MYŠKA, M. Metoda časové diskretizace řešení PDR [online]. Brno: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. 2017.

Posudek vedoucího

Nechvátal, Luděk

Práce se zabývá metodou časové diskretizace pro řešení evolučních parabolických diferenciálních rovnic. Ta vychází z Rotheho metody (metody přímek) pro lineární parabolickou PDR. Jak napovídá název metody, základní myšlenkou je náhrada časové parciální derivace v rovnici vhodným diferenčním podílem (jedná se tedy o přibližnou metodu). Byť metoda z numerického hlediska až tak efektivní není, má velký význam z teoretického hlediska, umožňuje totiž dokázat existenci (případně jednoznačnost) slabého řešení mnohých evolučních počátečně-okrajových úloh skrz limitu Rotheho posloupnosti přibližných řešení. Vedle motivačního příkladu je kladen důraz na existenční větu pro základní počátečně-okrajovou úlohu s parabolickou lineární PDR (včetně jejího důkazu). Zde oceňuji, že student byl schopen se zorientovat v netriviálních partiích funkcionální analýzy zahrnujících Sobolevovy prostory a prostory abstraktních funkcí. Dále je prezentován teoretický odhad chyby, které se aproximací Rotheho funkcí dopustíme (jako plus považuji, že zde šly některé výpočty do větších podrobností, než je v literatuře obvyklé). Konečně, za vlastní přínos studenta lze považovat vytvoření programu v prostředí MATLAB (s pomocí PDEtoolboxu), který numericky řeší diskutovanou metodou vybrané počátečně-okrajové úlohy. Konstatuji, že všechny cíle práce byly naplněny. Práce má obstojnou úpravu z hlediska stylistického i grafického, několik překlepů, či větných nedostatků obsahuje (to je však v rámci bakalářských prací poměrně obvyklé). Umím si představit místy větší nadhled a schopnost obratnějších matematických formulací, resp. větší konzistenci předkládaného textu (na druhou stranu, téma považuji za obtížnější). Vhledem k výše uvedenému práci doporučuji k obhajobě a hodnotím ji výsledným stupněm C (dobře).

Posudek oponenta

Zatočilová, Jitka

Předložená bakalářská práce se zabývá řešením počátečně-okrajové úlohy lineární parabolické PDR metodou časové diskretizace. Tato metoda byla poprvé uvedena prof. K. Rektorysem v roce 1971 a vychází z principů Rotheho metody, kterou E. Rothe publikoval ve třicátých letech. V bakalářské práci je nejprve na ilustračním příkladu ukázán princip metody, dále jsou zde zavedeny některé pojmy z funkcionální analýzy, kterých je následně vyžito při důkazu existenční a konvergenční věty, jednoznačnosti a odhadu chyby metody. V závěru je uveden MATLABovský kód. Jak je zmíněno v úvodu této bakalářské práce, tak velmi velká část této bakalářské práce vychází pouze z publikace [1] uvedené v seznamu literatury. V bakalářské práci je, oproti [1], více rozepsán asi jen ilustrační příklad v úvodu práce a k vytvoření MATLABovského skriptu v závěru práce bylo využito odkazu [5] v seznamu literatury. I přesto, že bylo čerpáno především z česky psané literatury, tak se v textu nějaké chyby vyskytly. Asi nejvíce chyb a nedostatků je v třetí kapitole. Na začátku podkapitoly 3.1 je uvedeno, že Omega bude v dalším testu oblast v E_N, ale hned v podkapitole 3.2 už Omega tomuto zavedení neodpovídá. Nikde není uvedeno co je Omega s pruhem nebo co je prostor L_2. Prostorové proměnné jsou ve 2D někde značeny jako x a y, jinde jako x_i. Definice 3.2 na straně 18 není definicí, protože nic nedefinuje (přitom je nad touto definicí slibováno, že bude definován pojem stopa funkce). Ve vztazích (3.5) a (3.6) je chyba. Pokud by pojmy omezenost a V-eliptičnost bilineární formy byly opravdu definovány tak, jak je uvedeno v Definici 3.6, tak by další text nebyl zcela v pořádku... Další chyby v textu jsou také např. na stranách 13, 19, 25, 26, 28, 30, 34. Jedním z cílů této bakalářské práce bylo vytvoření programu v MATLABu, který by měl řešit vybrané úlohy metodou časové diskretizace. Tento program sice v práci uveden je, ale už zde není uvedena ani jedna "vybraná úloha", natož aby byla tímto programem řešena... I přes všechny výše uvedené nedostatky konstatuji, že cíle práce byly splněny a doporučuji práci k obhajobě s hodnocením D/uspokojivě.

eVSKP id 100472