leq1$ Věty 3.15 by měla být ostrá nerovnost; chybějící předpoklad $f\in C^1(R^n)$ v Definici 3.18 a Větě 3.20; atd.). Některé potřebné pojmy jsou zavedeny dosti vágně, nebo nejsou definovány vůbec (např. stabilita, nestabilita asymptotická stabilita ekvilibria soustavy (3.5); topologická ekvivalence; a podobně). Neformální vysvětlení pojmu asymptotická stabilita a nestabilita triviálního řešení na str. 22 nedává žádný smysl. 2. V teoretické části se pro základní definice a tvrzení odkazujete na bakalářské a diplomové práce místo na běžně používanou a respektovanou literaturu. To má za následek, že opakujete nepřesnosti a chyby obsažené v dřívějších závěrečných pracích. 3. Praktická část práce je podstatně lepší, i když i v ní se vyskytuje mnoho typografických chyb, nepřesností a nevhodných formulací (např. v soustavách (4.1)-(4.3) jsou nesprávná znaménka v některých členech; tvrdíte, že se bude váš model skládat ze SIR modelů s vitální dynamikou, přičemž váš výsledný model je bez vitální dynamiky; mluvíte o stabilitě modelu místo o stabilitě řešení či stabilitě ekvilibrií; v různých místech různě značené Caputovy derivace, atd.). 4. V Apendixu jste našla obecné vztahy pro ekvilibria získané soustavy diferenciálních rovnic. Je škoda, že jste nevyužila aparát zformulovaný v teoretické části a nepokusila jste se provést analýzu stablity těchto ekvilibrií. 5. Numerické experimenty jsou zajímavé a jsou provedeny pěkně. Opět mi jen chybí jejich lepši popis a jasnější interpretace výsledků. V každém případě doporučuji práci k obhajobě, avšak hodnotím ji stupněm D.

eVSKP id 148880